第十三章全等三角形

1、第十三章 全等三角形第一节 全 等 三 角 形教学目标：知识与技能： 1、理解全等形、全等三角形的概念。2、能准确识别全等三角形的对应边，对应角。3、掌握全等三角形的性质，并能利用其进行一些简单推理和计算。过程与方法：经历图形的平移,翻折，旋转等变换过程，体会探索问题的方法。情感态度与价值观：通过合作交流，增强团队意识，体验成功的喜悦。重点：全等三角形的性质。难点：全等三角形对应元素的确定。教学过程：一、创设情境，导入新课1、我们生活在一个丰富的图形世界中，在我们的生活中有着许多的图形，观察下面每组图片有何特征？（课件演示）2、你能再举出这样的一些例子吗？二、新课1、动手操作：把准备好的任意形

2、状的图形按在纸板上画下图形剪下来，观察剪下来的图形的形状，大小一样吗？形状相同、大小相等 完全重合（1）全等形：能够完全重合的两个图形。由学生类似地给出全等三角形的定义：（2）全等三角形：能够完全重合的两个三角形。2、全等变换自学课本3页思考（1）学生用准备好的两全等三角形动手操作（可以展示课本所画位置不同的情形）变换三角形的位置，有什么新的发现？归纳：平移、翻折、旋转前后的图形全等。3、全等的表示及对应元素1）对应顶点 对应边 对应角2）表示：“全等”用“ ”表示，“ ”表示两图形的形状相同，“= ”表示大小相等，读作“全等于”注意：记两三角形相等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。

3、4、全等三角形的性质：思考2：两三角形全等，对应边，对应角有何关系？A全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等;D B全等三角形的对应角相等.练习：课本4页练习 C 例：ABC ADC,AB=3,AC=4, B=100°，求AD、DC与D.思考：两全等三角形的周长、面积有何关系三、小结：由学生交流本节课的收获1、全等形、全等三角形的概念.2、数学方法：全等变换（平移、旋转、翻折）.3、全等三角形的表示及对应元素.4、全等三角形的性质.四、课堂训练：1、下列命题正确的有（ ）个（1）只有两个三角形全等才能完全重合；（2）两个图形全等，它们的面积一定相等（3）两个面积相等的图形一定全等；

4、（4）两个正方形一定是全等图形.2、下面每组图中的两三角形全等，找出对应相等的边和角，（学生可用自己手中的两全等三角形看经过怎样的全等变换得到每组图形，再找对应元素）DACCEEAAAAABBBDDDDOEFDCCCCBBDB思考：通过上面找对应元素，你能发现找对应元素有何规律？归纳：找对应角、对应边的方法：（1） 有公共角（公共边）的公共角（公共边）是对应角；对顶角是对应角；（2） 最大（小）角与最大（小）角是对应角;（3） 最长边（短）与最长边（短）是对应边;（4） 对应角所对边是对应边，对应边所对对角是对应角.AB3、如图：ABC DEF, ABC的周长是32cm,DE=9cm,EF=1

5、2cm，求ACDDCFDECD4如图：ABC BAD,C=60°,ABD=35°BAD=ABDD5如图：ABDEBC,AB=3cm,BC=5cm,求DE长. EAC AAAAAAAAB五、作业课本4页1,3第二节 三角形全等的条件（一）教学目标；知识与技能：1、三角形全等的“边边边”的条件。2、了解三角形的稳定性。过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程。情感态度与价值观：1、 通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯； 2、通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。教学重点

6、：三角形全等的条件。教学难点：寻求三角形全等的条件。教学过程：一、创设情境，引入新课：出示投影片，回忆前面研究过的全等三角形。已知ABCABC，找出其中相等的边与角。图中相等的边是：AB=AB、BC=BC、AC=AC相等的角是：A=A、B=B、C=C展示课作前准备的三角形纸片，提出问题：你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）。这是利用了全等三角形的定义来作图那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题。二、导入

7、新课：1只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做。三角形一内角为30°，一条边为3cm。三角形两内角分别为30°和50°。三角形两条边分别为4cm、6cm。学生分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流。结果展示：1只给定一条边时：只给定一个角时：2给出的两个条件可能是：一边一内角、两内角、两边。可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等。3、给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能即：三

8、内角、三条边、两边一内角、两内有一边。探索：在刚才的探索过程中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等。下面我们就来逐一探索其余的三种情况。已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？1作图方法：先画一线段AB，使得AB=6cm，再分别以A、B为圆心，8cm、10cm为半径画弧，两弧交点记作C，连结线段AC、BC，就可以得到三角形ABC，使得它们的边长分别为AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm2以小组为单位，把剪下的三角形重叠在一起，发现都能够重合这说明这些三角形都是全等的3特殊的三角形有这样的规律，要

9、是任意画一个三角形ABC，根据前面作法，同样可以作出一个三角形ABC，使AB=AB、AC=AC、BC=BC将ABC剪下，发现两三角形重合这反映了一个规律：三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”用上面的规律可以判断两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据请看例题例如图，ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架求证：ABDACD分析要证ABDACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等证明：因为D是BC的中点所以BD=DC在ABD和ACD中所以ABDACD（SSS）生活实践的有关知识：用三根木

