§6.2布里渊区

1、16.2 布里渊区布里渊区一、布里渊区一、布里渊区1.布里渊区布里渊区 在倒格子空间以某一倒格点为原点，在倒格子空间以某一倒格点为原点，从原点出发做所从原点出发做所有倒格矢的中垂面有倒格矢的中垂面, 这些平面把倒格子空间划分成许多包围这些平面把倒格子空间划分成许多包围原点的多面体原点的多面体,离原点最近的多面体称为第一布里渊区。离离原点最近的多面体称为第一布里渊区。离原点次近的多面体与第一布里渊区之间的区域称为第二布里原点次近的多面体与第一布里渊区之间的区域称为第二布里渊区渊区。或者从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集。或者从原点出发不跨过任何垂直平分面的点的集合称为第一布里渊区；从原点出发

2、只跨过一个垂直平分面的合称为第一布里渊区；从原点出发只跨过一个垂直平分面的所有点的集合称为第二布里渊区所有点的集合称为第二布里渊区从原点出发跨过从原点出发跨过(n-1)个个垂直平分面的所有点的集合称为第垂直平分面的所有点的集合称为第n布里渊区。布里渊区。 第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间中的倒格子空间中的WS原胞原胞。22.布里渊区的特点布里渊区的特点(1)各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。各布里渊区的体积相等，都等于倒格子原胞的体积。 33212 bb b(2)波矢波矢k的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为：的代表点是均匀分布的，每个代表点的体积为： NbNbN bN333

3、22112321 (3)第一布里渊区又称为简约布里渊区。简约布里渊区所第一布里渊区又称为简约布里渊区。简约布里渊区所包含的波矢的数目包含的波矢的数目(即状态数即状态数)为晶体中的原胞数为晶体中的原胞数N。 NN 3322 3;321kaa , j aa , i aa: 正格子基矢正格子基矢2211bnbnK:h 倒格矢倒格矢二、二维正方格子的布里渊区分布二、二维正方格子的布里渊区分布;222321kab , jab , iab: 倒格子基矢倒格子基矢1.布里渊区的画法布里渊区的画法(1)利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图利用倒格矢画出倒格子空间中倒格点的分布图;(2)分别找出近邻的倒格点

4、、次近邻倒格点分别找出近邻的倒格点、次近邻倒格点做所有倒做所有倒格矢的垂直平分面格矢的垂直平分面;(3)确定相应的布里渊区。确定相应的布里渊区。4xkykOia 2ia- 2ja 2ja- 221bb 5 的连线。的连线。到角顶点到角顶点：表示布里渊区中心：表示布里渊区中心的连线；的连线；到边界线的中点到边界线的中点：表示布里渊区中心：表示布里渊区中心；：表示布里渊区角顶点：表示布里渊区角顶点的中点；的中点；：表示布里渊区边界线：表示布里渊区边界线的中心；的中心；简约布里渊区简约布里渊区：表示第一布里渊区：表示第一布里渊区 62.第一布里渊区第一布里渊区倒格子空间离原点最近的四个倒格倒格子空间

5、离原点最近的四个倒格点点1122,bbbb垂直平分线方垂直平分线方程程akakyx 第一布里渊区大小第一布里渊区大小2)2(a 73.第二布里渊区第二布里渊区由由4个倒格点个倒格点12121212()()()()bbbbbbbb2)2(a 垂直平分线和第一布里渊区边垂直平分线和第一布里渊区边界所围成第二布里渊区大小界所围成第二布里渊区大小8由由4个倒格点个倒格点12122 ,22 ,2bbbb4.第三布里渊区第三布里渊区2)2(a 垂直平分线和第二布里渊区边垂直平分线和第二布里渊区边界边界所围成第三布里渊区大界边界所围成第三布里渊区大小小9第一、第二和第三布里渊区第一、第二和第三布里渊区105

6、.正方格子其它布里渊区的形状正方格子其它布里渊区的形状11每个布里渊区经过每个布里渊区经过适当的平移之后和适当的平移之后和第一布里渊区重合第一布里渊区重合 12 第一布里渊区在第一布里渊区在k方向上能量最高点方向上能量最高点A，k方向上方向上能量最高点能量最高点C。 C点的能量比第二布里渊区点的能量比第二布里渊区B点高。点高。6.二维正方格子的能带交叠二维正方格子的能带交叠13二维二维( (包括三维包括三维) )和一维情形有一个和一维情形有一个重要的区别重要的区别不同能带在能量上不不同能带在能量上不一定分隔开而可以发生能带之间的一定分隔开而可以发生能带之间的交叠。交叠。第一布里渊区和第二布里渊

