高考常用的数学概念、公式和结论(高考必备)

1、 高考常用的数学概念、公式和结论一复数1.复数的定义 形如a+bi(a、bR)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位)，其中2.复数的分类 3.复数相等 a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR).特别地,a+bi=0a=0且b=0(a,bR).4.共轭复数 复数z=a+bi的共轭复数为=a-bi5.复数的模 (1)|z|=|a+bi|=. (2) (3) （4） 二简易逻辑1.充分必要条件 当要判断的命题与方程的根、不等式的解集，以及与集合有关，我们可以借助集合间的包含关系来进行充分条件与必要条件的判断. 对于集合A=，B=，具体情况如下：若，则是的充分不必要条件；若，

2、则是的必要不充分条件；若，则是的充要条件；若，则是的既不充分也不必要条件.2.全称命题和特称命题的否定 (1)全称命题p:xM,p(x)的否定为特称命题p:M,p().(2)特称命题p:M,p()的否定为全称命题p:xM,p(x).三函数及其性质1.函数的对称性（1） 函数关于直线对称.（2） 函数关于点对称.2.函数的奇偶性奇函数和偶函数的性质： （1）.（2）.（3）若函数为奇函数，且在处有定义，则（4）奇函数在对称区间上增减性相同；偶函数在对称区间上增减性相反（5）若为偶函数，则.3.函数的周期性（1） （2） （3） （4）偶函数的图像关于直线对称，则周期 （5）奇函数的图像关于点对称

3、，则周期4. 图像的变换(1) 平移变换 原图像对应的函数 图像变换过程变换后的图像对应的函数 向左平移个单位 向右平移个单位 向上平移个单位 向下平移个单位 （2）对称变换 函数A 函数B A与B的图像间的对称关系 关于轴对称 关于轴对称 关于原点轴对称 关于直线轴对称（3）翻折变换 原图像对应的函数 图像变换过程变换后的图像对应的函数 将的图像在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，去掉轴下方部分，并保留原轴上方部分 将的图像在轴右边的部分沿轴翻折到轴左边，替代原轴左边部分，并保留原轴右边部分 5.对数式与指数式的互化 6.对数相关性质（1）对数基本性质：(1) (2) (3) (4)（2）运算性

4、质：(1) (2) (3)（3）换底公式：7.指数函数与对数函数 指数函数 对数函数函数解析式 y=(a>0且a1) y=(a>0且a1)图象 定义域 R 值域 R过定点 (0,1) (1,0)单调性a>1时,在R上单调递增0<a<1时,在R上单调递减a>1时,在(0,+)上单调递增0<a<1时,在(0,+)上单调递减8.方程的根与函数零点的关系：（1）函数yf(x)的零点方程f(x)0的实数根函数yf(x)的图象与x轴的交点的横坐标 （2）方程的根的个数函数的图像交点个数.三导数及应用1.导数的几何意义 函数f(x)在x=处的导数的几何意义是曲

5、线y=f(x)在点(,f()处的切线的斜率. 2.导数公式及运算法则(1)导数公式： =0 （为常数） ； = （）； (sin x)cos x； (cos x)sin x； ()ln a(a>0且a1)； ()； ()(a>0且a1)； (ln x).(2)导数的四则运算法则u(x)±v(x)=u(x)±v(x);u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);=(3)复合函数的求导法则：复合函数y=f(g(x)的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系为=f(u)g(x).3.求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值的步骤:求，令判断

6、单调性，根据单调性确定y=f(x)在(a,b)内的极值;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.五三角函数及三角变换1.任意角的三角函数 （1）定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sin=y, cos=x, tan=. （2）已知角终边上一点，设（为坐标原点），则sin=, cos=,tan=. 注：各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2. 特殊角的三角函数值； ；.； ； . 3.同角三角函数的基本关系(1)商数关系：tan.(+k,kZ)；(2)平方关系：sin2cos21

7、4.诱导公式组序一二三四五六角2k+(kZ)+-+正弦sin -sin-sin sin cos cos 余弦cos -coscos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口诀 函数名不变 符号看象限函数名改变符号看象限 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限其中，“奇、偶”是指“k·±(kZ)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角看作锐角时，原函数值的符号5正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sin xy=cos xy=tan x图象定义域RRx+k,kZ值域-1,1-1,1R单调性在(kZ)上单调增;(kZ)上单调递减在2k-,2

