数理方程重点总结

1、数学物理方法数学物理方法 一些典型方程和定解条件一些典型方程和定解条件第一讲（基础）Caculations of Some Typical Eqations with Difinitec Conditions 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数一一. . 均匀弦的横振动方程均匀弦的横振动方程二二. . 传输线方程传输线方程( (电报方程电报方程) )22222uuaxt 2xxtta uu 2Ta 一维波动方程一维波动方程22222iiaxt 22222axt 2xxtta ii 2xxtta 21aLC 高频传输线方程高频传输线方程三三. . 电磁场方程电磁场方程222222222

2、)(tuzuyuxua 12 a HEu 三维波动方程三维波动方程四四. . 热传导方程热传导方程tuzuyuxua )(2222222 cka 2),(tzyxuu (场点场点 t 时刻的温度分布时刻的温度分布) 三维热传导方程三维热传导方程),(txuu (振幅振幅),(, ),(txvvtxii (电流、电压电流、电压)第一类边界条件：第一类边界条件：物理条件直接规定了物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如在边界上的值，如1fuS 第二类边界条件第二类边界条件：物理条件并不直接规定了物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了在边界上的值，而是规定了u 的法的法 向微商在边界上

3、的值，如向微商在边界上的值，如2fnuS 第三类边界条件：第三类边界条件：物理条件规定了物理条件规定了 u 与与un 在边界上值之间的某个线性关系，如在边界上值之间的某个线性关系，如3)(funuS 三三类类边边界界条条件件),(txux0kc c c例例. . 设长为设长为 的均匀细弦，两端固定，初始位移为的均匀细弦，两端固定，初始位移为 0 。开始时，在。开始时，在 处受到冲量为处受到冲量为 的作用，试写出其定解问题。的作用，试写出其定解问题。 lcx k解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。解：建立坐标系，并选取研究对象如图示。 其一维波动方程为：其一维波动方程为：0,0;22222 t

4、lxxuatu泛定方程（泛定方程（1）由两端固定，知：由两端固定，知：0),(;0),0( tlutu边界条件（边界条件（2）为了导出初始条件，考虑：由初始位移为为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知，知0)0,( xu由开初时，在由开初时，在 处受到冲量处受到冲量 的作用知的作用知cx k上的动量改变，即为冲量，于是有上的动量改变，即为冲量，于是有对于对于 点周围足够小的点周围足够小的 ，弦段，弦段 c0 cc,题题第第2),(txux0kc c c为了导出初始条件，考虑：由初始位移为为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知，知0)0,( xu由开初时，在由开初时，在 处受到冲量处

5、受到冲量 的作用知的作用知cx k上的动量改变，即为冲量，于是有上的动量改变，即为冲量，于是有对于对于 点周围足够小的点周围足够小的 ，弦段，弦段 c0 cc,)(,)0,(2 cxcktxu质量质量速度速度由此可见：初始条件为由此可见：初始条件为 ,2,0)0,(,0)0,( kxucxxut cx初始条件（初始条件（3）冲量：力的时间作用效应冲量：力的时间作用效应 。动量定理：动量的改变动量定理：动量的改变=冲量的作用。冲量的作用。受冲击时的受冲击时的初位移初位移受冲击时的受冲击时的初速度初速度tdFItt 21冲量冲量动量：质量与速度的乘积动量：质量与速度的乘积 。vmP 动量动量12v

6、mvmI 动量定理动量定理最后可得定解问题最后可得定解问题0,0;22222 tlxxuatu泛定方程（泛定方程（1）0),(;0),0( tlutu边界条件（边界条件（2） ,2,0)0,(,0)0,( kxucxxut cx初始条件（初始条件（3） 另另一一端端保保持持断断开开，然然后后左左端端短短路路封封闭闭，到到具具有有电电压压把把均均匀匀高高频频传传输输线线充充电电E电电容容区区间间内内，电电阻阻、电电感感、分分别别表表示示在在和和、如如图图所所示示，其其中中xdGCLR以以后后的的电电压压分分布布。和和电电导导的的分分布布参参数数。求求对对象象：高高频频传传输输线线模模型型：分分布