10、条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的稳定性例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等三、随堂练习如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？2课本练习四、课时小结本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS并利用它可以证明简单的三角形全等问题五、作业1复习巩固1、2第三节 三角形全等的条件（二）

11、教学目标：知识与技能：三角形全等的“边角边”的条件。过程与方法：1、经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程2、掌握三角形全等的“SS”条件，了解三角形的稳定性。3、能运用“SS”证明简单的三角形全等问题。情感态度与价值观：通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧。教学重点：三角形全等的条件。教学难点：寻求三角形全等的条件。教学过程：一、创设情境，复习提问1、怎样的两个三角形是全等三角形？2、全等三角形的性质？3、三角形全等的判定1的内容是什么？二、导入新课1三角形全等的判定（二）(1)全等三角形具有“对应边相等、对应角相等

12、”的性质那么，怎样才能判定两个三角形全等呢？也就是说，具备什么条件的两个三角形能全等？是否需要已知“三条边相等和三个角对应相等”？现在我们用图形变换的方法研究下面的问题：如图2，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，ABO和CDO是否能完全重合呢？不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：AOCO，AOB COD，BODO如果把OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OAOC，所以可以使OA与OC重合；又因为AOB COD， OBOD，所以点B与点D重合这样ABO与CDO就完全重合由此，我们得到启发：判定两个三角形全等，不需要三条边对应相等和三个角对应相等而且，从上面的例子可以引

13、起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等2上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验： 多媒体出示探究3：已知任意ABC，画A'B'C'，使A'B'AB，A'C'AC，A'A。（1）教师点拨，学生边学边画图。 （2）把ABC剪下来放到ABC上，观察ABC与ABC是否能够完全重合？3边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简称“边角边”或“SAS”)三、例题与练习1填空：(1)如图3，已知ADBC，ADCB，要用边角边公理证明ABCCDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有

14、两个条件，一是ADCB(已知)，二是_；还需要一个条件_(这个条件可以证得吗？)(2)如图4，已知ABAC，ADAE，12，要用边角边公理证明ABDACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_(这个条件可以证得吗？)2、例2、如图，有一池塘，要测池塘端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B 的点C，连结AC并延长到D, 使CD=CA.连结BC并延长到E,使CE=CB. 连结DE,那么量出DE的长，就是A、B的距离.为什么？ 证明:在ABC 和DEC中让学生充分思考后，书写推理过程，并说明每一步的依据 (若学生不能顺利得到证明思路，教师也可作如下分析： 要想证ABDE， 只需证A

15、BCDEC ABC与DEC全等的条件现有还需要)四、小 结：1根据边角边公理判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件2找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件(包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)，并要善于运用学过的定义、公理、定理五、作 业：1已知：如图，ABAC，F、E分别是AB、AC的中点求证：ABEACF。2已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDF。第四节 三角形全等的条件（三）教学目标：知识与技能:1三角形全等的条件：角边角、角角边。2三角形全等条件小结。3掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件。过程与方法：能运

16、用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题。情感态度与价值观：经历比较、证明等探究过程，提高分析、归纳、表达、逻辑推理等能力；并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维。教学重点：已知两角一边的三角形全等探究。教学难点：灵活运用三角形全等条件证明。教学过程：一、提出问题，创设情境1复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？三个角、三个边、两边一角、两角一边（2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？三种：定义；SSS；SAS2在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？二、导入新课问题1：

17、三角形中已知两角一边有几种可能？1两角和它们的夹边。2两角和其中一角的对边。问题2：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？将所得三角形重叠在一起，发现完全重合，这说明这些三角形全等提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等问题3：我们刚才做的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC，能不能作一个ABC，使A=A、B=B、AB=AB呢？先用量角器量出A与B的度数，再用直尺量出AB的边长画线段AB，使AB=AB分别以A、B为顶点，AB为一边

18、作DAB、EBA，使DAB=CAB，EBA=CBA射线AD与BE交于一点，记为C即可得到ABC将ABC与ABC重叠，发现两三角形全等。两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？探究问题4：如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？证明：A+B+C=D+E+F=180°A=D，B=EA+B=D+EC=F在ABC和DEF中ABCDEF（ASA）两个角和其中一角

19、的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）例如图：D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C求证：AD=AE。分析AD和AE分别在ADC和AEB中，所以要证AD=AE，只需证明ADCAEB即可。证明：在ADC和AEB中所以ADCAEB（ASA）所以AD=AE。三、随堂练习（一）课本练习1、2（二）补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由。答案：图（1）中由“ASA”可证得ACDACB图（2）由“AAS”可证得ACEBDC。四、课时小结至此，我们有五种判定三角形全等的方法：1全等三角形的定义2判定定理：边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS

20、）推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径。五、作业课本习题5、6、题。第五节 三角形全等的条件-直角三角形全等的判定（四）教学目标知识与技能：1、经历探索直角三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程；2、掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。过程与方法：在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。情感态度与价值观：让学生在情景教学中产生求知的欲望，让学生在探究过程中获得成功的喜悦，让学生在观察交流中感受到数学的价值。教学重点：运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。教学难点：熟练运用直角三角形

