方向导数与梯度

1、 第八章第八章 第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度 假定板上任意一点处的温度与该点到原点的假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比距离成反比一、方向导数一、方向导数 1.问题的提出问题的提出 一块长方形的金一块长方形的金属板，四个顶点的坐标属板，四个顶点的坐标是是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有在坐标原点处有一个一个火焰火焰，它使金属受，它使金属受热热在在(3,2)处有一个处有一个蚂蚁蚂蚁，问：，问： 这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？凉快的地点？问题问题1问题的实质：问题的

2、实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即温度的梯度相反方向）爬行（即温度的梯度相反方向）爬行.问题问题2沿沿在在点点是是),(),(),(00000yxPyxfyxfx如如何何的的变变化化率率如如何何确确定定？又又轴轴沿沿与与在在点点问问：xPyxf0),(化化时时成成定定角角的的任任一一直直线线上上变变计计算算？0Pl 轴的直线上的变化率轴的直线上的变化率平行于平行于x2.方向导数的定义方向导数的定义设设l 是是xOy 平面上以平面上以)cos,(cosel ),(000yxP.cos,cos00yyxx )0( xyo是与是与l 同方向的同方向的为始点的为始点的定

3、义定义8.8 单位向量单位向量. . 函数函数 z = f (x, y) 在点在点P0(x0 , y0 ) 的某个邻域的某个邻域 )(0PUlle一条射线，一条射线，内有定义，内有定义，)cos,cos(00yxP 为为l上另一点，且上另一点，且 )(0PUP P射线射线l 的参数方程为的参数方程为 0P)()(0PfPfz ，则则PP |00)(0limPPzlPPP 若若yxfyxf),()cos,cos(lim00000 存在，存在， 则称此极限为函数则称此极限为函数 f ( x, y)在点在点P0沿方向沿方向 l 的的方向导数，方向导数，记作记作 ,),(00yxlf 即即.),()c

4、os,cos(lim00000),(00yxfyxflfyx ),()cos,cos(0000yxfyxf 2200)()(),(),(limyxyxfyyxxfyx 1 方向导数方向导数的其他形式：的其他形式：yxfyxflfyx),()cos,cos(lim00000),(00 ,cosx 其中其中,)()(22yx 注注x y xyolleP 0P|0PP ycos 2 方向导数的方向导数的几何意义几何意义 过点过点P0 沿沿l 作垂直于作垂直于xOy 面的平面，面的平面，与曲面与曲面 z = f (x, y)的交线的交线在曲面上相应点在曲面上相应点M 处的处的切线切线MTl(若存在若存

5、在)关于关于l 方向的斜率方向的斜率:该平面该平面lf tan0Pl Tlz=f(x, y) M3. 方向导数的计算方向导数的计算 )(令令),cos,cos(00yxf 则则yxfyxf),()cos,cos(lim00000 ),(00yxlf )0()(lim0 ).0( 本质上，方向导数本质上，方向导数计算可归结为一元计算可归结为一元函数导数计算函数导数计算(1) 用定义用定义例例1xyyxf ),(求求在点在点 (1, 2) 处沿方向处沿方向)cos,(cosenml 的方向导数的方向导数. .解解),2 , 1(),(00 yx )()cos1(m 2 )0( )2 , 1(lf.

6、coscos2nm ),cos,cos()(00yxf )0( ),(00yxlf),cos2(n )coscos2(nm,coscos2nm当函数当函数f( (x, ,y) )在点在点),(00yx可微时可微时, ,又有如下的计算又有如下的计算方向导数的办法方向导数的办法. .,coscosm ,coscosn 定理定理8.9,cos),(cos),(0000yxfyxfyx 证证 由函数由函数),(yxf)(),(),(0000oyyxfxyxffyx 且有且有得得 ),(00yxlf则函数在该点则函数在该点沿任一方向沿任一方向 的方向导数存在的方向导数存在 ,le.ecos,cos的方向

7、余弦的方向余弦为为其中其中l在点在点 可微可微 ,0P, ),(),(000处处在在点点若若函函数数yxPyxf可微可微 cos),(00yxfx)(o cos),(00yxfy (2) 用公式用公式x y xyolleP 0P),(00yxlf 故故yxfyxfyxcos),(cos),(0000 f 0lim cos),(00yxfx)(o cos),(00yxfy f 求求函函数数yxz2e 在在点点)0 , 1(P处处沿沿从从点点 )0 , 1(P到到点点)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向导导数数. 解解)21,21(e lll)cos,(cos 21cos,21cos , 1e