7、布参参数数电电路路处处保保持持断断开开。在在处处短短路路封封闭闭设设在在如如图图建建立立坐坐标标系系，解解lxx ;0:0), 0( tu0),( tluxRLCGxd0 x:1 ）边边界界条条件件解解虑虑的的方方案案对对电电压压而而言言，可可以以考考之之后后，被被一一条条导导线线短短路路，在在此此之之瞬瞬间间，所所定定义义的的始始端端0 t点点间间的的电电压压为为零零。允允许许电电流流通通过过，但但这这两两?),( tlul处处于于瞬瞬态态。或或、电电路路放放电电期期间间，、无无法法确确定定。由由于于CLRuuuCLR的的改改变变。不不依依赖赖于于保保持持断断开开，电电压压的的改改变变dxd

8、u ,例例RLCGxd0 x）初初始始条条件件：2Exu )0 ,(0)0 ,( xut应应满满足足的的定定解解问问题题为为：）因因此此，电电压压),(3txu 0),(),(2 txuatxuxxtt泛泛定定方方程程, 0), 0( tu0),( tlux二二类类！）边边界界条条件件（第第一一类类、第第,)0 ,(Exu 0)0 ,( xut初初始始条条件件依依据据换换路路定定理理。数学物理方法数学物理方法第二讲 直接积分法 ( Method of Direcit Integration )一一地地被被确确定定。可可以以由由两两个个边边界界条条件件唯唯，、常常数数的的具具体体形形式式，两两个

9、个积积分分如如果果给给出出了了函函数数21)(CCxf另附：直接积分法另附：直接积分法xxf )(例例如如213261)(CxCxaxW 1)0(MW 2)(MlW 21CM 112326MlCalM 22122312166allMMlalMMC 1221232)6(61)(MxallMMxaxW 的的解解据据此此，得得到到)(xW解解微微分分方方程程边边值值问问题题 0)()(222 xfxdxWda0,)()(210 tMxWMxWlxx（常数）（常数）（常数），（常数），)5(再附：直接积分法再附：直接积分法 题题解解偏偏微微分分方方程程的的边边值值问问yyucos), 1( )3(2)

10、0 ,(xxu )2(）式式写写成成把把（解解1yxyxu22 )1(yxyux2)( 积积分分，得得然然后后，对对 x)(313yFyxyu 为为任任意意函函数数。这这里里，)( yF积积分分，得得再再将将上上式式对对 y)()(6123xGdyyFyxu 为为任任意意函函数数。这这里里，)(xG上上式式的的结结果果还还可可以以写写成成)()(6123xGyHyxu )4(程程的的通通解解。任任意意函函数数，因因而而它它是是方方这这里里，有有两两个个本本质质上上的的 yyucos), 1( )3(2)0 ,(xxu )2(yxyxu22 )1()()(61),(23xGyHyxyxu )4(

11、）定定解解。）、（以以下下，依依据据边边界界条条件件（32）式式，有有，代代入入（依依据据4)0 ,(2xxu )()0(2xGHx )(xG据据此此，解解得得)0()(2HxxG )5(因因此此有有)0()(61),(223HxyHyxyxu )6(）式式，有有，代代入入（又又依依据据6cos), 1(yyu )0(1)(61cos2HyHyy )( yH据据此此，解解得得)0(161cos)(2HyyyH )7(）式式，即即得得特特解解）代代入入（）、（将将（4752223161cos61),(xyyyxyxu 再另附：直接积分法再另附：直接积分法求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解txx

