将意义建构落到实处陶兆龙专题

1、将意义建构落到实处将意义建构落到实处金陵中学金陵中学 陶兆龙陶兆龙一、引言一、引言 苏教版高中数学内容主要的组织形式为 问题情境学生活动意义建构 数学理论数学应用回顾反思 由于这一结构已彻底改变了传统教材按照知识的逻缉结构进行组织的形式,反映了数学的发展规律与学生的认知规律,因此,这一流程也应该是我们按照新课程理念实施数学理论教学的主要形式或主要形式之一. 即通过创设问题情境,引发学生的数学活动,在活动的过程中进行意义建构.在此基础上引入数学理论. 与传统的教学过程相比,这里增加了两个环节:问题情境与学生活动(意义建构).对我们一线教师来说,无疑是一个很大的挑战.问题情境的创设需要精心设计,但

2、设计好问题后,怎样组织,引领学生进行真正的数学活动,体验数学化的过程,从而实现意义建构,仍然需要潜心打造.否则,问题情境创设得再精巧,也难以实现实实在在的意义建构.而有些貌似普通的问题,经过深入研究却可以发掘出丰富的数学内涵,从而可以成为学生体验数学,感知数学的良好素材.二、案例二、案例1.椭圆椭圆问题情境问题情境 提出问题提出问题:这些天体的运行轨道都是椭圆这些天体的运行轨道都是椭圆, 我我们知道圆是到定点的距离等于定长的动点的轨迹们知道圆是到定点的距离等于定长的动点的轨迹,那那么椭圆是满足什么样规律的动点运动形成的呢么椭圆是满足什么样规律的动点运动形成的呢?学生活动与意义建构学生活动与意义

3、建构(1) 教具演示教具演示:学生感到很真切学生感到很真切.(2)电脑演示电脑演示:画面很直观画面很直观,学生感受不到其学生感受不到其真实性真实性;(3)学生自己动手操作学生自己动手操作:除了用教具演示外除了用教具演示外,还要求每一位学生自带图钉与细线还要求每一位学生自带图钉与细线,硬硬纸板纸板,彩色笔动手操作彩色笔动手操作;(4)动手操作时动手操作时,引导学生观察椭圆的特征引导学生观察椭圆的特征. 在操作的过程中在操作的过程中,除了让学生观察椭圆除了让学生观察椭圆上点的与两个定点的距离之和为定值上点的与两个定点的距离之和为定值(绳绳长长)外外,还可以进一步地让学生观察焦半径还可以进一步地让学

4、生观察焦半径的变化规律以及椭圆的对称性等等的变化规律以及椭圆的对称性等等.这样这样的操作对学生深刻理解椭圆概念的操作对学生深刻理解椭圆概念,标准方标准方程及其性质都将建起着很好的促进作用程及其性质都将建起着很好的促进作用. 其次其次,要求学生画几个形状不同的椭圆要求学生画几个形状不同的椭圆(调整焦距与绳长可使学生发现椭圆形状调整焦距与绳长可使学生发现椭圆形状的变化规律的变化规律.也为学习离心率建立起了理也为学习离心率建立起了理性认识的基础性认识的基础.) 在学习椭圆性质时在学习椭圆性质时,根据观察到的现象根据观察到的现象,引导学生从方程引导学生从方程,从代数角度去论证所得从代数角度去论证所得几

5、何直观结论的正确性几何直观结论的正确性.会引起学生的极会引起学生的极大兴趣大兴趣. 2.双曲线的渐近线双曲线的渐近线问题情境 学习了双曲线学习了双曲线,我们应该联想到初中学过的反比例我们应该联想到初中学过的反比例函数图像函数图像. 提出问题提出问题:我们知道反比例函数我们知道反比例函数 的图像是双曲线的图像是双曲线,那么它有对称轴吗那么它有对称轴吗?是那两条直线是那两条直线?xy1xyOxyOxy112222byax学生活动与意义建构学生活动与意义建构 我们以对称轴为坐标轴建立坐标系我们以对称轴为坐标轴建立坐标系,求得双曲求得双曲线的标准方程线的标准方程.而这里的坐标轴并不是图像的对称而这里的

