射影平面讲义

1、射影平面讲义三、射影坐标变换三、射影坐标变换 定义1.10 在射影平面上取定四点A1(1,0,0), A2(0,1,0), A3(0,0,1), I(1,1,1), 规定无论如何选取A1, A2, A3, I 的齐次坐标, 总成立下列关系式123.(0)IAAA(1.7)则称这四点为平面上的一个原始的射影坐标系原始的射影坐标系, 记作(A1A2A3 | I). 称A1A2A3为坐标三点形坐标三点形，I为. 点与直线在这坐标系下的坐标称为原始坐标. 注2: 原始的射影坐标系确定的坐标映射即为定义1.9中的. 注1: (1.7)式：选取A1, A2, A3, I的齐次坐标时, 必须满足)0().,

2、 0 , 0()0 , 0()0 , 0 ,(),( 注3: 拓广平面上的笛氏齐次坐标系(A1A2A3|I)为一个原始的射影坐标系. 证明: 只要证对平面上任意一点X, (PQR|E)可惟一确定其点坐标映射. 设X的原始坐标为(x1*, x2*, x3*), 则由线性代数知识以及式(1.8), 存在惟一向量类(x1, x2, x3)RP2, 满足Rxxxrqprqprqpxxx0.321333222111*3*2*1(1.9)于是(1.9)惟一确定了点X在射影坐标系(P,Q,R|E)下的一个齐次射齐次射影坐标影坐标(x1, x2, x3).三、射影坐标变换三、射影坐标变换 定理1.11 在射影

3、平面上任意取定四点P, Q, R, E, 满足 (1) P, Q, R, E中任何三点不共线; (2) 规定选取这四点的原始坐标P(pi), Q(qi), R(ri), E(ei)时, 满足123123123123( ,)(,)( ,)( , , ).(0)e e ep ppq q qr r r(1.8)则这四点构成一个射影坐标系射影坐标系(PQR|E). 称PQR为坐标三点形坐标三点形, E为单位点单位点.注注1在(PQR|E)下, P,Q,R,E各有一组齐次坐标为P(1,0,0), Q(0,1,0), R(0,0,1), E(1,1,1).因此(PQR|E)也可作为原始坐标系.注注2因为P

4、,Q,R不共线，所以| pi qi ri |0,即(1.9)式为非奇异线性变换, 称为两种射影坐标之间的射影坐标变换射影坐标变换. 注注3在拓广平面上, 笛氏齐次坐标是射影坐标的特例. 从而1.2讨论的结论全部在射影坐标下成立, 今后可不区分地使用笛氏齐次坐标或齐次射影坐标.Rxxxrqprqprqpxxx0.321333222111321注注4(1.10)按坐标变换新、老坐标的书写习惯，(1.9)式改写为这是传统的坐标变换的逆式坐标变换的逆式，今后可直接使用可直接使用.三、射影坐标变换三、射影坐标变换四、实射影直线四、实射影直线(一维实射影空间一维实射影空间) 定义1.11 在射影直线上取定

5、相异三点P, Q, E, 选取其笛氏齐次坐标P(pi), Q(qi), E(ei)使得123123123( ,)(,)(,).(0)(1.11)e e ep ppq q q则在射影直线上定义了以P, Q为基点基点, E为单位点单位点的一个一维射影射影坐标系坐标系, 记作(PQ|E). 射影直线上任意一点X(x1, x2, x3)的齐次射影坐标(, )由下式确定123123123( ,)(,)(,).0(1.12)x xxp ppq q qR注2: 定义1.11的一维射影坐标系是由二维射影坐标诱导的. 注1: 在射影坐标系(PQ|E)下, P, Q, E的坐标分别为(1,0), (0,1), (

6、1,1). 一维笛氏齐次坐标也是一种一维射影坐标.五、复射影平面、实五、复射影平面、实-复射影平面复射影平面实射影平面*22)( ,:RPRP三维实向量类复射影平面将实射影平面嵌入到复射影平面中将实射影平面嵌入到复射影平面中(作为作为其子空间其子空间)，即带有虚元素的实射影平面，即带有虚元素的实射影平面*22)( ,:CPCP三维复向量类实实-复射影平面复射影平面虚点实点定义为则使得不存在为则使得若存在),(,0),(,012. 1321321xxxPRxCxxxPRxCjj 注2: 实直线上可以有虚点，虚直线上可以有实点；过实点可以有虚直线，过虚点可以有实直线. 注3: 两个元素可能在相差一

7、个非零比例常数的前提下共轭. 注1: 类似定义实直线与虚直线. 于是在实-复射影平面上一个元素是实或虚不会因坐标变换或非奇异线性变换而改变.).1 (上在上在直线点uxux.).1 (xuxu过过点直线)0(即得结论两边取共轭对jjxu.).2(上在上在实直线虚点uxux.).2(xuxu过过实点虚直线 (3). 实直线上的点或为实点或为成对出现的共轭虚点.(3) . 过实点的直线或为实直线或为成对出现的共轭虚直线.(4). 两共轭虚点连线为实直线.(4). 两共轭虚直线交点为实点.(5). 过一虚点有且仅有一条实直线.(5). 在一条虚直线上有且仅有一个实点. 注4: 在实-复射影平面上,

8、下列结论成立. (教材P.28)五、复射影平面、实五、复射影平面、实-复射影平面复射影平面六、图形的射影性质六、图形的射影性质(射影不变性射影不变性)射影性质射影不变性射影不变量图形在中心射影下保持不变的性质和数量目前已知的射影性质：目前已知的射影性质：射影不变性：点与直线的关联关系关联关系(结合性)；同素性同素性；结合性：某点在某直线上；某直线通过某点的事实保持不变射影不变量：有待探索. 目前所知几何量均不是不是射影不变的同素性：点 点；直线 直线习题1.11. 如右图2. 如下图习题1.13. 如右图4. 设p与两平面交线x的交点为X, 则p必定经过定点X.5. 6. (4), (6),

9、(10).习题1.2 1-14. 应该独立熟练完成. (如果有问题, 望利用答疑) 15. (略). 见本章Desargues定理的证明. 16. (作业). 运用本节的5对结论, 耐心计算即可. 17. 提示: 设定直线x2kx3=0上的动点为O(a, k, 1). 先计算Q, R的坐标得：Q(a, 0, 1), R(a, k, 0). 再求QR与A2A3的交点得：X(0, k, 1). 因为X的坐标与a无关, 所以X为定点. A1X的方程为：x2+kx3=0.习题1.2 18. lia+mib+nic共线不全为0的数p,q,r, 使得0)()()(333222111cnbmalrcnbmalqcnbmalp0)()()(321321321crnqnpnbrmqmpmarlqlpl(因为a,b,c不共线)000321321321rnqnpnrmqmpmrlqlpl(因为p,q,r不全为0). 00333222111321321321nmlnmlnmlnnnmmmlll习题1.2 19. 20. 求出这两个无穷远点的坐标, 写成(1, 0)的格式, 即可看出垂直(斜率之积为1).221212()0.()0.hhab uaubuhhab u或习题1