12、utxut222 把把方方程程写写成成解解txututx2)2( 积积分分，得得对对 x)(22tFtxutut 上上式式还还可可以以写写成成)()(222tFttxutt 积积分分，得得再再对对 t)()(31322xHtdtFttxut )()(3132xHtGtx 或或ttFxtutu)(22 再另附：再另附：求偏微分方程的通解求偏微分方程的通解txxutxut222 把把方方程程写写成成解解txututx2)2( 积积分分，得得对对 x)(22tFtxutut 积积分分因因子子这这是是一一个个线线性性方方程程，有有2lnln222teeetttdt ）式式还还可可以以写写成成因因此此，

13、（1)()(222tFttxutt 积积分分，得得再再对对 t)()(31322xHtdtFttxut )()(3132xHtGtx 将积分结果作为 e 的幂，这就是积分因子。这里，大可不必去考虑它了。或或ttFxtutu)(22 )1(数学物理方法数学物理方法第三讲 分离变量法 ( Method of Separate Variable )l0lx与两端面都绝热，与两端面都绝热，坐标如图示，设其侧面坐标如图示，设其侧面的均匀细杆，两端点的的均匀细杆，两端点的长度为长度为l间变量所满足的微分间变量所满足的微分试写出其空间变量与时试写出其空间变量与时设杆的初始温度分布为设杆的初始温度分布为.2)

14、(xlx 的的本本征征值值问问题题。方方程程；并并求求解解空空间间变变量量的值，的值，在该端点温度在该端点温度个条件看，并不能推断个条件看，并不能推断处绝热。从“绝热”这处绝热。从“绝热”这端点端点ux0 方方向向的的热热流流强强度度等等于于热热而而沿沿该该点点的的热热流流强强度度为为零零。但但是是，绝绝热热意意味味着着进进出出x.0),(0 xxxtxuuk的乘积，因此的乘积，因此与温度梯度与温度梯度传导系数传导系数2)(10 xlxut ）初初始始条条件件：0,020 lxxxuxu）边边界界条条件件：)0,0(032 tlxuauxxt泛泛定定方方程程：）正；相反取负。正；相反取负。与梯

15、度方向的一致取与梯度方向的一致取号，表示界面法向号，表示界面法向热流强度热流强度 xukqnn例例但是，都是齐次边界。但是，都是齐次边界。）（小心，全是第二类！（小心，全是第二类！变变量量），得得到到两两个个常常微微（分分离离探探解解，令令一一、提提出出分分离离变变量量的的试试)()(),(tTxXtxu 得得将将其其带带入入原原泛泛定定方方程程：02 xxtuau02 TXaTX分分离离变变量量，得得XXTaT 2 令令分分方方程程于于是是，得得到到了了两两个个常常微微能能简简单单化化。为为的的是是让让空空间间变变量量尽尽可可跑跑。跟跟着着时时间间变变量量注注意意：Ta2）（时时间间变变量量

16、的的微微分分方方程程02 TaT ）（空空间间变变量量的的微微分分方方程程0 XX 题题）值值问问题题。（解解本本征征值值问问界界条条件件捆捆绑绑，构构成成本本征征二二、空空间间变变量量常常微微与与边边0 XX 0,00 lxxxuxu )1()2(式式的的通通解解为为)1(对对上上式式求求导导，得得xBxAxX cossin)( xBxAxX sincos)( )3()2(0,00 lxxxuxuxBxAxX cossin)( ，得得由由边边界界条条件件00 xxu010)0( BAXxAxX sin)( 0sin l 题题的的本本征征值值于于是是，得得到到空空间间变变量量问问), 3 ,

17、2 , 1()(2 nlnnln 或或）式式，得得到到本本征征函函数数（将将所所得得到到的的本本征征值值代代入入3，于于是是有有断断言言0: B，得得又又由由边边界界条条件件0 lxxuxlnAxXnn)cos()( )4(（叠叠加加解解）的的方方程程，然然后后叠叠加加解解。值值，解解时时间间变变量量三三、基基于于所所得得到到的的本本征征)(tT）（时时间间变变量量的的微微分分方方程程02 TaT 时时间间变变量量的的方方程程，得得将将所所得得到到的的本本征征值值代代入入0)(2 nnTlnaT 上上述述常常微微的的解解为为 ), 2 , 1()0()(2)(0neCnCtTtlnann 叠叠

