八年级数学上册-全等三角形常见辅助线

1、专题学习专题学习 -几何证明中常见的几何证明中常见的 “ “添辅助线添辅助线”方法方法 -“ -“周长问题周长问题”的转化的转化学习目标学习目标 1.通过添加辅助线构造全等三角形，巩固并灵活运用全等三角形的判定和性质。 2.角平分线上的点向两边做垂线段，巩固练习角平分线性质。 3.计算线段和差截长补短，相等线段转移。. . 连接连接典例典例1: 1:如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD1. 1. 连接连接ACAC构造全等三角形构造全等三角形2. 2.连结连结BDBD构造两个等腰三角形构造两个等腰三角形目的目的: :构造构造全等三角形全等

2、三角形或或等腰三角形等腰三角形.连接连接典例典例2: 2:如图如图,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD,AB=AE,BC=ED, B=E,AMCD, 求证求证: :点点M M是是CDCD的中点的中点. .ACBD连接连接ACAC、ADAD构造全等三角形构造全等三角形EM.连接连接典例典例3: 3:如图如图,AB=AC,BD=CD, M,AB=AC,BD=CD, M、N N分别是分别是BDBD、CDCD的中点，求证：的中点，求证：AMBAMB ANCANCACBD连接连接ADAD构造全等三角形构造全等三角形NM. . 连接连接典例典例4: 4:如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O,

3、 O, 且且AB=CDAB=CD，AD=BCAD=BC，OB=5cmOB=5cm，求，求ODOD的长的长. .ACBD连接连接BDBD构造全等三角形构造全等三角形O.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例1: 1:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距离的距离. .ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE目的目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到距离

4、相等距离相等.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例2: 2:如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,AC=BC,AC=BC, AD AD平分平分BAC,BAC,求证求证:AB=AC+DC.:AB=AC+DC.ACD过点过点D D作作DEABDEAB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BE 思考思考: : 若若AB=15cm,AB=15cm,则则BEDBED的周长是多少的周长是多少? ?.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例3: 3:如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A=

5、D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.ACD过点过点E E作作EFBCEFBC构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?E.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段2. 2.如图如图, ,梯形中梯形中, A= D =90, A= D =90o o, , BE BE、CECE均是角平分线均是角平分线, , 求证求证:BC=AB+CD.:BC=AB+CD.延长延长BEBE和和CDCD交于点交于点

6、F F构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形F 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?ACDBE.角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段典例典例4: 4:如图如图,OC ,OC 平分平分AOB, DOE +DPE =180AOB, DOE +DPE =180o o, , 求证求证: PD=PE.: PD=PE.ACD过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB构造了构造了: :全等的全等的直角三角形直角三角形且且距离相等距离相等BF 思考思考: : 你从本题中还能得到哪些结论你从本题中还能得到哪些结论? ?EPGO目的

7、目的: :构造构造直角三角形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等.垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段 ABC中中,ABAC ，A的平分线与的平分线与BC的垂直平分线的垂直平分线DM相交于相交于D，过，过D作作DE AB于于E，作，作DFAC于于F。 求证：求证：BE=CFABCDEFM连接连接DB,DC垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段1.AD1.AD是是ABCABC的中线，的中线，.中线延长一倍中线延长一倍ABCDE)(21ACABAD求证：延长延长ADAD到点到点E E，使，使DE=ADE=AD D，连结连结CE.CE.目的目的: :构造构造直角三角

8、形直角三角形, ,得到得到斜边相等斜边相等m = 42.35m = 42.23已知在已知在ABC中，中，C=2B, 1=2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上取点E使得使得AE=AC，连接，连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD，连接，连接DF补短补短A1BCD234如图所示，已知如图所示，已知ADBCADBC，1=21=2，3=43=4，直线，直线DCDC经过点经过点E E交交ADAD于点于点D D，交交BCBC于点于点C C。求证：。求证：AD+BC=ABAD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补

9、短1. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ?.“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如图如图, ,ABCABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长. .“

10、.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC3. 3.如图如图,A,A、A A1关于关于OMOM对称对称, A, A、A A2关于关于ONON对称对称. .若若A A1 A A2 =6cm, =6cm,求求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACOMAB+AC+BCA A1 B+ A A2 C+BCA A1 A A2A1A2N4. 4.如图如图, , ABCABC中，中，MNMN是是ACAC的垂直平分线的垂直平分线. .若若AN=3cm, AN

11、=3cm, ABMABM周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACMAB+BC+ACAB+ BM+MC+6NAB+ BM+AM+613+65. 5.如图如图, , ABCABC中，中，BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线，的角平分线，MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周长为周长为13cm13cm，求，求ABCABC的周长的周长. .“.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“等腰三角形性质等腰三角形性质”BACPAB+AC+BCAM+ BM+AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+61