振动波动习题课

1、一、简谐振动的振动方程一、简谐振动的振动方程km=弹簧振子弹簧振子的角频率的角频率j=t+cos()xAT2mk=21kmd xdt22=+2x0微分形式微分形式一般形式一般形式振动的振动的周期周期振动的振动的频率频率振幅振幅 A 和和 初相初相j 由由初始条件初始条件决定决定A= x0v0+222=jv0 x0arctg()旋转矢量旋转矢量 A 与参考方向与参考方向 x 的夹角：的夹角：相位相位 M 点在点在x 轴上投影点轴上投影点P 的运动的运动规律：规律： 旋转矢量xt)(cos=+AjAx0MPx(t)+jA 的长度：的长度：振幅振幅 AA 的旋转角速度：的旋转角速度：A 的旋转的方向

2、：的旋转的方向：角频率角频率逆时针方向逆时针方向 单摆单摆0lg 在角位移很小的时候，单摆的在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。振动是简谐振动。glTlg2200单摆结论gmfsin当当 时时sin22mgdtdml角频率、振动的周期分别为：角频率、振动的周期分别为：二、简谐振动的速度和加速度二、简谐振动的速度和加速度Ax+=cos ()tjA+=sin ()tjv)A+=cos2( tja简谐振动的位置简谐振动的位置简谐振动的加速度简谐振动的加速度简谐振动的速度简谐振动的速度三、三、 简谐振动的能量简谐振动的能量动能：动能：势能：势能：机械能：机械能：222211sin ()22kEm

3、vmAtj222211cos ()22pEkxmAtj2221122kpEEEmAkA三、三、 简谐振动的能量简谐振动的能量动能：动能：势能：势能：机械能：机械能：222211sin ()22kEmvmAtj222211cos ()22pEkxmAtj2221122kpEEEmAkAAkEpE221kAEAo应用应用2.已知初始条件和振动频率（周期），求振动方程，已知初始条件和振动频率（周期），求振动方程，并作出振动曲线。并作出振动曲线。3.已知振动曲线，求振动方程。已知振动曲线，求振动方程。1.已知振动方程，求振动周期、振动初相和已知振动方程，求振动周期、振动初相和 任任意时刻的位置、相位、

4、振动速度、加速度等。意时刻的位置、相位、振动速度、加速度等。4.证明某种物体作简谐振动，并根据初始条件写证明某种物体作简谐振动，并根据初始条件写出振动方程。出振动方程。四、振动的合成四、振动的合成同方向同频率振动的合成同方向同频率振动的合成物体同时参与两分振动：物体同时参与两分振动：cosx222=+A()tjcosx111=+A()tj合成后仍为一谐振动：合成后仍为一谐振动：=+xx12x=cos +A()tj221212212cos()AAAAAjj11221122sinsincoscosAAarctgAAjjjjj221212212cos()AAAAAjj11221122sinsinco

5、scosAAarctgAAjjjjj= 若若2k12jj合振动合振动加强加强12=AAA+(2k+1)12=若若jj合振动合振动减弱减弱12=AAA2AA1A2AA1A1A2AA|2121AAAAAjjk12一般情况：一般情况：= 若若2k12jj合振动合振动加强加强12=AAA+(2k+1)12=若若jj合振动合振动减弱减弱12=AAA2AA1A2AA1A五、波动五、波动波源波源 和和 媒质媒质1.产生机械波的条件产生机械波的条件2.机械波的分类机械波的分类横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波：纵波：质点的振动方向和波的传播方向平行质点的振动方向和

6、波的传播方向平行=Tul=ul1=T3.周期、频率、波长、波速之间的关系周期、频率、波长、波速之间的关系频率和周期只决定于波源，和媒质无关。频率和周期只决定于波源，和媒质无关。六、六、波动方程波动方程1、写出波源的振动方程：、写出波源的振动方程：cosy0=tAj+)(xxuyoB2、写出波动方程：、写出波动方程：正向正向传播传播=tcosyxuA)(j+反向反向传播传播x=tcosyuA)(j+波动方程的波动方程的其他形式：其他形式：txTA=cos()2lj+ykx=Acost)(j+ytxA=cos()2lj+y已知坐标原点已知坐标原点O点的振动方程为：点的振动方程为：cos ()xyA

7、tujcosyAtjv时间延迟法时间延迟法Px*yxluAAOxtu v相位落后法相位落后法2cosyAtxjl 2xjl2xjl表示表示 x1 处质点处质点的振动方程的振动方程 1）.=x1(常数常数)x3、波函数波函数的物理意义uyAxt=cos)(1j+yto=tcosyxuA)(j+表示在表示在 时刻的波形时刻的波形t1tt=(常数常数)12）.=txAcos()1uyj+yxoytOxx=+u t3) t 与与 x 都发生变化都发生变化y1x.yutx. 这表示相应于位移这表示相应于位移y1的相位，向前传播了的相位，向前传播了ut的距离的距离。任意两点间的位相差：x2xuyoBx1A