18、加加解解，得得xlneCCtTxXtxutlnannnn cos)()(),(2)(10 系系数数）定定系系数数，定定解解。（确确定定四四、捆捆绑绑初初始始条条件件，确确由由初初始始条条件件知知2)(10 xlxut ）初初始始条条件件：2)(cos10 xlxxlnCCnn 时时的的直直流流分分量量，表表示示取取代代以以直直流流, 0, 00 ntCC2)(cos21xlxxlnCCnn 直流2)(cos10 xlxxlnCCnn 是是函函数数共共同同的的初初始始作作用用之之结结果果与与特特别别注注意意：这这里里的的 最易混淆的概念！吸收）吸收）已将已将（nnAC)sincos(2)(10

19、xnbxnaaxfnnn xdxflal)(200 直直流流分分量量的的展展开开系系数数为为由由此此可可知知 ,dxxlxldxxlxlCCll2)(122)(22000 直流2)(cos21xlxxlnCCnn 直直流流阶阶谐谐波波的的展展开开系系数数为为ndxxlnxlxlCln cos2)(20 xxdnxflaln cos)(20 xxdnxflbln sin)(20 的的表表达达式式，即即得得解解代代入入、将将积积分分计计算算结结果果的的),(0txuCCnxlneCCtTxXtxutlnannnn cos)()(),(2)(10 最易出错的地方！ .0, )(;)(|0,0|,0|

20、0,0,00022222lxxtuxutuutlxxuatuttlxx 0)()( xXxX 0)()( xXxX 0,00 lxxuu0,00 lxxxuu 成成各各自自的的本本征征值值问问题题自自的的边边界界条条件件捆捆绑绑，构构将将上上述述第第二二个个方方程程与与各各）齐齐次次方方程程的的通通解解为为（设设2 xBxAxX sincos)( 系系数数件件，确确定定通通解解中中的的待待定定再再次次捆捆绑绑各各自自的的边边界界条条 .0, )(;)(|0,0|,0|0,0,00022222lxxtuxutxuutlxxuatuttlxx 一一、分分离离变变量量（略略）本本征征值值问问题题二二

21、、利利用用边边界界条条件件，解解）（问题（问题 1.）（问题（问题 2.)()(),(tTxXtxunnn 设设0)()( xXxX 0)()( xXxX 0,00 lxxuu0,00 lxxxuu ）齐齐次次方方程程的的通通解解为为（设设2 xBxAxX sincos)( 确确定定通通解解中中的的待待定定系系数数捆捆绑绑各各自自的的边边界界条条件件，00 xu由由得得到到）（）（0sin0cos0 BA0 lxu又又由由又又得得到到lB sin0 00 xu由由0 lxxu又又由由又又得得到到lB cos0 解解得得010 BA得得到到）（）（0sin0cos0 BA0 A断断定定解解得得0

22、10 BA0 A断定断定0 B0sin l 所以只有所以只有0 B0cos l 所以只有所以只有又又得得到到lB sin0 又又得得到到lB cos0 0 B0sin l 所以只有所以只有0 B0cos l 所以只有所以只有因因此此有有 nl ), 2 , 1( nln 因因此此有有 212 nl), 2 , 1 , 0(212 nln ）数数（注注意意有有：对对应应的的本本征征值值与与本本征征函函2 ), 2 , 1(222 nlnn ), 2 , 1 , 0()212(2 nlnn xlnBxXnn sin)( xlnBxXnn2)12(sin)( ）（问题（问题 1.）（问题（问题 2.

