【专家解析】2012年高考数学(文)真题精校精析(天津卷)(纯word书稿)

1、4.2012 天津卷(数学文科)1.2012 天津卷i 是虚数单位，复数=()A. 1 i B . - 1 + iC. 1 + iD . 1 i1.C 解析=1 + i.2. 2012 天津卷设变量 x, y 满足约束条件则目标函数 z = 3x 2y 的最小 值为()A. 5 B . 4C. 2 D . 32.B 解析概括题意画出可行域如图.y41b/ 1.IV-3-沙0 x2x+v-2-0当目标函数线过可行域内点A(0,2)时，目标函数有最小值 z= 0X3 2X2 二开始?p=nH3. 2012 天津卷阅读如图 1 1 所示的程序框图，运行相应的程序，则输 出 S的值为（）A. 8 B

2、. 18C. 26 D. 803. C 解析当 n= 1 时，S= 2;当 n= 2 时，S= 2 + 32 3= 8;当 n = 3 时，S= 8 + 33 32= 26;当 n = 4 时输出 S= 26.4. 2012 天津卷已知 a= 21.2，b 0.8，c = 2 Iog52，则 a，b，c 的大 小关系为（）A. cvbvaB.cvavbC. bvavcD.bvcva4. A 解析Ta= 21.22,1 = 0b= 0.8 1 = 2， c = 2log52 = log541 ，二 cb” 是“ 2x2 + x 1 0” 的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D

3、 .既不充分也不必要条件5. A 解析当 x时，2x2+ x 10 成立；但当 2x2 + x 10 时，x或 x”是“ 2x2+ x10”充分不必要条件.6.2012 天津卷下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的 为()A. y = cos2x , xB. y = Iog2|x| ,乂且 x0C. y =, x D. y = x3 + 1, x6. B解析法一：由偶函数的定义可排除 CD 又+ cos2x 为偶函数， 但在(1,2)内不单调递增，故选 B.法二：由偶函数定义知 y 二 log2|x|为偶函数，以 2 为底的对数函数在(1,2) 内单调递增.7. 2012 天津

4、卷将函数 f(x) = sin co x(其中30)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则o的最小值是()A. B. 1A.充分不必要条件B .必要不充分条件C. D. 27. D 解析法一：将函数 f(x) = sin 3 x 的图象向右平移个单位，得到 g(x) = sin的图象，又其图象过点，二 g= sin = sin3=0, 3 最小取取 2.法二：函数 f(x) = sin3x 的图象向右平移个单位后过点，.函数 f(x)= sin3x 的图象过点，即 f = sin3= 0，二3最小值取 2.8. 2012 天津卷在厶 ABC 中，/ A= 90, A 吐 1，AC= 2,

5、设点 P，Q 满 足=入，=(1 一入)，入 .若= 2，贝 U 入=()A. B.C. D. 28.B 解析= ( -) ( ) = (1 入)-(入一)=一 (1 入)2 入 2 = 3 入4= 2，解得 入=.9._ 2012 天津卷集合人=中的最小整数为 _.9. 3 解析将|x 2|W5去绝对值得5Wx 2W5，解之得3x0, b0)与双曲线 C2 = 1 有相同的渐近线，且 C1 的右焦点为F(, 0)，则 a=_ , b=_ .11. 12 解析双曲线 C1 与 C2 有共同的渐近线，二 b2= 4a2.又va2+ b2= 5,联立得，a= 1， b = 2.12. 2012 天

6、津卷设 m n,若直线 I : m 灶 ny 1= 0 与 x 轴相交于点A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆 x2 + y2= 4 相交所得弦的长为 2, O 为坐标原点， 则厶AOBB积的最小值为 _ .12. 3 解析直线 m 灶 ny 1 = 0 与两坐标轴的交点坐标分为，又v直线l 被圆 x2 + y2= 4 截得弦长为 2，由垂径定理得，2+ 12= 22,即=3,SAOAB=XX=3.图 1 313. 2012 天津卷如图 1 3 所示，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D.过点 C 作 BD 的平行线与圆相交于点 E,与 A