6、坐标轴并不是图像的对称轴轴,但是却与图像有着密切的关系但是却与图像有着密切的关系. 能否描述这种关系能否描述这种关系?(点的横坐标越来越大时点的横坐标越来越大时,点点与与x轴的距离越来越小轴的距离越来越小.) 我们称我们称x=0，y=0为为 图像的渐近线图像的渐近线 由此由此,我们应该提出什么问题我们应该提出什么问题? (双曲线双曲线 也应该有渐近线也应该有渐近线)xy112222byax 我们先从双曲线看起我们先从双曲线看起x2y21. 它的渐近线是怎样的两条直线？它的渐近线是怎样的两条直线？(我们要求的是直线我们要求的是直线,应该关注直线上的点与斜率等应该关注直线上的点与斜率等) 再看一看

7、反比例函数再看一看反比例函数 的图像的图像,它的渐近线还它的渐近线还具有什么特征具有什么特征? 结论结论:关于双曲线的对称轴对称关于双曲线的对称轴对称,经过双曲线的中心经过双曲线的中心xy1xyOxyOxy1122 yx 设为设为y=kx， k=? (双曲线上的点与渐近线上的点无限双曲线上的点与渐近线上的点无限接近即点的横坐标相同时接近即点的横坐标相同时,纵坐标无纵坐标无限接近限接近)(122xxxxy. 1k3.排列排列问题情境与意义建构问题情境与意义建构(1) 三位同学买了三份快餐三位同学买了三份快餐:墨西哥鸡肉卷墨西哥鸡肉卷,汉汉堡堡,上校鸡块上校鸡块;每人吃一份每人吃一份,有几种吃法有

8、几种吃法? (2)找三位同学站在讲台旁成一排找三位同学站在讲台旁成一排,让他们尝试让他们尝试所有的站法（并说明为什么不一样）；所有的站法（并说明为什么不一样）；(3)写出由写出由1，2，3三个数字组成的三位数（能三个数字组成的三位数（能否事先知道有几个这样的三位数否事先知道有几个这样的三位数?） 提出问题提出问题:解决了这三个问题解决了这三个问题,我们是不是应该我们是不是应该作一个概括总结作一个概括总结?(形式不同形式不同,但处理方法相同但处理方法相同,本质上是一回事本质上是一回事.相当于三个不同的元素排在相当于三个不同的元素排在三个不同的位置上三个不同的位置上)(4)三位同学身上带的钱只够买

9、两份快餐三位同学身上带的钱只够买两份快餐:汉汉堡和上校鸡块堡和上校鸡块,一人吃一份一人吃一份,有几种吃法有几种吃法? 为什么为什么?(某两种吃法为什么不一样某两种吃法为什么不一样?)(5)找三位同学站在讲台旁找三位同学站在讲台旁,从中选出两人站从中选出两人站成一排成一排,让他们尝试所有的站法让他们尝试所有的站法(并说明为并说明为什么不一样什么不一样)；(6)写出从写出从1,2,3三个数字选出两个数字组成三个数字选出两个数字组成的两位数的两位数(能否事先知道有几个这样的三能否事先知道有几个这样的三位数位数?) 再次概括再次概括,总结总结: 以上的问题能够推广到一般情形吗以上的问题能够推广到一般情