23、0)()(2 tTatT ), 2 , 1(sincos)( ntlanDtlanCtTnnn 三三、叠叠加加解解), 2 , 1 , 0(2)12(sin2)12(cos)( ntlanDtlanCtTnnn )2 , 1(sin)sincos( nxlntlanDtlanCnn )()(),(tTxXtxunnn )()(),(tTxXtxunnn )2 , 1 , 0(2)12(sin2)12(sin2)12(cos nxlntlanDtlanCnn 的的通通解解为为上上面面方方程程与与本本征征值值对对应应nnnBCC nnnBDD ), 2 , 1(222 nlnn ), 2 , 1

24、, 0()212(2 nlnn 的的方方程程解解关关于于)(tT）（形式解（形式解1.）（形式解（形式解 2.)2 , 1(sin)sincos(1 nxlntlanDtlanCnnn )()(),(1tTxXtxunnn ）（形式解（形式解1.捆捆绑绑初初始始条条件件)(;)(|00 xtuxutt )(sin)0 ,(),(10 xxlnCxutxunnt )(sin)0 ,(10 xxlnlanDxutunnt 的的傅傅立立叶叶展展开开系系数数、分分别别是是、其其中中)()(xxDCnn xxdlnxlCln sin)(20 xxdlnxlanlDln sin)(20 ，即即得得结结果果

25、。，代代入入最最上上面面的的形形式式解解、将将所所求求之之nnDC定定系系数数三三、利利用用初初始始条条件件，确确)()(),(1tTxXtxunnn )2 , 1 , 0(2)12(sin2)12(sin2)12(cos0 nxlntlanDtlanCnnn ）（形式解（形式解 2.捆捆绑绑初初始始条条件件)(2)12(sin)0 ,(),(10 xxlnCxutxunnt )(2)12(sin2)12()0 ,(10 xxlnlanDxutunnt )(;)(|00 xtuxutt 的的傅傅立立叶叶展展开开系系数数、分分别别是是、其其中中)()(xxDCnn xxdlnxlCln2)12(

26、sin)(20 xxdlnxlanlDln2)12(sin)(2)12(20 ，即即得得结结果果。，代代入入最最上上面面的的形形式式解解、将将所所求求之之nnDC数学物理方法数学物理方法第四讲 行波法Method of Travling Wave)12. 3(0222222 uFyuExuDyuCyxuBxuA)13. 3(0)(2)(22 dxCdydxBdyA0)()(222 dxtda22222xuatu 022222 tuxua0)()(222 tdadx顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项将将原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不变变但但反反号号；交交叉叉项项 xy字字母母位位置

27、置交交换换，与与尽尽管管特特征征方方程程中中的的yx. 3顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项特特征征方方程程按按照照xxyy. 2变变。但但对对应应的的系系数数、符符号号不不二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换自变量的非奇异变换（习习惯惯写写法法）其其特特征征方方程程为为：难点：难点：其其特特征征方方程程为为：特特征征方方程程的的写写法法:一一例例:二二例例练习一：练习一：0cos)(cossin2222222 yuxyuxyxuxxu求解求解0)()(cossin2)(222 dxxdyxdxdy0)()sin(22 dxxdxdy0)sin)(sin( dxxdxdydxx

28、dxdy1cos1sinCxxyxdxdy 2cos1sinCxxyxdxdy yxx cos 令令yxx cos 02 yxu原方程被变换为标准型原方程被变换为标准型解解：特特征征方方程程为为因因此此有有二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换自变量的非奇异变换.)1cossin()()(cossin2)()1(sin)(sin2)()()(sinsin2)()()sin(2222222222222 xxdxxxdxdydyxdxxdxdydydxxdxxdxdydydxxdxdy其中，利用了：其中，利用了：证明：证明：其通解为：其通解为：)()(),(21 ffu )(cos