8、)0 , 1(2)0 , 1( yxz2e2)0 , 1(2)0 , 1( yxyz例例2),1,1( PQl所所求求方方向向导导数数 )21(2211 )0 , 1(lz.22 )0,1()coscos(yzxz 对对于于三三元元函函数数),(zyxfu ，它它在在空空间间一一点点),(zyxP沿沿着着方方向向 l的的方方向向导导数数 ，可可定定义义为为： PPPfPflflPPP )()(lim)(zyxfzyxf),()cos,cos,cos(lim0 方向导数概念可方向导数概念可推广到推广到三元函数：三元函数： ),(),(lim0zyxfzzyyxxf ,cos x,cos y,co

9、s z),(zzyyxxPP 其其中中.coscoscos zfyfxflf 222)()()(zyx , ,为为方方向向 l 的的方方向向角角 同样有，当函数在一点可微时，则函数在该点同样有，当函数在一点可微时，则函数在该点沿任意方向的方向导数都存在，且有沿任意方向的方向导数都存在，且有例例3解解 处处沿沿从从在在点点求求函函数数2, 1, 102 Mzxyu.式式计计算算因因函函数数可可微微，所所以以用用公公故故,141cos .143cos ,142cos 又又 xu yu zu .1,1 ,20方方向向的的方方向向导导数数到到点点点点 MM),3,2, 1( MM0,140 MM,2z

10、y,2xyz,2xy处处，在在点点0M,2 xu,2 yu.1 zu故故142 lu:先先求求方方向向.145 144 143 (1)方向导数与偏导数的关系方向导数与偏导数的关系xf 存在存在4. 概念之间的关系概念之间的关系)e()()e(iifiifll 存在，且存在，且时，时，当当il e;xfif 时，时，当当il e.)(xfif 证证存存在在，则则若若xf 时，时，当当0, 1e il,/轴轴同同向向轴轴且且与与射射线线即即xxl2, 0 ifPPPfPflPPP )()(lim)(yxfyxf),()2cos, 0cos(lim0 yxfyxf),(),(lim0 )(xfxf

11、xyoPlP P P P 时，时，当当)0, 1(e il轴反向，轴反向，且与且与轴轴射线射线即即xxl,/, )(-ifPPPfPflPPP )()(lim)(yxfyxf),()2cos,cos(lim0 yxfyxf),(),(lim0 )(xfxf xyoPlP 2 if )(xf)( if )(xf ？即即ifxf )()()(ifxf 但但xf 存在存在)e()()e(iifiifll 存在存在反例：反例：在在点点22),(yxyxfz ).0 , 0(P（自己证）（自己证）(2)可微可微可偏导可偏导沿任意方向的沿任意方向的方向导数存在方向导数存在处处沿沿任任意意方方向向在在)0

12、,0(),(22yxyxfz 均均不不存存在在，)0 , 0(yf.)0 , 0(),(处处不不可可微微在在从从而而yxf反例反例1及及，但但都都为为的的方方向向导导数数都都存存在在，且且)0 , 0(1xf反例反例2 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(22yxyxyxxyyxfz可可偏偏导导，但但),(, 0)0 , 0()0 , 0(yxfffyx fyxflfxyx)0 , 0(),(lim)(0 xfxxfx2)0 , 0(),(lim0 )(22yx xx2021lim0 不存在不存在.的的方方向向导导数数：处处沿沿在在点点)1 , 1(0,0),( lyxf设从

13、设从x轴正方向到射线轴正方向到射线 l的转角为的转角为 ，求函数求函数的方向导数的方向导数.并问并问: l是怎样的方向时，此方向导数是怎样的方向时，此方向导数 (1) 取得最大值取得最大值; (2) 取得最小值取得最小值; (3) 等于零？等于零？解解zzlzyxcos) 1 , 1 (cos) 1 , 1 ()1 , 1( 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知) 1 , 1() 1 , 1()2(cos)2(yx 例例4 沿射线沿射线 l 方向方向在点在点P(1,1)(222yxz )sin(cos2 ),4sin(22 sin),4sin(22)1 , 1( lz故故(1) 当当4

14、 时时， (2) 当当45 时时， (3) 当当43 和和47 时时， 方向导数等于方向导数等于 0. ; 22 方向导数达到最小值方向导数达到最小值方向导数达到最大值方向导数达到最大值; 22二、梯度二、梯度 :问问题题从从例例4 看到看到,到最大值到最大值.,22增增加加得得最最快快z的的方方向向导导数数达达在在点点函函数数)1 , 1()(222Pyxz :45时时，即即沿沿着着方方向向当当 45)sin(cose ，l)21,21( 函数在点函数在点P 沿哪一个方向增加的速度最快？沿哪一个方向增加的速度最快？zoPxy =5 /4观察向量：观察向量：)1 ,1()(Pyzxzg ，)2