8、uyAxt=cos)(1j+AuyAxt=cos)(2j+B21212()()xxxxuujl 应用应用1.已知波动方程，求已知波动方程，求振幅、周期、频率、波振幅、周期、频率、波长长以及波传播路径上各点的以及波传播路径上各点的振动速度、相位、振动速度、相位、运动方向运动方向等量。等量。2.已知已知波传播路径上某点的波传播路径上某点的振动曲线振动曲线（或（或振振动方程动方程）以及）以及波长波长（或（或波速波速），求），求波动方波动方程程。3. 已知某时刻的已知某时刻的波形图波形图和和波速波速，求，求波动方程波动方程。应用应用:求求波动方程波动方程1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。

9、已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。解题思路：解题思路：a.写出坐标原点的振动方程写出坐标原点的振动方程cosyAtjb.用用 替换方程中的替换方程中的 t()xtu时间延迟法时间延迟法或在相位项中或在相位项中2xl相位落后法相位落后法cos ()xyAtuj2cosyAtxjl 1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。2. 已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。任意点振动曲线任意点振动曲线解题思路：解题思路：任意点振动方程任意点振动方程波动方程波动方程原点振动方程原点振动方程应用应用:求求波

10、动方程波动方程1. 已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。已知传播路径上某点的振动方程，求波动方程。2. 已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。已知传播路径上某点的振动曲线，求波动方程。3. 已知某时刻的波形曲线，求波动方程。已知某时刻的波形曲线，求波动方程。解题思路：解题思路：某时刻的波形曲线某时刻的波形曲线 时的波形曲线时的波形曲线0t 原点的振动方程原点的振动方程波动方程波动方程应用应用:求求波动方程波动方程波动能量波动能量和和振动能量的同异点振动能量的同异点波动能量波动能量振动能量振动能量动能、势能周期性变化动能、势能周期性变化 动能、势能周期性变化动能、势能周期性变化动能、势

11、能同时一样大动能、势能同时一样大、一样小。、一样小。动能最大时，势能最小动能最大时，势能最小反之也是。反之也是。动能、势能的相位是相动能、势能的相位是相同的。同的。动能、势能的相位是反动能、势能的相位是反向的。向的。机械能不守恒，能量是机械能不守恒，能量是传递的。传递的。机械能是守恒的。能量机械能是守恒的。能量值是一个常量的。值是一个常量的。七、七、 波的干涉波的干涉 相干波源：相干波源：若有两个波源，它们的若有两个波源，它们的振动振动波源振动方程波源振动方程:1*2ssr11ry22Py.t=y111A cos)(+Sjcos=+ty222A)(Sj方向平行方向平行、频率相同频率相同、相位相

12、同或相差恒定相位相同或相差恒定，称这两波源为相干波源。称这两波源为相干波源。P点振动方程点振动方程:r+t=y211A cos)(11jlyt2+r=2222cos)A(jlrr=22211()jjlcosyp=tAj+)(2AAAAcos =2+22211AP点的点的合振动方程合振动方程:1*2ssr11ry22Py.rr=22211()jjlcosyp=tAj+)(2AAAAcos =2+22211AP点的点的合振动方程合振动方程:1*2ssr11ry22Py.111Acoscossinsin=+2rr()(211tg222AAA221rr)+222lllljjjjj)22=rr(1l波程

13、差波程差2rr1=kl波程差波程差r2()r12k2=+1l干涉加强干涉加强AAA=+21干涉减弱干涉减弱AAA=21+2k(1)=)22=rr(1l若若2k=)22=rr(1l若若=12若：若：则有：则有：jj例1.已知一质点已知一质点（m = 20 kg）的振动方程为的振动方程为10cos(5)()4xtcm求：求：1.振幅、周期、频率和初相；振幅、周期、频率和初相；2. t = 0.2 s 时质时质点的位置、速度和质点所受合力；点的位置、速度和质点所受合力；3. t = 0.1 s 时时质点的相位、振动动能、势能和总能量。质点的相位、振动动能、势能和总能量。 解：解：1.10Acm4j2

14、T20.4(/ )5rad s1T2.5()Hzt = 0.2 s 时时10cos(5)4xt5 2()cm 50 sin(5)4vt 25 2 (/ )cm s加速度加速度2250cos(5)4at 2125 2(/ )cm s合力合力Fma225 2()N例1.已知一质点已知一质点（m = 20 kg）的振动方程为的振动方程为10cos(5)()4xtcm求：求：1.振幅、周期、频率和初相；振幅、周期、频率和初相；2. t = 0.2 s 时质时质点的位置、速度和质点所受合力；点的位置、速度和质点所受合力；3. t = 0.1 s 时时质点的相位、振动动能、势能和总能量。质点的相位、振动动

15、能、势能和总能量。t = 0.1 s 时时50.14342221sin ()24kEmAt2214mA23( )4J2221cos ()24pEmAt2214mA23( )4J2212EmA23( )2J例1.已知一质点已知一质点（m = 20 kg）的振动方程为的振动方程为10cos(50.25 )()xtcm求：求：1.振幅、周期、频率和初相；振幅、周期、频率和初相；2. t = 0.2 s 时质时质点的位置、速度和质点所受合力；点的位置、速度和质点所受合力；3. t = 0.1 s 时时质点的相位、振动动能、势能和总能量质点的相位、振动动能、势能和总能量。例2.一质点作简谐振动，振幅一质