29、)(cos21yxxfyxxf 上述偏微分方程的特征方程上述偏微分方程的特征方程02)(2 ydxdyd0 yd0 xdyd积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为积分，得到两族积分曲线（特征曲线）为1Cy 2Cyx 0222 yxuxu0)( dxdydy对特征方程行因式分解，得对特征方程行因式分解，得出出特特征征方方程程依依据据特特征征方方程程的的定定义义写写（ )1二阶线性偏微分方程二阶线性偏微分方程自变量的非奇异变换自变量的非奇异变换顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项将将原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不变变但但反反号号；交交叉叉项项 xy字字母母位位置置交交换换，与与尽尽管管特

30、特征征方方程程中中的的yx. 3顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项特特征征方方程程按按照照xxyy. 2变变。但但对对应应的的系系数数、符符号号不不练习二：练习二：（2）得到特征变换为）得到特征变换为y yx （3）通解为）通解为)()(),(21 ffu )()(21yxfyf 试写出下列方程的通解试写出下列方程的通解例例 求下面柯西问题的解：求下面柯西问题的解：0)(32)(22 xdydxdyd xyyuyxuxu,0,03222222 xyuxuyy,0,3020解解 泛定方程所对应的特征方程为泛定方程所对应的特征方程为特征曲线（两族积分曲线）为特征曲线（两族积分曲线）为13Cyx 2C

31、yx 作特征变换作特征变换)14. 3()15. 3( yxyx 3)16. 3(被被转转化化为为标标准准型型于于是是，经经过过变变换换原原方方程程（验证过程附后）（验证过程附后）02 u). 3( 顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项将将原原方方程程按按照照yxyx. 1位位置置不不变变但但反反号号；交交叉叉项项 xy字字母母位位置置交交换换，与与尽尽管管特特征征方方程程中中的的yx. 3顺顺序序排排列列；、交交叉叉项项特特征征方方程程按按照照xxyy. 2变变。但但对对应应的的系系数数、符符号号不不02 u)()(21 ffu 其中其中 是两个任意二次连续可微的函数。这样，原方程的通解为是两个

32、任意二次连续可微的函数。这样，原方程的通解为21, ff xyuxuyy,0,3020)()3(21yxfyxfu )17. 3( xyyuyxuxu,0,03222222（原原泛泛定定方方程程） yxyx 3（通通过过变变换换）（化化成成了了标标准准型型）件件：将将原原定定解解问问题题的的初初始始条条），得得分分别别代代入入（ 3.17 2213)()3(xxfxf )18. 3(0)()3(21 xfxf)19. 3(Cxfxf )()3(3121)20. 3(）式式积积分分一一次次，得得将将（3.19。与与函函数数）联联立立，从从而而求求出出：（）与与显显然然，可可以以由由（213.20

33、3.18ff). 3( 关关注注从从这这里里开开始始）的的通通解解为为：（请请密密切切标标准准型型（ 3.Cxxf 21)3(41)3(Cxxf 2243)( Cxxf 2149)3(Cxxf 2243)( 2213)()3(xxfxf )18. 3(Cxfxf )()3(3121)20. 3(），得得到到）、（联联立立求求解解（3.203.18上上述述结结果果，可可以以改改写写为为)()3(21yxfyxfu )17. 3(Cxxf 2141)(Cxxf 2243)( 注意：这里括号内仅注意：这里括号内仅表示自变量！而不是表示自变量！而不是具体函数！具体函数！）式式入入到到（将将改改写写的的

34、最最后后结结果果，代代3.17代回原来的自变量，从而得到所求的解为代回原来的自变量，从而得到所求的解为22223)(43)3(41),(yxyxyxyxu （剖剖析析附附后后）替替换换，于于是是得得到到、分分别别以以，将将上上式式中中的的变变量量)()3(yxyxx )()(),(21 ffu 022222 xuatu标标准准型型的的通通解解为为（原原泛泛定定方方程程）02 u taxtax （通通过过特特征征变变换换）（化化成成了了标标准准型型）)()(),(21taxftaxfyxu 原原方方程程的的通通解解为为其其逆逆变变换换为为则则有有关关联联关关系系atxatx ,令令atx2,2