7、第一布里渊区和第二布里渊区能带的重叠区能带的重叠。147.二维斜格子的第一布里渊区二维斜格子的第一布里渊区158.二维六角格子其它布里渊区的形成二维六角格子其它布里渊区的形成 169.二维六角格子其它布里渊区的形状二维六角格子其它布里渊区的形状每个布里渊每个布里渊区经过适当区经过适当的平移之后的平移之后和第一布里和第一布里渊区重合渊区重合 1710.二维格子布里渊区的特点二维格子布里渊区的特点(1)尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干尽管布里渊区在图中看起来好像被分割为不相连的若干小区小区, 但是但是,实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的能级实际上能量是连续的。属于一个布里渊区的

8、能级构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。构成一个能带。不同的布里渊区对应不同的能带。(2)每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等每个布里渊区的形状尽管各异，但是面积都相等, 等于倒等于倒格子原胞的面积。格子原胞的面积。(3)计入自旋，每个能带包含计入自旋，每个能带包含2N个量子态。个量子态。(4)每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。18 简单立方格子的倒格子也是简立方，其第一布里简单立方格子的倒格子也是简立方，其第一布里渊区是边长为渊区是边长为2 /a的立方体。第一布里渊区为原点和的立方体。第一布里渊区为原点和6个近邻

9、格点的垂直平分面围成的立方体。个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。kaaj aai aa 321,kabjabiab 2,2,2321 倒格子基倒格子基矢矢正格子基正格子基矢矢三、简单立方格子的布里渊区三、简单立方格子的布里渊区321,bbb 19第一布里渊区第一布里渊区20四、体心立方格子的布里渊区四、体心立方格子的布里渊区 1.体心立方正格子基矢体心立方正格子基矢；)(2)(2)(2321kjiaa kjiaa kjiaa jiab , ikab ,kjab 2223212.体心立方对应的倒格子基矢和倒格矢体心立方对应的倒格子基矢和倒格矢 knnjnninna bnbnbnKn213132

10、3322112 211b2b3ba 422倒格矢的长度倒格矢的长度(基矢的长度基矢的长度)为为: 110211021102110210121012101210120112011201120112,a ,a ,a ,a,a ,a ,a ,a,a ,a ,a ,a 3.离原点最近的倒格点离原点最近的倒格点 体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格体心立方的倒格子是面心立方，离原点最近的倒格点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为点有十二个。在直角坐标系中的坐标分别为:aKn 22 234.体心立方第一布里渊区体心立方第一布里渊区 离原点最近的十二个倒格点的中垂面围成一个离原点最近的十二个倒格点的

11、中垂面围成一个菱形菱形十二面体十二面体。其体积等于倒格子原胞的体积。其体积等于倒格子原胞的体积。2425 021212212121200120002,a ,a ,a ,a k 波矢波矢5.对称点和对称轴对称点和对称轴Hijk26五、面心立方格子的布里渊区五、面心立方格子的布里渊区 1.面心立方正格子基矢面心立方正格子基矢2.面心立方对应的倒格子基矢和倒格矢面心立方对应的倒格子基矢和倒格矢)(2)(2)(2321jiaa ;ikaa ;kjaa k jiab ,kj iab ,kjiab 222321 knnnjnnninnna bnbnbnKn321321321332211-2 27a 428

12、倒格矢的长度倒格矢的长度(基矢基矢)为为: 11121112111211121112111211121112,a ,a ,a ,a,a ,a ,a ,a 3.离原点最近的倒格点离原点最近的倒格点 面心立方的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格面心立方的倒格子是体心立方，离原点最近的倒格点有八个。在直角坐标系中的坐标分别为点有八个。在直角坐标系中的坐标分别为:aKn 32 离原点最近的八个倒格点中垂面所围成的八面体的体积大离原点最近的八个倒格点中垂面所围成的八面体的体积大于倒格子原胞得体积，必须考虑次近邻的六个倒格点。于倒格子原胞得体积，必须考虑次近邻的六个倒格点。294. 次近邻的倒格点次近邻的倒格点 200202020022 ，a ,a ,a 倒格矢的长度为倒格矢的长度为:aKn 4 次近邻的六个倒格矢的中垂面将截去原正八面体的次近邻的六个倒格矢的中垂面将截去原正八面体的六个角，形成一个截角八面体六个角，形成一个截角八面体(实际是十四面体实际是十四面体)30八 个 面 是八 个 面 是正六边形正六边形, ,六 个 面 是六 个 面 是正四边形正四边形31 212121204343200120002,a ,a ,a ,a kL 波矢波矢aKn 32 aKn 4 3233二维长方晶格的布里渊区二维长