15、,2( 恰好与恰好与)21,21(e l同方向，同方向， 22g且且)1 , 1(Plz 最大最大.这是巧合吗？这是巧合吗？ 不是！不是！)1 ,1()2,2(Pyx 1.定义定义8.9 设二元函数设二元函数),(yxfz Pjyfixff)(grad 为函数为函数 z = f (x, y) 在点在点 P 处的处的梯度梯度记作记作 ( gradient ),在点在点),(00yxP具有偏导数，具有偏导数， 称向量称向量),(),(0000yxfyxfyxPyfxf),( Pyfxf, lyxflfe),(grad (1)同同方方向向是是与与射射线线设设llcos,cose 的的单单位位向向量量

16、，则则),(gradPrjyxfl (2)取取得得最最大大方方向向导导数数的的方方向向是是使使得得),(yxf的的为为方方向向导导数数的的方方向向，且且lfyxf ),(grad可微函数可微函数 z = f (x, y) 的梯度有下列的梯度有下列性质：性质：.最最大大值值2. 梯度与方向导数的关系梯度与方向导数的关系)(grad),(yx,fyx,P对对于于任任一一给给定定的的点点yfxflfcoscos )cos,(cos),( yfxflyxfe),(grad cos| ),(grad|yxf 证证 (1),(gradjPryxfl ),),(gradlyxf 记记(2)lf | ),(g

17、rad|yxf 即即时时当当,1cos , 0 的的方方向向一一致致时时，),(gradyxf. ),(grad)(maxyxflfl 取得最大值取得最大值: :lf 注注1沿沿梯梯度度方方向向，取取得得最最大大值值：lf ),(gradyxflf 0 .),(增增加加最最快快yxf)()()(lim)(0PPPfPflflP 的的方方向向与与梯梯度度lyxfcos| ),(grad| 沿梯度沿梯度相反相反方向方向，取取得得最最小小值值：lf ),(grad)(minyxflfl 0 .),(减减小小最最快快yxf2 梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数),(radzyxf

18、g),(zyxfu ),(zfyfxf 类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质类似于二元函数，三元函数的梯度也有上述性质.方向：是函数值增加最快的方向方向：是函数值增加最快的方向模模 : 等于函数的方向导数最大值等于函数的方向导数最大值:grad f求函数求函数)ln(222zyxu 在点在点)2,2,1( M处的梯度处的梯度.)2, 2, 1(,grad zuyuxuuM解解,222zyxr 令令则则 xu21rx2 注意注意 x , y , z 具有轮换对称性具有轮换对称性)2, 2, 1(2222,2,2 rzryrx)2,2,1(92 例例5:*LxOy面面上上的的投投影影在在称为

19、函数称为函数, ),(yxfz 对函数对函数3. 梯度的几何意义梯度的几何意义(1) 等高线等高线 czyxfz),(曲曲线线 z = f (x, y)的的等高等高(值值)线线 . cyxf ),(xyo)(21cc )(222yxz xyzoz =c2z =c1),(gradyxff (x, y) =c1f (x, y) =c2 (2) 等高线等高线 f (x, y) = c 的法向量的法向量cyxfL ),(：等等高高线线处处的的切切向向量量：在在点点),(yxPL )(xyyxx)dd,1(xyT )0(),1( yyxfff),(1xyyfff 处处的的法法向向量量：在在点点),(yx

20、PL n ),(yxff)0( Tn(3) 等高线上的法向量与梯度的关系等高线上的法向量与梯度的关系则则处处的的法法向向量量为为在在点点,),(nyxPL ),(grad/yxfn), ),(cos(grad),(gradnyxfyxfnf 同同方方向向时时，与与当当),(gradyxfn),(gradyxfnf lfl max),(gradyxf 或或0 同同方方向向时时，与与当当),(gradyxfn),(gradyxfnf lfl max 0 故故 z = f (x, y) 在点在点 P( x, y )的的梯度梯度恰为恰为等高线等高线 f (x, y) = c 在这点的在这点的一个一个法

21、向量，法向量，其指向为：从其指向为：从数值数值较低较低的等高线的等高线到到数值数值较高较高的等高线，而梯度的等高线，而梯度的模等于函数沿这个法线方向的方向导数的模等于函数沿这个法线方向的方向导数.),(的值增加最快的值增加最快沿梯度方向，沿梯度方向，yxf2),(cyxf 1),(cyxf cyxf),(等高线等高线),(gradyxf梯度为等高线上梯度为等高线上的一个法向量，的一个法向量，其指向为：从数其指向为：从数值较低的等高线值较低的等高线到数值较高的等到数值较高的等高线高线.P)(21cc oyx函数在一点的梯度垂直于该点等值面函数在一点的梯度垂直于该点等值面,指向函数指向函数同样同样

