新三第7讲 学会倒着想

1、学会倒着想在左边这个数字迷宫中，有5个入口和1个出口。只有相邻的两个数字之和是3的倍数时，才能从它们中间通过。如果你是游戏中的小朋友，你会选择从哪个入口进去，走怎样的路线顺刹通过迷宫呢?显然，上面这个问题如果顺着去想，就会很麻烦要尝试很多次。倒不如反过来想既然选择一定的路线可以通过迷宫，那么反过来按照同样的路线，也一定可以回到出发点。因此，不妨把出口当作入口，按照游戏中的规则反过来走（如图1），一次就可以找到问题的答案（如图2）。像这样从所求问题出发，倒着想，回到已知条件思考问题的方法，就叫作“逆推法”。其实，不仅在游戏中，更多的也可以用在同学们的数学学习中。很多题目如果运用逆推法去思考，可以

2、起到化难为易、化繁为简的效果! 利用逆推法解题，必要时借助线段图、表格的帮助，可使思路更加清晰、简便!【例1】 浮萍在池塘里所占水面面积每天增加1倍，经过62天整个池塘长满了浮萍。浮萍长到半个池塘水面时，用了几天的时间?分析 倒着想。由于“浮萍在池塘里所占水面面积每天增加1倍”，所以笫62天池塘浮萍的面积就应该是第61天的两倍。这样不难发现，第61天池塘浮萍的面积就是池塘水面的一半。即学即练1 往贮水池里注水，每小时都要比原来的体积增加1倍。如果照这样计算，注入64立方米水用了6小时，那么注入16立方米水用了几小时?【例2】 小华问数学张老师：“您今年多少岁了?”张老师回答说：“用我的年龄数减

3、去8，乘以3，除以11，再加上3，就正好等于你现在的岁数9。”请你算一算，张老师今年多少岁?分析 从结果倒着想。由于加上3，结果等于是9。说明没加3之前是93 = 6；同样的，没除以11之前是11×6 = 66，没乘3之前是66 ÷ 3 = 22，没减去8之前是22 + 8 = 30。即学即练2 一个数加上4，乘以4，再减去4，最后除以4，结果还是4。这个数是几?【例3】 在抄写某两个数相乘的习题时，小华将其中一个数45误写成54，结果他所得到的答案比正确答案大198。这个乘法习题的正确答案是多少?分析 把45误写成54，即比原来的数大9。那个不变的数的9倍正好等于198，

4、因此不变的数是198 ÷ 9 = 22。即学即练3（1）小彬在做一道加法题目时，把个位上的4看成了2，把十位上的7看成了8，结果得到的和是251。正确的结果应是多少?（2）一个数减去248，聪聪不小心错把被减数百位和十位上的数交换了，结果得439。正确的结果是多少?【例 4】 李老师拿着一批书送给30位同学，每到一位同学家里，李老师就将手里所有的书的一半给他，每位同学也都还她一本，最后李老师手里还剩下2本书。那么李老师原来拿了多少本书?分析 从最后一个同学开始逆推。李老师收同最后那位同学给她的1本后还剩2本，说明李老师将自己剩下的书的一半给最后那个同学后还剩1本，当然，给最后那个同学

5、之前有2本；同样的道理，给第35个同学之前是2本；给第34个同学之前是2本为了直观，可以用表格表示如下：本 数最 后2给第36个同学之前（2 1）× 2 = 2给第35个同学之前（2 1）× 2 = 2给第34个同学之前（2 1）× 2 = 2给第1个同学之前（2 1）× 2 = 2即学即练4盒子里有若干个球。小明每次拿出盒中的一半再放回一个球。这样共操作了7次，盒中还有3个球。盒子里原来有多少个球?【例5】 一条彩带，第一次用去一半，第二次又用去剩下的一半，还剩下9米。这条彩带原来长多少米?分析 从下面的线段图上可以看出：剩下的9米和余下的一半同样多，