8、k(kZ)上单调增;在2k,2k+(kZ)上单调递减在 (kZ)上单调递增最值x=时,ymax=1;x=2k-,kZ时,ymin=-1x=2k(kZ)时,ymax=1;x=2k+(kZ)时,ymin=-1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心(k,0)(kZ)对称中心(kZ)对称中心(kZ)对称轴对称轴x=k(kZ)周期22注：的周期为，的周期为.6.函数的周期.7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)cos(+)=cos cos -sin sin , 余余正正符号异(2)cos(-)=cos cos +sin sin .  (3)sin(+)=sin cos +c

9、os sin , 正余余正符号同(4)sin(-)=sin cos -cos sin (5)tan(+)=,(6)tan(-)= 8.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin 2=2sin cos . (2)cos 2=cos2 -sin2 =2cos2 -1=1-2sin2 . (3)tan 2=.9.公式的常见变式(1)tan ±tan =tan(±)(1tan tan ). (2)sin2=; cos2=; sin ·cos =.(3)1+cos =; 1-cos =;（4）1+sin =; 1-sin =.10.辅助

10、角公式asin x+bcosx=sin(x+)(其中sin =,cos =).五解三角形1.正弦定理: =2R(2R为ABC外接圆的直径).变形:a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.sin A=, sin B=, sin C=.abc=sin Asin Bsin C.2.余弦定理: a2=b2+c2-2bccos A, b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C.推论:cos A=, cos B=, cos C=.3.三角形常用面积公式(1)S=a·ha(ha表示边a上的高); (2)S=absin C=acsin B;六平面

11、向量1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数,使b=a.(2)平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数,使a=+，其中,是一组基底.2.平面向量数量积（1）定义：. (2)向量在向量方向上的投影为. (3)几何意义：等于向量的与向量在向量方向上的投影的乘积.3.平面向量的运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2); (2)若a=(x,y),则|a|. (3)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则中点；(4

12、)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，为a与b的夹角，则；cos .4.平面向量平行与垂直的充要条件 若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)abab(b0)x1y2-x2y1=0.(2)aba·b=0x1x2+y1y2=0|ab|ab|. 七数列1.an与Sn的关系(1)Sn=.(2)若数列an的前n项和为Sn,则an= （需检验a1是否符合n2时,an的表达式,若符合则把通项公式合写,否则应分n=1与n2两段来写.）2.等差数列(1)通项公式:an=a1+(n-1)d. an=am+(n-m)d.(2)前n项和公式:Sn= (3)等差数列的性质：在等差数列

13、中，若，则；特别地若，则.仍是等差数列，公差为.4.等比数列(1)通项公式an=a1qn-1. an=am·qn-m.(2)前n项和公式 ： Sn（）(3)等比数列的性质：在等比数列中，若，则；特别地若，则.仍是等比数列，公比为.5.求数列通项公式的方法（1） 累加法：已知数列满足：，则可用累加法求它的通项公式.（2） 累乘法：已知数列满足：，则可用累乘法求它的通项公式.(3) 构造等差、等比数列 若，可构造等比数列，设，求得. ,则两端同除以，即得.6.数列求和方法（1）分组求和法：若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比数列的和或差组成，则可用分组求和法，先分别求和而后再相加减.

14、例如，可用分组求和法求它的前项和.（2）裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. =; =;=.（3）错位相减法：若一个数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积组成，则可用错位相减法求和.例如，可用错位相减法求它的前项和.八不等式1.重要的不等式(1)a2+b22ab(a,bR); (2)(a,b>0);(3)ab（）2(a,b); (4) (a,b>0);(5)2(a2+b2)(a+b)2(a,bR,当a=b时等号成立).2.一元二次不等式的解集 若，是方程的两不等实根（），则 的解集为的解集为的解集为 的解集为.提示

15、:若a<0,则可以先进行转化,使x2的系数为正,但是一定要注意在转化过程中不等号的变化. 3.二元一次不等式表示的平面区域的确定方法（1)画直线定界：注意分清虚实线（2)在直线Ax+By+C=0的某侧任取一点(,),通过A+B+C的符号来判断Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.4.不等式恒成立与有解的问题（1）一元二次不等式在上恒成立；一元二次不等式在上恒成立.(2)不等式恒成立；不等式恒成立.(3)不等式有解；不等式有解.九立体几何1. 表面积和体积公式 柱体的体积V=Sh 锥体的体积V=Sh 台体的体积V=(S+S)h 球的表面积和体积: S球， V球