35、),()2,2(),( uautxu 的通解出发的通解出发从标准型方程从标准型方程代入特征变换代入特征变换捆绑初始条件捆绑初始条件)()(21xfxf、解出解出)()(21taxxftaxxf 中的中的中的中的带回原来的自变量带回原来的自变量核核心心：玩玩转转自自变变量量！无无界界域域的的初初值值问问题题。题题：求求解解波波动动问问题题的的古古沙沙问问例例 )(sin)(00,00 xxuxutxuutttxxt t 第第一一种种方方法法解解题题步步骤骤：将将泛泛定定方方程程化化成成标标准准型型换换）引引入入新新变变量量（特特征征变变,1 txtx 0 u的的通通解解）求求出出这这个个标标准准

36、型型方方程程2)()(),(21txftxftxu ，得得原原方方程程的的解解。、解解中中的的待待定定函函数数）利利用用初初始始条条件件确确定定通通213ff0)()()0 ,(21 xfxfxu)1(xxfxfxutsin)()()0 ,(21 )2(特征变换特征变换）式式两两端端积积分分一一次次，得得（2）式式联联立立再再与与（1xxfxfxutsin)()()0 ,(21 )2(Cxxfxf cos)()(21)3(Cxxfxf cos)()(21)3( 解得解得Cxxf cos21)(1Cxxf cos21)(2xxffucos21cos21)()(21 txtxtxyxusinsin

37、)cos(21)cos(21),( 又由又由替替换换，于于是是得得到到、分分别别以以此此，将将上上式式中中的的带带回回原原来来的的自自变变量量。为为)()(txtxx )1(0)()(21 xfxf和差化积公和差化积公式式为什么这里不为什么这里不可以相消？可以相消？式式求求解解可可直直接接应应用用达达朗朗贝贝尔尔公公第第二二种种方方法法：本本问问题题也也将将泛泛定定方方程程化化成成标标准准型型）行行特特征征变变换换,1 txtx 0 u）应应用用达达朗朗贝贝尔尔公公式式2 atxatxdaatxatxtxu )(21)()(21),( xuutxuutttxxt tsin00,00 txtxd

38、 )(2110)()(0)()(0)(00 axatxxatxxtt而而这里这里 txtxd sin21 )cos()cos(21txtx txsinsin 22222xuatu 0, tx20 xut xtut 0求求初初值值问问题题例例因因为为在在这这里里解解： atxatxadatxatxtxu )()()(),(2121公公式式，得得代代入入AlembertD 20)()(xxatxt 20)()(xxatxt xxtut )(0 atxatxadatxatx 212221)()(atxatxaatx 2)(22122 xtatx 22)(92.P东南东南戴戴 于于是是得得到到替替换换

39、、分分别别以以中中的的，、：为为此此，必必须须将将定定解解条条件件带带回回原原来来的的自自变变量量;)()()()(!22222atxatxxxatxxatx 22222xuatu 0, txxutcos0 20 ttu求求初初值值问问题题例例因因为为在在这这里里解解： atxatxadatxatxtxu )()()(),(2121公公式式，得得代代入入AlembertD xxatxtcos)()(0 xxatxtcos)()(0 2)(0 xtut atxatxadatxatx 2)cos()cos(2121ttax2coscos 于于是是得得到到替替换换、分分别别以以中中的的，、：为为此此

40、，必必须须将将定定解解条条件件带带回回原原来来的的自自变变量量;)()(cos)(cos)(!22atxatxxxatxxatx .117.P姚姚数学物理方法数学物理方法第五讲 积分变换法Integral Variable Method积分变换法举例积分变换法举例 Fourier Fourier 积分变换法积分变换法 LaplaceLaplace 积分变换法积分变换法 混合变换法混合变换法用来解用来解常常微分方程微分方程 将未知函数的常微分方将未知函数的常微分方程，化成像函数的代数方程，程，化成像函数的代数方程，达到消去对自变量求导运算达到消去对自变量求导运算的目的。的目的。用来解用来解偏偏微