6、那么可以先求出原来的一半，再求出彩带的全长。即学即练5 小林摘西瓜，第一天摘了瓜地里西瓜的一半又10个，第二天摘了余下的一半又10个，第三天摘了10个正好摘完。这块瓜地原来共结西瓜多少个?【例6】 小红、小青、小宁都喜爱画片。如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张?分析 三人画片进行交换，其总数是不会改变的。交换以后三人张数相等，那么每人应有150 ÷ 3 = 50（张）。再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得到他们三人原来画片的张数。即学即练6 小红和小明共有54张

7、牌，小红先给小明10张牌，小明再给小红12张牌，这时小红手中牌的张数是小明的2倍。他们原来各有几张牌?【例7】 三堆棋子共96枚。小华先从第一堆里拿出和第二堆棋子同样多的棋子放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆棋子数同样多的棋子放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与第一堆同样多的棋子放入第一堆，这时，三堆棋子数正好相等。三堆棋子原来各有多少枚?分析 根据题意可知，最后每堆棋子数是96 ÷3 = 32（枚）。由此向前逆推，用表格可以清楚地看出变化情况。第一堆（枚）第二堆（枚）第三堆（枚）最初状态16 + 28 = 4456 ÷ 2 = 2824第一次变化后1632 + 24 =

8、5648 ÷ 2 = 24第二次变化后32 ÷ 2 = 163232 + 16 = 48第三次变化后323232即学即练7甲、乙、丙三人的钱数各不相同。甲最多，他拿出一些给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加一倍，结果乙的最多；乙拿出一些给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加一倍，结果丙的最多；丙拿出一些给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加一倍，结果三人的钱数一样多。如果他们三人共有48元，那么甲、乙、丙三人原来各有多少元钱?能力检测1一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8。这个数是多少?2将一个数作如下运算：乘以4，再加上112，减去20，最后除以4，这时得30。那

9、么这个数是多少?3篮子里原来有苹果若干个，拿出一半给奶奶，又拿出剩下的一半送给妈妈，这时还剩下5个。原来这篮苹果有多少个?4一根电线，第一天先用去2米，再用去余下的一半。第二天同样先用去2米，再用去余下的一半，这时还剩12米。这根电线原有多少米？5大白鹅教授用一种特殊营养液进行喂虫子试验，虫子体长每天都长1倍，8天就长到了8厘米。大白鹅教授问小鸭助手：“当虫子长到4厘米时用了多少天?”小鸭随口答道：“8天长8厘米，那么一天就长1厘米，4天后就是4厘米。”你认为小鸭说得对不对?6小华在荷塘里种了一株莲藕，开始时它只有1片荷叶，以后每周都增加1倍的荷叶。假如现在它有1024片荷叶，在4周前它有多少

10、片荷叶?7算式： 3 × 5 ÷ 8 + 95 = 120中， 处应填几?8四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。他们原来各有课外书多少本?9有甲、乙两个港口，各停小船若干只，如果按下面的规则移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只到乙港，第二次从乙港开出和甲港剩下的同样多的船只到甲港，那么照这样移动四次后，甲、乙两港所停的小船只数都是48只。甲、乙两港最初各有小船多少只?10将八个数从左往右排成一排，从第三个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和。如果第七个数和第八个数分别是31和5

11、0，那么第一个数是多少?11三只猴子分一堆桃子，第一只猴子先去把桃子分成3份，拿走了自己的一份；第二只猴子以为谁也没来分过，把剩余的桃子又分成3份，拿走了自己的一份；第三只猴子以为谁也没来分过，也把剩余的桃子分成3份，拿走了自己的一份，最后还剩下8个桃子。这堆桃子原来有多少个?12有一个正方形，以它的一条对角线为边长作新正方形；又以新正方形的对角线为边长作新正方形（如右图所示）。如此这样作下去，得到第五个正方形的面积是128平方厘米。求原正方形的面积。13工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长多少米?14某数加上5，然后再乘4