换元法求不定积分

1、也不属于有钱人也不属于有钱人, ,而是属于有心人而是属于有心人. .这个世界这个世界, ,不属于有权人不属于有权人, ,第一节、不定积分概念与基本积分公式第一节、不定积分概念与基本积分公式 第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分第三节、有理函数和可化为有理函数的不定积分本章内容：本章内容：第二节、第二节、换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法不定积分二、第二类换元法二、第二类换元法一、第一类换元法一、第一类换元法换元积分法与分部积分法 第8章 三、分部积分法三、分部积分法第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(设, )()(ufuF)(xu可导,

2、xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称配元法配元法即xxxfd)()(, 凑微分法凑微分法).1(d)(mxbxam解解: 令,bxau则,ddxau 故原式原式 =muuad1a1Cumm1111)() 1(1mbxamaC注注: 当1m时bxaxdCbxaaln122)(1d1axxa.d22xax解解:22dxax,axu 令则xaud1d21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式21d

3、uuCu arctan)(ax).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax)(d)(xxf(直接配元)xxxfd)()(2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsindxxdtan类似Caxaxaln21.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( dxbxafd)() 1 (

4、 )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosdxxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln21.d3xxex解解: 原式 =xexd23)3d(323xexCex332例例

5、8. 求.dsec6xx解解: 原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3tan32xtanC.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样xxsin11sin1121.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sindxsindxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21xxtansecxxdsecxxdse

6、cxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln222d)(2123xax.d)(23223xaxx解解: 原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC)2cos2cos21 (241xx .dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xx

7、xxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1 (81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321Cxxexex111xexexxxdd xexxd) 1(.d)1 (1xexxxx

8、解解: 原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1lnln分析分析: .d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式)()(xfxfxxfxfxfxfxfd)()()(1)()(2 xxfxfxfxfd)()()()(22 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf)()(xfxf常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2c

9、os1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dxxxxd) 1(110.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1

10、010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x10dx101第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(CxF)()()()(ttft)(tx是可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xtttt

11、f则有换元公式. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C. )0(d22aaxx解解:,时

12、当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln原式21) 1(22ta221a.d422xxxa解解: 令,1tx 则txtdd21原式ttd12tttad) 1(2122,0时当x42112tta Cat

13、a2223) 1(23当 x 0 时, 类似可得同样结果 .Cxaxa32223)(23) 1(d22ta1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsecxxdtan)14(xxdcot)15(xxdsec)16(xxdcsc)17(Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln(7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒

14、代换倒代换 ,d)()6(xafx令xat xxad1)18(22xxad1)20(22xaxd1)21(22xaxd1)19(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)22(22Caxx22ln.32d2 xxx解解: 原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC例例21. 求.94d2xxI解解:223)2()2(d21xxICxx942ln212.1d2xxx解解: 原式 =22)()()(d21x2521xCx512arcsin例例23. 求.1d2xex解解: 原式xxee21dCexarcsin.d22

15、2 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222ttttd)1(12132.2) 1(d23xxxx解解: 原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112例例16tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin221. 下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2( )2(d)3(7xxx令21xt令xet1令xt1,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 两边求导, 得)(5xf

16、x,12xx则1dd)(24xxxxxf)1(xt 令231dttt222d121ttt1(1)1 (d)1 (212221tt)1 (d)1 (212221tt23)1 (312tCt21)1 (2(代回原变量代回原变量) xxxd11) 132) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin5求不定积分解：解：.dsin2sin1cossin222xxxxx利用凑微分法 ,xx22sin2sin1原式 =)sin1 (d2x令xt2sin1tttd1222t

17、td)111 (22t 2Ct arctan2Cxx22sin1arctansin12得分子分母同除以求不定积分解解:.d1)1 (122xxx令,sintx ,sin1122txttxdcosd 原式ttttdcos)sin1 (cos2ttdsin112t2costttandtan2112tttand)tan2(112221Ct )tan2arctan(21Cxx212arctan21ttttdtansecsec222由导数公式vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .

18、:)d(的原则或及选取vvu三、三、 分部积分法分部积分法.dcosxxx解解: 令,xu ,cosxv 则, 1 uxvsin 原式xxsinxxdsinCxxxcossin思考思考: 如何求?dsin2xxx提示提示: 令,2xu ,sin xv 则原式xx cos2xxxdcos2.dlnxxx解解: 令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx

19、arctan212Cxx)arctan(21.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cosxu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cosxu xev , 则,sin xuxev xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . :的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序, 前者为 后者为u.v例例5. 求.darccosxx解解: 令,arccosxu 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxx

20、xd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21反: 反三角函数对: 对数函数幂: 幂函数指: 指数函数三: 三角函数.dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 则,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tan. )0(d22axax解解: 令,22axu, 1 v则,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式 =2221axxCaxxa)(ln2

21、222xaxd22.)(d22nnaxxI解解: 令,)(122naxu, 1 v则,)(2122naxxnuxv nIxaxxnnd)(21222naxx)(22xaxnnd)(2122naxx)(22nIn2122nIan得递推公式nnnIannaxxanI22221212)(21222)(aaxnaxx)(22递推公式nnaxxI)(d22已知CaxaIarctan11利用递推公式可求得.nI例如,3I2222)(41axxa2243Ia2222)(41axxa243a22221axxa1221Ia2222)(41axxa22483axxaCaxaarctan835nnnIannaxxa

22、nI22221212)(21)2(1tandtan21nInxxxInnnn证证:xxxInnd) 1(sectan22)d(tantan2xxn1tan1nxn2nI2nI注注:0IIn或1I0I,Cx1ICx cosln分部积分题目的类型:1) 直接分部化简积分 ;2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C )例例43) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .)(xf的一个原函数是,cosxx求.d)(xxfx 解解:xxfxd)( )(dxfx)(xfxxxfd)(xxxcosCxxcosxsin

23、Cxxcos2说明说明: 此题若先求出)(xf 再求积分反而复杂.xxfxd)(xxxxxxdcos2sin2cos2.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令.d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部令,arctanxt 即,tantx 则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctanxeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctanvu分部积分公式xvuvuxvudd1. 使用原则 :xvuvd易求出,易积分2. 使用经验 : “反对幂指三反对幂指三” , 前 u 后v3. 题目类型 :分部化简 ;循环解出;递推公式4. 计算格式 :vuxxId)ln(