10、形吗? 要求学生结合自己的实际举一些排列的要求学生结合自己的实际举一些排列的例子例子.4.椭圆顶点椭圆顶点 椭圆椭圆C: (ab0) 与其对称轴与其对称轴有四个交点有四个交点A1(a，0)， A2(a，0)， B1(0，b)，B2(0，b)这四个交点称为椭圆的顶点这四个交点称为椭圆的顶点. 在给出教材上的定义后在给出教材上的定义后,理科实验班的一位同学理科实验班的一位同学(嘀咕了一句嘀咕了一句)提出如下问题提出如下问题: 为什么将这四个点定义为椭圆的顶点？为什么将这四个点定义为椭圆的顶点？ “顶顶”字常常具有最值性字常常具有最值性,如顶峰、顶尖高手、顶如顶峰、顶尖高手、顶端等端等.那么椭圆的顶

11、点具有最值性吗？那么椭圆的顶点具有最值性吗？12222byax由学习椭圆定义时的实验操作由学习椭圆定义时的实验操作, 学生容易发现学生容易发现点点 A1, A2到焦点到焦点F1,F2的距离分别是最远或最近的的距离分别是最远或最近的;除此以外除此以外,还有无其他的最值性还有无其他的最值性?让学生继续观察图形让学生继续观察图形.A1, A2还是椭圆还是椭圆C上离其中心最远的点上离其中心最远的点;顶点顶点B1和和B2应该是椭圆应该是椭圆C上离其中心最近的点上离其中心最近的点.还是离对称轴还是离对称轴最近与最远的点从图上看应该如此！那么最近与最远的点从图上看应该如此！那么,结论是结论是否否真的可靠？能

12、否进行证明？真的可靠？能否进行证明？ 引导学生明确问题引导学生明确问题:A1, A2到中心的距离是到中心的距离是a, B1, B2到中心的距离是到中心的距离是b.问题即证椭圆上的点到问题即证椭圆上的点到其中心距离的最大值为其中心距离的最大值为a,最小值为最小值为b. 在椭圆上任取一点在椭圆上任取一点P(x0,y0),然后然后,求求|PO|的最大的最大值与最小值值与最小值.0202yxPO 点点P在椭圆上在椭圆上,坐标满足方程坐标满足方程 , 可代入消元可代入消元.1220220byax0202yxPO)1 (220220axbx.22022bxac0 x02a2,x0=a时时, .22abcP

13、O.0min0bPOx 时，当即即A1, A2到中心的距离最远到中心的距离最远, B1, B2到中心的距离最近到中心的距离最近.师：由师：由 可知当点可知当点P在第一象限内在第一象限内由由A2移动到移动到B2时，时，|PO|逐渐减小逐渐减小.由对称性可知在由对称性可知在其它象限有类似结果其它象限有类似结果. 由椭圆的范围可以看出由椭圆的范围可以看出A1, A2是椭圆是椭圆C上离上离y轴最远的点轴最远的点, B1, B2是椭圆是椭圆C上离上离x轴最远的点轴最远的点.22022bxacPO当当x0=a时时,|PF2| min=ac;当当x0=a时时|PF2|max=acA1, A2是椭圆是椭圆C上

14、离上离F2最远与最近点最远与最近点,由对称性由对称性可知可知A2，A1是椭圆是椭圆C上离上离F1最远与最近点最远与最近点.2PF2020)(ycx20)(axacaxac0.0 xaca师师:我们同样可以推出我们同样可以推出|PF1| =a+ .由由|PF1| =a+ , |PF2| =a- 可以看出当点可以看出当点P从从A1移动到移动到A2时时, |PF1|逐渐增大逐渐增大;而而|PF2|逐渐减小逐渐减小.师师:从最值性来看从最值性来看,把对称轴与椭圆的交点定义为把对称轴与椭圆的交点定义为其顶点实属当之无愧！其顶点实属当之无愧！0 xac0 xac0 xac师师:从最值性来看从最值性来看,把