7、B 相交于点 F, AF= 3, FB= 1, EF=,则线段 CD 的长为_.13.解析由相交弦的性质可得 AFXFB= EFXFC,二 FC= = = 2,又TFC/ BD . = = =，即卩 BD=,由切割定理得 BD2= DAXDC= 4DC2 解之得 DO .14. 2012 天津卷已知函数 y =的图象与函数 y= kx 的图象恰有两个交点，贝 U 实数 k 的取值范围是_.14. (0,1)U(1,2)解析y =在同一坐标系内画出 y = kx 与 y =的图象 如图，1 2 3/结合图象当直线 y = kx 斜率从 0 增到 1 时，与 y=在 x 轴下方的图象有两公 共点；

8、当斜率从 1 增到 2 时，与 y =的图象在 x 轴上下方各有一个公共点.15. 2012 天津卷某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分 层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查(1) 求应从小学中学大学中分别抽取的学校数目；(2) 若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，1列出所有可能的抽取结果；2求抽取的 2 所学校均为小学的概率.15. 解：(1) 从小学中学大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.(2) 在抽取到的 6 所学校中， 3 所小学分别记为 A1， A2， A3,2 所中学分别 记为A4, A5,大学记为A6,

9、贝时由取 2所学校的所有可能结果为A1 , A2, A1 , A3， A1 ，A4， A1 ， A5， A1 ， A6， A2， A3， A2， A4， A2， A5， A2， A6,A3, A4, A3, A5, A3, A6 , A4 , A5 , A4 , A6 , A5 , A6，共 15 种.从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能结果为 A1A2 A1A3 A2A3 共 3 种.所以 P(B).16. 2012 天津卷在厶 ABC 中,内角 A, B , C 所对的边分别是 a , b , c , 已知 a= 2 , c = , cosA=.(1) 求

10、sinC 和 b 的值；(2) 求 cos 的值.16.解：在厶 ABC 中，由 cosA= ，可得 si nA =，又由=及 a=2, c =, 可得 sinC =.由 a2= b2+ c2 2bc cosA，得 b2+ b 2= 0,因为 b0,故解得 b= 1.所以 sinC = , b= 1.(2)由 cosA= , si nA =,得 cos2A= 2cos2A 1 =,sin2A = 2si nAcosA =.所以，cos = cos2Acos sin2Asin =.图 1 417. 2012 天津卷如图 1 4,在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形,ADLPC, B

11、C= 1, PC= 2, PD= CD= 2.(1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；证明平面 PDCL 平面 ABCD求直线 PB 与平面 ABCDff 成角的正弦值.17.解： 如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，因为底面 ABCD 是矩形，所以AD= BC 且 AD/ BC 又因为 ADLPD,故/ PAD 为异面直线 PA 与 BC 所成的角.在 Rt PDA 中, tan / PAD= 2.所以，异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为 2.(2) 证明：由于底面 ABCD1 矩形，故 ADLCD 又由于 ADLPD CDH PD=D,因此 ADL 平面 PDC 而 A

12、D?平面 ABCD 所以平面 PDCL 平面 ABCD.(3) 在平面 PDC 内，过点 P 作 PELCD 交直线 CD 于点 E,连接 EB.由于平面 PDCL 平面 ABCD 而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 勺交线， 故 PE!平面 ABCD 由此得/ PBE 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.在厶 PDC 中，由于 PD= CD= 2，PO2,可得/ PCD= 30.在 Rt PEC 中, PE= PCsin30=.由 AD/ BC ADL 平面 PDC 得 BCL平面 PDC 因此 BCLPC.在 Rt PCB 中 , PB= =.在 Rt PEB 中, si

13、n / PBE=.所以直线 PB 与平面 ABC所成角的正弦值为18. 2012 天津卷已知an是等差数列，其前 n 项和为 Sn, bn是等比 数列，且 a1 = b1= 2, a4+ b4= 27, S4- b4= 10.求数列an与bn的通项公式；(2)记 Tn= a1b1+ a2b2+ anbn, n，证明 Tn 8 = an1bn+1(n , n 2).18.解：(1)设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q.由 a1 = bl = 2,得 a4= 2+ 3d, b4= 2q3, S4= 8+ 6d,由条件，得方程组解得所以 an = 3n 1, bn= 2n, n *.