16、点作简谐振动，振幅 A = 5 cm,初始初始时刻质点处于平衡位置并向正方向运动，经时刻质点处于平衡位置并向正方向运动，经0.25 s 后，质点第一次回到平衡位置，试写后，质点第一次回到平衡位置，试写出质点的振动方程，并作出振动曲线。出质点的振动方程，并作出振动曲线。xt = 0t = 0.25 s解：解：由图知，初相由图知，初相2j 圆频率圆频率t40.25振动方程振动方程5cos(4)()2xtcm5cos(4)()2xtcmxt(s)x0.250.50t = 0/12tT2 /12tT3 /12tT4 /12tT5 /12tT6 /12tT7/12tT11 /12tT8 /12tT9 /

17、12tT10 /12tT例3.已知一质点作简谐振动的振动曲线如图已知一质点作简谐振动的振动曲线如图所示，试写出该质点的振动方程。所示，试写出该质点的振动方程。10-10-5x(cm)t(s)1解：解：-5-10 x(cm)2353由图知由图知10Acm23j t5 /3513振动方程振动方程52cos()()33xAtcm例4. 两个同方向同频率的简谐振动，其合振两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的周相，与第一个简谐振动的周相差为差为/6，若第一个简谐振动的振幅为，若第一个简谐振动的振幅为10 3,cm则第二个简谐振动的振幅为则第二个简谐振动的振幅

18、为 cm，第一、二两个谐振动的周相差为第一、二两个谐振动的周相差为 。解：用旋转矢量法解解：用旋转矢量法解A1A2A=20 cm10 3cm / 6222112cosAAAA Aj2220(10 3)2 20 10 3cos6 10()cm10例4. 两个同方向同频率的简谐振动，其合振两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的周相，与第一个简谐振动的周相差为差为/6，若第一个简谐振动的振幅为，若第一个简谐振动的振幅为10 3,cm则第二个简谐振动的振幅为则第二个简谐振动的振幅为 cm，第一、二两个谐振动的周相差为第一、二两个谐振动的周相差为 。10222

19、12122cosAAAA Aj2221212cos02AAAA Aj2j2A1A2A=20 cm10 3cm / 6例5.已知波源在原点的平面简谐波的方程为已知波源在原点的平面简谐波的方程为cos()yABtCx式中式中 A、B、C 为正值恒量。试求：为正值恒量。试求：（1）波的波的振幅、频率、周期、波速与波长；振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源写出传播方向上距离波源 l 处一点的处一点的振动方程振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为试求任何时刻，在波的传播方向上相距为 D 的两的两点的周相差点的周相差；txA=cos()2lj+y振幅振幅 = A2B12

20、TB2B2CluTlBC2Cl解：例5.已知波源在原点的平面简谐波的方程为已知波源在原点的平面简谐波的方程为cos()yABtCx式中式中 A、B、C 为正值恒量。试求：为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源写出传播方向上距离波源 l 处一点的振动方程处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为试求任何时刻，在波的传播方向上相距为 D 的两的两点的周相差点的周相差；距离波源距离波源 l 处处,x=l,该点的振动方程为该点的振动方程为cos()yABtlC解：212xC Dl 例5.已知波源在原点的

21、平面简谐波的方程为已知波源在原点的平面简谐波的方程为cos()yABtCx式中式中 A、B、C 为正值恒量。试求：为正值恒量。试求：（1）波的振幅、频率、周期、波速与波长；波的振幅、频率、周期、波速与波长；（2）写出传播方向上距离波源写出传播方向上距离波源 l 处一点的振动方程处一点的振动方程；（3）试求任何时刻，在波的传播方向上相距为试求任何时刻，在波的传播方向上相距为 D 的两的两点的点的周相差周相差；解：xD 例6. 一简谐波沿一简谐波沿 OX 轴轴负负向传播，波长为向传播，波长为4 m，周期为，周期为 4 s。已知。已知 x = 2 m 处质点的振动曲线如图所示。处质点的振动曲线如图所

22、示。（1）写出写出 x = 2 m 处质点的振动方程；处质点的振动方程；（2）写出写出 波动方程；波动方程；（3）画出画出 t = 1 s 时的波形曲线；时的波形曲线；解：解：2Acm3j2T2振动方程振动方程22cos()23xytcmt / sy /10-2 m222 /2yA/2例6. 一简谐波沿一简谐波沿 OX 轴轴负负向传播，波长为向传播，波长为4 m，周期为，周期为 4 s。已知。已知 x = 2 m 处质点的振动曲线如图所示。处质点的振动曲线如图所示。（1）写出写出 x = 2 m 处质点的振动方程；处质点的振动方程；（2）写出写出 波动方程；波动方程；（3）画出画出 t = 1 s 时的波形曲线；时的波形曲线；22cos()23xytcm以以x=2m处为波源的波动方程处为波源的波动方程:2co