15、对称轴与椭圆的交点定义为把对称轴与椭圆的交点定义为 其顶点实属当之无愧！其顶点实属当之无愧！师师:以上我们首先建立了距离函数以上我们首先建立了距离函数(目标函数目标函数),再再 求其最值求其最值.用代数的方法推证出了结论用代数的方法推证出了结论.对图形对图形的观察与实验的观察与实验,让我们得到了猜想让我们得到了猜想,而代数论证而代数论证则使这些猜想变为可靠的结论！同时我们还看则使这些猜想变为可靠的结论！同时我们还看到了顶点的定义是多么的合理到了顶点的定义是多么的合理! 用了一节课的时间对顶点的最值性用了一节课的时间对顶点的最值性 进行了探究进行了探究. 这样做一方面是解决问题的需要这样做一方面

16、是解决问题的需要. 而更为重要的是而更为重要的是,通过探究通过探究,学生获得了一次学生获得了一次深刻的数学体验深刻的数学体验.从课上的表情不难发现他们从课上的表情不难发现他们深切地感受到了数学的一种合理美深切地感受到了数学的一种合理美.在探索的在探索的过程中还体验到了代数论证的魅力和数形结合过程中还体验到了代数论证的魅力和数形结合的相得益彰的相得益彰. 三、认识三、认识 新的课程标准中对数学理论的教学提出了新的课程标准中对数学理论的教学提出了明确而具体的要求明确而具体的要求:“.高中数学课程应返璞归高中数学课程应返璞归真真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展背努力揭示数学概念、法则、结论的发展

17、背景过程和本质，景过程和本质，.使学生理解数学概念产生的使学生理解数学概念产生的背景和逐步形成的过程背景和逐步形成的过程,体会其中的思想体会其中的思想,体验体验寻找真理和发现真理的方法寻找真理和发现真理的方法.” 新课程理念是对多年来国内外数学教育研究成果新课程理念是对多年来国内外数学教育研究成果整合的结果整合的结果,并非从天而降的天外来客并非从天而降的天外来客,是来自于实践是来自于实践又高于实践的理论又高于实践的理论. 运用新课程理念进行教学设计运用新课程理念进行教学设计,其关键是如何突出其关键是如何突出数学化的过程数学化的过程. 让学生进行意义建构就是实实在在地让学生经历数让学生进行意义建

18、构就是实实在在地让学生经历数学化的过程学化的过程. 问题情境的创设打破了学生的认知平衡问题情境的创设打破了学生的认知平衡,激活了学激活了学生的思维生的思维,使学生的数学活动得以展开使学生的数学活动得以展开.数学化的过程数学化的过程必然是数学思维方法与数学思想方法的运用过程必然是数学思维方法与数学思想方法的运用过程. 进行意义建构的目的在于体验、感知数学进行意义建构的目的在于体验、感知数学发现、发展过程发现、发展过程;学生通过数学活动进行意义学生通过数学活动进行意义建构的一般途径主要有以下几种建构的一般途径主要有以下几种.1.引导学生运用操作引导学生运用操作,实验感知数学意实验感知数学意义义,验

19、证数学事实进行意义建构验证数学事实进行意义建构.l丰富学生的学习方式是新课标所倡导的教育理念丰富学生的学习方式是新课标所倡导的教育理念.l长期以来长期以来,接受学习是数学学习的主要方式，甚至是接受学习是数学学习的主要方式，甚至是唯一方式唯一方式.结合学习内容结合学习内容,适当增加操作适当增加操作,实验的机会是实验的机会是改变这种状况的一个突破口改变这种状况的一个突破口.单一的学习或教学方式单一的学习或教学方式容易让学生感到乏味容易让学生感到乏味,而教学方式的多样化则会激发而教学方式的多样化则会激发出学生上数学课乃至对数学的浓厚兴趣出学生上数学课乃至对数学的浓厚兴趣.l此外此外,由于亲身经历与直