16、=.2.球的相关性质 垂直关系： 球心和截面圆心的连线垂直于截面. 关系式：一平面截半径为R的球所得截面圆半径为r，球心到截面圆的距离为d，则.已知长方体的长、宽、高分别为，则长方体的外接球的半径.2.(1)直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行(简记为“线线平行线面平行”)l性质定理一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)ab(2)平面与平面平行判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)性质定理如果两个平行平面同

17、时和第三个平面相交,那么它们的交线平行(简记为“面面平行线线平行”)ab(3)直线与平面垂直判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直(简记为“线线垂直线面垂直”)l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab(4)平面与平面的垂直判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直(简记为“线面垂直面面垂直”)性质定理两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直(简记为“面面垂直线面垂直”)l3.异面直线所成的角 设a、b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线aa,bb,把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角. 4.直线与平面所成的角

18、平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角.如图,PAO就是斜线AP与平面所成的角. 十解析几何1.斜率公式 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k=2.直线方程的几种形式（1）点斜式：直线经过点，且斜率为，则直线方程为 （2）斜截式：直线的斜率为，且与轴的交点为 ，则直线方程为 （3）一般式：（当时，斜率为）3.求平面距离(1)两点距离:两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=.(2)点线距离:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离d=.(3)线线距离：两平行

19、直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=.4.圆的方程（1）标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0);圆心(a,b),半径为r;（2）一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0);圆心(-,-),半径.5.直线与圆的位置关系 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则 d<r相交；d>r相离；dr相切6.圆与圆的位置关系几何法:设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2 两圆外离|O1O2|>r1+r2; 2条内公切线，2条外公切线 两圆外切|O1O2|=r1+r2;1条内公切线，2条外公切线 两圆相交|r2-r1|&

20、lt;|O1O2|<r1+r2; 2条外公切线 两圆内切|O1O2|=|r2-r1|;1条外公切线 两圆内含|O1O2|<|r2-r1|.7.圆的弦长的求法（1）几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d,弦长一半及圆的半径r所构成的直角三角形来解,即. （2） 利用弦长公式|P1P2|=|x1-x2|= 8.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)|PF1|-|PF2|=2a(2a<|F1F2|)|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PMl于M标准方程+=1 (a>b>0)-=1 (a>0,

21、b>0)y2=2px (p>0)图形范围|x|a,|y|b|x|ax0顶点(±a,0)(0,±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(,0)轴长轴长2a, 短轴长2b实轴长2a, 虚轴长2b离心率e=(0<e<1)e=(e>1)e=1准线x=-渐近线y=±x双曲线相关结论：（1） 等轴双曲线的方程的一般可设为；其渐近线方程为；离心率为.（2） 若已知双曲线渐近线方程为，则双曲线方程可设为.（3）当双曲线焦点位置无法确定时，则双曲线方程可设为 (4)双曲线(a>0,

22、b>0）的渐近线方程为；双曲线的渐近线方程为.9.直线与椭圆的位置关系 将直线与椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若>0,则直线与椭圆相交;若=0,则直线与椭圆相切;若<0,则直线与椭圆相离.10. 圆锥曲线的弦长公式斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则弦长|P1P2|=|x1-x2|=或|P1P2|=|y1-y2|=（）.抛物线的焦点弦长： 设过抛物线焦点的弦的端点为，则|AB|=x1+x2+p.十一概率统计1频率分布直方图(1) 频率小长方形的面积×组距； （2）频率.(3)各小长方形的面积之和等于1.

23、2.样本数据的数字特征（1）平均数： (x1x2xn)（2）方差：s2 (x1)2(x2)2(xn)2（3）标准差：3.利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数与方差(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数等于每个小长方形底边中点的横坐标乘以小长方形的面积之和;(4)方差等于每个小长方形底边中点的横坐标与平均数的差的平方乘以小长方形面积之和.4.概率计算公式(1)古典概型：P(A)；(2)几何概型： P(A)5.线性回归方程 线性回归方程一定过样本点的中心其中值是自变量每增加一个单位，因变量的变化值.6.用样本相关系数衡量两个

24、变量相关关系的强弱（1）当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关. (2)r的绝对值越接近与1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近与0，表明两个变量的线性相关性越弱.通常时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系.7.独立性检验（1） 列联表 总计 总计 (2) 利用随机变量来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验. 独立性检验公式，其中.(3) 随机变量越大，说明变量A与变量B有关系的可能性越大；反之，越小. 当时，可以认为变量A与变量B没有关系； 当时，有%的把握判定变量A与变量B有关系； 当时，有%的把握判定变量A与变量B有关系； 当时，有%的把握判定变量A与变量B有关系； 十二极坐标与参数方程1.极坐标 （1）定义 设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记