41、分方程微分方程通过选取积分变换通过选取积分变换 在工程力学、电磁场理论、光学、在工程力学、电磁场理论、光学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、热学、无线电学、通讯理论、微电子学、核科学与技术、地震资料数据处理核科学与技术、地震资料数据处理等等方面，均有广泛的应用。方面，均有广泛的应用。 在偏微分方程的两端，在偏微分方程的两端，对某个变量取变换，消去未对某个变量取变换，消去未知函数对该自变量求偏导的知函数对该自变量求偏导的运算，得到像函数的较为简运算，得到像函数的较为简单的微分方程。如果原来的单的微分方程。如果原来的偏微分方程只包含两个自变偏微分方程只包含两个自变量，通过一次变换就能得到量，通

42、过一次变换就能得到像函数的常微分方程。像函数的常微分方程。 Fourier 积分变换积分变换 Laplace 积分变换积分变换变变量量的的初初值值问问题题。适适用用于于针针对对空空间间傅傅立立叶叶积积分分变变换换：量量的的边边值值问问题题。适适用用于于针针对对时时间间变变拉拉普普拉拉斯斯积积分分变变换换：数学中的变换手段，旨在化繁为简数学中的变换手段，旨在化繁为简. dedeftftii )(21)(tdetfFti )()( deFtfti )(21)(的傅立叶积分定理的傅立叶积分定理)(tf傅立叶变换（逆）傅立叶变换（逆）的傅立叶变换的傅立叶变换)(tf dedeftftii )(21)(

43、)7 . 1( deFti )(21)(tf 傅立叶积分变换傅立叶积分变换F F )()(1tftf F F 相相去去甚甚远远！本本质质未未变变，但但表表述述形形式式傅傅立立叶叶变变换换的的定定义义F F )()(tfF F F )()(1 Ftf t)(tfy o1 tey )0( 指指数数衰衰减减函函数数71828. 2 etey 71828. 2)11(lim enenn：自然对数的底。来自自然对数的底。来自准备知识点准备知识点. 0000)(1 达达式式，其其中中的的傅傅氏氏变变换换以以及及积积分分表表求求函函数数例例tettft一一。工工程程技技术术中中常常用用函函数数之之叫叫做做指

44、指数数衰衰减减函函数数，是是这这个个)(tf）（依据定义依据定义解解1.8F F dtetftfFti )()()(dteetit 0dteti)(0 tideiti)(1)(0 101 i iiii 11.)(的的傅傅氏氏变变换换此此即即指指数数衰衰减减函函数数tdetfFti )()()8 . 1(22 i22)( iF氏氏变变换换此此即即指指数数衰衰减减函函数数的的傅傅上上式式的的逆逆变变换换欲欲求求积积分分表表达达式式，且且作作 deFFtfti)(21)()(1F F deiti2221 dtiti)sin(cos2122 dtititt22sincossincos21 偶函数偶函数

45、奇函数奇函数奇奇奇奇偶偶奇奇（利利用用函函数数的的奇奇欧欧性性） dtt22sincos21 dtt220sincos1的的积积分分表表达达式式。）（此此即即指指数数衰衰减减函函数数偶函数偶函数奇函数奇函数（图图形形关关于于原原点点对对称称）偶函数偶函数轴对称）轴对称）（图形关于（图形关于 y0)( dxxgaa奇函数奇函数dxxfdxxfaaa)(2)(0 偶函数偶函数L L )()(tfpF 拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义是是一一个个复复参参量量）（ptdetftp )(0时有定义，而且积分时有定义，而且积分当当函数函数设设0)( ttf可可以以写写成成此此积积分分所所确确定定的的函函数数，的的某某一一域域内内收收敛敛，则则由由在在 p)1 . 2)()(0（tdetfpFtp 为为拉拉氏氏变变换换），