21、全等的条件解决一些实际问题。教学过程：一、提出问题，复习旧知1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 、 。2、如图，RtABC中，直角边是 、 ，斜边是 。3、如图，ABBE于C，DEBE于E，（1）若A=D，AB=DE，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（2）若A=D，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则ABC与DEF （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则ABC与DEF 填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）二、导入新课（一）探索

22、练习：（动手操作）：任意画出一个Rt ABC,使C=90°。再画一RtA´B´C´、，使C´=90°，B´C´、=BC，A´B´=AB，1、按步骤作图： 作M C´N=90°。 在射线 C´M上截取线段B´C´、=BC， B´以为圆心，AB为半径画弧，交射线C´N于点A´ 连结A´B´2、把画好的RtA´B´C´、剪下，放到Rt ABC上它们全等吗？斜边与一直角边对应

23、相等的两个直角三角全等（） 例4如图ACBC，BDAD，AC=BD。求证BC=AD。证明：ACBC BDADC与D都是直角在Rt ABC和RtBAD 中AB=BA ，AC=BD，RtABCRtBAD（HL）BC=AD。（二） 巩固练习：1、ABC中，AB=AC，AD是高，则ADB与ADC （填“全等”或“不全等” ）根据 （用简写法）2、 如图，CEAB，DFAB，垂足分别为E、F，（1）若AC/DB，且AC=DB，则ACEBDF，根据（2）若AC/DB，且AE=BF，则ACEBDF，根据（3）若AE=BF，且CE=DF，则ACEBDF，根据（4）若AC=BD，AE=BF，CE=DF。则ACE

24、BDF，根据（5） 若AC=BD，CE=DF（或AE=BF），则ACEBDF，根据3、判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ）（A） 两条直角边对应相等 （B）斜边和一锐角对应相等（C）斜边和一条直角边对应相等 （D）两个锐角对应相等4、如图，B、E、F、C在同一直线上，AFBC于F，DEBC于E，AB=DC，BE=CF，你认为AB平行于CD吗？说说你的理由理由： AFBC，DEBC （已知） AFB=DEC= °（垂直的定义）在Rt 和Rt 中 （ ） = （ ） （内错角相等，两直线平行）5、如图，广场上有两根旗杆，已知太阳光线AB与DE是平行的，经过测量这两根旗杆在太阳光照

25、射下的影子是一样长的，那么这两根旗杆高度相等吗？说说你的理由。三、课时小结：至此，我们有六种判定三角形全等的方法：1全等三角形的定义2边边边（SSS）3边角边（SAS）4角边角（ASA）5角角边（AAS）（仅用在直角三角形中）四、作业：课本习题第六节 角的平分线的性质（一）教学目标：知识与技能：1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理。2、会用尺规作一个已知角的平分线。情感与价值观：在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神。过程与方法：经历探索、猜想、证明使学生掌握研究解决问题的方法。教学重点：利用尺规作已知角的平分线教学难点：角的平分线的作图方法的提炼教学过程：一、提出问题

26、，创设情境问题1：三角形中有哪些重要线段？问题2：你能作出这些线段吗？二、导入新课在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题：在AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MCOA，NCOBMC与NC交于C点求证：MOC=NOC通过证明RtMOCRtNOC，即可证明MOC=NOC，所以射线OC就是AOB的平分线。受这个题的启示，我们能不能这样做：在已知AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MCOA，NCOB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是AOB的平分线了。思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC

27、将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线你能说明它的道理吗？要说明AC是DAC的平分线，其实就是证明CAD=CABCAD和CAB分别在CAD和CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了看看条件够不够ABCADC（SSS）CAD=CAB即射线AC就是DAB的平分线作已知角的平分线的方法：已知：AOB求作：AOB的平分线作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧两弧在AOB内部交于点C（3）作射线OC，射线OC即为所求议一议：1在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗

28、？2第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗？总结：1去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线2若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在AOB的内部，也可能在AOB的外部，而我们要找的是AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是AOB的平分线了3角的平分线是一条射线它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可4这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明练一练：任意画一角AOB，作它的平分线探索活动：按以下步骤折纸1在准备好的三角形的每个顶点上标好字母；A、B、C。把角A对折，使得这个角的两边重合。2、在折痕（即

29、平分线）上任意找一点C，3、过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA的交点，即垂足。4、将纸打开，新的折痕与OB边交点为E。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等下面用我们学过的知识证明发现：如图：已知AO平分BAC，OEAB，ODAC。求证：OE=OD。三、随堂练习课本练习练后总结：平角AOB的平分线OC与直线AB垂直将OC反向延长得到直线CD，直线CD与AB也垂直四、课时小结本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，并进一步探究到角平分线的性质五、课后作业 课本习题 第七节 角平分线的性质（二）教学目标知识与技能：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤2、进一步理解角平分线的性质及运用情感态度与价值观：通过画图活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣。过程与方法：经历探索角的平分线性质的应用过程，领会几何分析的内涵，掌握综合法的表达思想教学重点：角平分线的性质及运用。教学难点：角平分线的性质的