20、接经验对数学体验的生成具由于亲身经历与直接经验对数学体验的生成具有特殊意义有特殊意义.因此因此,尽可能地让每一位学生动手操作或尽可能地让每一位学生动手操作或实验是学生进行数学活动从而实现意义建构的一种不实验是学生进行数学活动从而实现意义建构的一种不可或缺的学习方式可或缺的学习方式. l计算机辅助教学为操作与实验在技术上提供了计算机辅助教学为操作与实验在技术上提供了很大支持，我们可以在动态的变化过程当中观很大支持，我们可以在动态的变化过程当中观察到很多信息：储如长度察到很多信息：储如长度,角度角度,变化规律等等变化规律等等.要充分利用这种实验手段要充分利用这种实验手段.2.引导学生运用类比推理引

21、导学生运用类比推理,进行意进行意义建构义建构l欧拉说过欧拉说过,类比是伟大的引路人类比是伟大的引路人.l类比推理是数学发现的重要工具类比推理是数学发现的重要工具.数学学习的过程数学学习的过程应该是一个再发现的过程应该是一个再发现的过程,因此因此,让学生进行类比活让学生进行类比活动是实现意义建构的重要方式动是实现意义建构的重要方式.l 有效地使用类比推理的关键在于找到恰当的类比有效地使用类比推理的关键在于找到恰当的类比原型原型.因此因此,在进行类比活动时在进行类比活动时,首先要引导学生在首先要引导学生在原有的认知结构中寻找恰当的类比原型原有的认知结构中寻找恰当的类比原型,在此基础在此基础上上,提

22、出类比的结果提出类比的结果,再进行检验或证明再进行检验或证明.l在进行类比活动时在进行类比活动时,根据需要可以作多方面的类比根据需要可以作多方面的类比,提出多个类比的结果提出多个类比的结果:在表达形式方面在表达形式方面;在证明方在证明方法上法上,在性质层面等等在性质层面等等.l经常性的类比活动不仅可以使学生深刻地体验发经常性的类比活动不仅可以使学生深刻地体验发现的乐趣现的乐趣,还可消除学生对数学的神秘感还可消除学生对数学的神秘感.3.引导学生运用从具体到抽象引导学生运用从具体到抽象,从特殊从特殊到一般到一般,通过归纳通过归纳,概括进行意义建构概括进行意义建构l形成概念形成概念,获得规律是数学概

23、括的两个主要目获得规律是数学概括的两个主要目的的.l 数学概念、定理、公式、方法、规律等被发数学概念、定理、公式、方法、规律等被发现的过程往往从经验概括开始而由理论概括完现的过程往往从经验概括开始而由理论概括完成。经验概括是以归纳方式进行的，而理论概成。经验概括是以归纳方式进行的，而理论概括是在经验概括的基础上，通过分析、比较来括是在经验概括的基础上，通过分析、比较来判定现象间的必然联系，从而获得更深刻的规判定现象间的必然联系，从而获得更深刻的规律性的认识律性的认识.l理论概括有助于纠正经验概括中的片面的肤浅理论概括有助于纠正经验概括中的片面的肤浅的或是错误的认识。在教学活动中应以理论概的或是

24、错误的认识。在教学活动中应以理论概括为主，经验概括为辅括为主，经验概括为辅.l通过增加经验材料或提供理论背景是促进概括通过增加经验材料或提供理论背景是促进概括形成与深化的有效措施形成与深化的有效措施.4.引导学生运用联想与猜想引导学生运用联想与猜想,进行进行意义建构意义建构l联想与猜想是直觉思维的两种重要方法联想与猜想是直觉思维的两种重要方法,在数学发现在数学发现的过程中发挥着重要作用的过程中发挥着重要作用.在学生的数学活动中在学生的数学活动中,应引应引导学生学习常用的联想方法导学生学习常用的联想方法:如逆向联想、定向联想、如逆向联想、定向联想、相似联想、形数联想等等相似联想、形数联想等等l在