22、, 对应三元函数对应三元函数, ),(zyxfu 有等值面有等值面(等量面等量面),),(czyxf 当各偏导数不同时为零时当各偏导数不同时为零时, 等值面上等值面上 点点P处的法向量为处的法向量为.gradPf增大的方向增大的方向.例例6.1)2,2()(122222222上上的的方方向向导导数数在在此此点点的的内内法法线线方方向向沿沿曲曲线线处处在在点点求求 byaxbaMbyaxu解解(方法方法1)12222 byax恰为等高线恰为等高线 ( u = 0 )Mun)(grad 法法向向量量：Myuxu),( Mbyax)2,2(22 xyoMn内内)2,2(ba MMyxunu),(gr

23、ad n 22)2()2(ba .)(222abba Mun)grad( )0(12222 ubyax)21(212222 ubyaxnuM )(gradoyx)2,2(ba nyxunuMM ),(grad.)(222abba (方法方法2) ),(yxf令令12222 byax的的内内法法向向量量：则则曲曲线线0),( yxf n Myxff),(Mbyax)2,2(22)2,2(ba xyoMn4. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1) CuCuCgrad)(grad(2) vuvugradgrad)(grad(3) uvvuvugradgrad)(grad(4) uuf

24、ufgrad)()(grad(5) 5. 梯度的应用梯度的应用梯度的应用非常广泛，如：梯度的应用非常广泛，如：(1) 计算方法中求解非线性方程组的计算方法中求解非线性方程组的最速下降法；最速下降法；(2) 在热力学中，引出在热力学中，引出热流向量：热流向量：Ukqgrad (其中其中U(P)为温度函数为温度函数)表示物体中各点处热流动的方向和强度；表示物体中各点处热流动的方向和强度；(3) 在电磁场学中的电位在电磁场学中的电位 u 与电场强度与电场强度 有关系：有关系：EuEgrad 例例7,)(可导可导设设rf),(222zyxPzyxr为点为点其中其中 证证xrf )()(rf yrf)(

25、)( gradrf)(1)(kzjyixrrf rrrf1)( rzrfzrf)()( rrfe)( jyrf )(kzrf )(xrrf )(222zyxx Pxozy,)(ryrf ixrf )(试证试证rxrf)( .e)()(radgrrfrf 处矢径处矢径 r 的模的模 ,r例例8已知位于坐标原点的点电荷已知位于坐标原点的点电荷 q 在任意点在任意点),(4222zyxrrqu ),(zyxP试证明：试证明：证证 利用利用例例6的结果的结果 处所产生的电位为处所产生的电位为Eu grad)e4(2rrqE 场强场强 rrque4grad rrqe42 E rrfrfe)()(grad

26、 rqrfu4)( 这说明：场强这说明：场强垂直于等位面垂直于等位面,且指向电位减少的方向且指向电位减少的方向.内容小结内容小结1. 方向导数计算公式方向导数计算公式 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP沿方向沿方向 l (方向角方向角),为为的方向导数为的方向导数为zfyfxflfcoscoscos 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP), 的方向导数为的方向导数为yfxflfcoscos 沿方向沿方向 l (方向角为方向角为可微时可微时方可用方可用2. 梯度梯度 三元函数三元函数 ),(zyxf在点在点),(zyxP处的梯度为处的梯度为Pzfyfxff ,g

27、rad 二元函数二元函数 ),(yxf在点在点),(yxP处的梯度为处的梯度为),(, ),(gradyxfyxffyx 3. 关系关系方向导数存在方向导数存在偏导数存在偏导数存在 可微可微lflfegrad 梯度在方向梯度在方向 l 上的投影上的投影.思考题思考题设函数设函数zyxzyxf 2),(1) 求函数在点求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线处沿曲线 12 32tztytx在该点切线方向的方向导数在该点切线方向的方向导数;(2) 求函数在求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与处的梯度与(1)中切线方向中切线方向 的夹角的夹角 .,2xfx 曲线曲线 12 32tz

28、tytx在点在点1dd,dd,dd ttztytx )1 , 1 , 1(coscoscosffflfzyxM 266 解解 (1)函数沿函数沿 l 的方向导数的方向导数lM (1,1,1) 处切向量为处切向量为12)3,4,1( ttt. )3,4,1( ,1 zyzyf,ln yyfzz Mfgrad)2(MMflfgrad 1306 1306arccos Mfgradl cos Mfgradl)0,1,2( Mzzyyzyx)ln,2(1 备用题备用题在点在点P(2, 3)沿曲线沿曲线223yyxz 12 xy在该点的切线，朝在该点的切线，朝 x 增大方向的方向导数增大方向的方向导数.解解 将