14、(2)证明：由(1)得Tn=2X2+5X22+8X23+(3n1)X2n,2Tn=2X22+5X23+(3n4)X2n+(3n1)X2n+1.由一，得Tn=2X2+3X22+3X23+3X2n(3n1)X2n+1=(3n1)X2n+12=(3n4)X2n+18,即 Tn8=(3n4)X2n+1,而当 n2 时，an1bn+ 1= (3n 4)X2n+ 1,所以，Tn 8 = an 1bn+ 1, n, n2.19. 2012 天津卷已知椭圆+= 1(a b0)，点 P 在椭圆上.(1) 求椭圆的离心率；设 A 为椭圆的左顶点，O 为坐标原点，若点 Q 在椭圆上且满足|AQ| = |AO|，求直

15、线 OQ 的斜率的值.19. 解：因为点 P 在椭圆上，故+= 1，可得=，于是 e2= = 1 =，所以椭圆的离心率 e=.设直线 OQ 的斜率为 k，则其方程为 y= kx.设点 Q 的坐标为(x0，y0).由条件得消去 y0 并整理得x =.由 |AQ| = |AO|，A( a,0)及 y0 = kx0，得(x0 + a)2 + k2x = a2.整理得，(1 + k2)x+ 2ax0= 0.而 x00,故 x0 =，代入，整理得(1 + k2)2 = 4k2 + 4.由(1)知=，故(1 + k2)2 = k2 + 4，即卩 5k4 22k2 15= 0,可得 k2 = 5.所以直线

16、OQ 的斜率 k =.20.2012 天津卷已知函数 f(x) = x3 + x2 ax a，x,其中 a0.(1) 求函数 f(x) 的单调区间；若函数 f(x)在区间(一 2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围;(3)当 a= 1 时，设函数 f(x)在区间t , t + 3上的最大值为 M(t)，最小值为m(t)，记 g(t) = M(t) - m(t)，求函数 g(t)在区间3, 1上的最小值.20.解：(1)f (x) = x2 + (1 a)x a= (x + 1)(x a).由 f (x) = 0,得 x1=1，x2= a0.当 x 变化时，f (x)，f(x)的变化情况如下

17、表:x(X，-1)1(1，a)a(a，+X)(x)+00+f(x)极大值极小值故函数 f(x)的单调递增区间是(X，1)，(a，+x)；单调递减区间是(1， a).由(1)知 f(x)在区间(一 2， 1)内单调递增，在区间(一 1,0)内单调递 减，从而函数 f(x)在区间(一 2,0)内恰有两个零点当且仅当解得 0vav.所以，a 的取值范围是.(3)a = 1 时，f(x) = x3 x 1.由(1)知 f(x)在3， 1上单调递增，在 1,1上单调递减，在1,2上单调递增.当 t 3， 2时，t + 3 0,1， 1 t，t + 3，f(x)在t， 1上 单调递增，在1, t + 3上单调递减.因此，f(x)在t，t + 3上的最大值M(t) =f( 1)=，而最小值 m(t)为 f(t)与 f(t + 3)中的较小者.由 f(t + 3) f(t)= 3(t + 1)(t+ 2)知，当 t 3， 2时，f(t) f(t + 3)，故 m(t) = f(t)，所以g(t) = f( 1) f(t) 而 f(t)在3, 2上单调递增，因此 f(t)