25、教学活动中在教学活动中,猜想的学习通常是极少数尖子生的事猜想的学习通常是极少数尖子生的事,我们应该注意让全体学生学习猜想我们应该注意让全体学生学习猜想,借用波利亚的话借用波利亚的话说说:“在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理在证明一个数学定理之前，你先得猜测这个定理的内容；再在你完全详细证明之前你先得猜测证明的的内容；再在你完全详细证明之前你先得猜测证明的思路思路.”l数学猜想的学习对开拓中等学生的思路有较大的促进数学猜想的学习对开拓中等学生的思路有较大的促进作用作用.5.引导学生运用数形转换进行意义引导学生运用数形转换进行意义建构建构l高中数学中有几何背景的概念、定理与性质比高中数学中

26、有几何背景的概念、定理与性质比比皆是比皆是.这些数学理论的学习要引导学生运用这些数学理论的学习要引导学生运用数形转换进行意义建构数形转换进行意义建构l由图形直观由图形直观,经观察发现几何现象经观察发现几何现象,这种几何现这种几何现象是否具有一般性象是否具有一般性?如何从数量关系上来刻画如何从数量关系上来刻画,描述这些几何现象描述这些几何现象,几何现象反映了怎样的数几何现象反映了怎样的数量关系量关系? 等等等等.都是学生在数学活动过程中要思都是学生在数学活动过程中要思考、解决的问题考、解决的问题.l 要注意从数形对应的角度引导学生进行数形要注意从数形对应的角度引导学生进行数形转换；还应重视引导学

27、生将数量关系特征转换转换；还应重视引导学生将数量关系特征转换为形的特征为形的特征.即要学生提出或解决这样的问题即要学生提出或解决这样的问题:某种数量关系特征的几何反映是什么？某种数量关系特征的几何反映是什么？l 反复的数形转换会逐步加深学生对这一观念反复的数形转换会逐步加深学生对这一观念的体验的体验,尽而内化为自己的经验尽而内化为自己的经验,成为解决问题成为解决问题时的一种自觉意识时的一种自觉意识.6.引导学生联系生活经验进行意义引导学生联系生活经验进行意义建构建构l高中数学中有一些相对孤立的概念或理论高中数学中有一些相对孤立的概念或理论,无无法与学生原有的认知结构建立起直接联系法与学生原有的

28、认知结构建立起直接联系,这这样的概念学生理解起来会有很多困难样的概念学生理解起来会有很多困难,处理不处理不当极容易造成学生机械学习当极容易造成学生机械学习.而引导学生与自而引导学生与自己的生活经验建立联系己的生活经验建立联系,借助于生活中的模型借助于生活中的模型进行意义建构进行意义建构,十分有助于把握概念的本质十分有助于把握概念的本质.7.利用探究进行意义建构利用探究进行意义建构l 数学探究是指学生围绕某个数学问题数学探究是指学生围绕某个数学问题,自主探究自主探究,学学习的过程习的过程,探究的过程主要包括观察分析数学事实探究的过程主要包括观察分析数学事实,提提出有意义的数学问题出有意义的数学问

29、题,猜测、探求适当的数学结论或猜测、探求适当的数学结论或规律规律,给出解释证明给出解释证明.l 数学探究可以使学生初步尝试数学研究过程数学探究可以使学生初步尝试数学研究过程,体验发体验发现与创造的激情与快乐现与创造的激情与快乐,有助于培养勇于质疑有助于培养勇于质疑,善于反善于反思的习惯思的习惯.l 探究学习具有高度的开放性与主体性探究学习具有高度的开放性与主体性,数学探究学习数学探究学习通常需要课内与课外相结合通常需要课内与课外相结合.课内开展探究学习课内开展探究学习,需把需把握好探究的时机与探究的程度握好探究的时机与探究的程度.在课内适度地开展探在课内适度地开展探究活动十分有助于数学体验的生成究活动十分有助于数学体验的生成.四四.在意义建构过程中教师的角色在意义建构过程中教师的角色l首要的是作出时间安排，要舍得花时间让学生首要的是作出时间安排，要舍得花时间让学生活动，不要急于进入解题教学活动，不要急于进入解题教学.要舍得花一节要舍得花一节课的时间课的时间,让学生充