微分方程习题课

1、微微 分分 方方 程程 习习 题题 课课 基本概念基本概念一阶方程一阶方程 类类 型型1.1.直接积分法直接积分法2.2.可分离变量可分离变量3.3.齐次方程齐次方程4.4.可化为齐次可化为齐次方程方程5.5.全微分方程全微分方程6.6.线性方程线性方程7.7.伯努利方程伯努利方程可降阶方程可降阶方程线性方程线性方程解的结构解的结构定理定理1;1;定理定理2 2定理定理3;3;定理定理4 4欧拉方程欧拉方程二阶常系数线性二阶常系数线性方程解的结构方程解的结构特征方程的根特征方程的根及其对应项及其对应项f(x)f(x)的形式及其的形式及其特解形式特解形式高阶方程高阶方程待定系数法待定系数法特征方

2、程法特征方程法一、主要内容一、主要内容微分方程解题思路微分方程解题思路一阶方程一阶方程高阶方程高阶方程分离变量法分离变量法全微分方程全微分方程常数变易法常数变易法特征方程法特征方程法待定系数法待定系数法非全微分方程非全微分方程非变量可分离非变量可分离幂级数解法幂级数解法降降阶阶作作变变换换作变换作变换积分因子积分因子1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分

3、方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题

4、dxxfdyyg)()( 形如形如(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换1)0()5(yyydxdy0dd35yxy)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程35xyxydxdy)()

5、(xQyxPdxdy 形如形如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（使用分离变量法）解法解法非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常数变易法）（常数变易法）(5) 伯努利伯努利(Bernoulli)方程方程nyxQyxPdxdy)()( 形如形如)1 , 0( n方程为线性微分方程方程为线性微分方程.时时，当当1 , 0 n 方程为非线性微分方程方程为非线性

6、微分方程.时时，当当1 , 0 nxyxy25edd解法解法 需经过变量代换化为线性微分方程需经过变量代换化为线性微分方程,1 nyz 令令. )1)()()1()()1(1 cdxenxQezydxxPndxxPnn0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(6) 全微分方程全微分方程xQyP 全微分方程全微分方程注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法

7、全微分的方法.通解为通解为(7) 可化为全微分方程可化为全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.公式法公式法: :)(1xQyPQ 若若)(xf ;)()( dxxfex 则则)(1yPxQP 若若)(yg .)()( dyygey 则则观察法观察法: :熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出熟记常见函数的全微分表达式，通过观察

8、直接找出积分因子积分因子常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 0d)ln(d3yxyxxy0dd)2(yxxyx3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特点特点. y不显含未知函数不显含未知函数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，

9、得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPxfP ,Py ),(xPy 令令特点特点.x不不显显含含自自变变量量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy 、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxQyxPy形形如如定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,CC是是常常数数）定定理理

10、 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxQyxPy 形形如如定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次

11、方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .011122xtdtdxttdtxd , , tet111122txtdtdxttdtxd1.试验证有基本解组并求方程 的通解。、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形如形如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0

12、qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.02 qprr0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根21rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr

13、特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkkkkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k型型sin)(cos)()()2(xxPxx

14、Pexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRmm)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk7 7、欧拉方程、欧拉方程 欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换欧拉方程是特殊的变系数方程，通过变量代换 可化为常系数微分方程可化为常系数微分方程.xtextln 或或)(1)1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn 的方程的方程(其中其中nppp21,形如形如叫叫欧拉方程欧拉方程.为常为常数数)，texdtdxdtxd222561

15、35622xeydxdydxydx 当微分方程的解不能用初等函数或其积分当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时表达时, 常用幂级数解法常用幂级数解法.8 8、幂级数解法、幂级数解法1.求方程2dyxydx经过(0,0)的第三次近似解 注意：解的存在唯一性定理条件及意义二、典型例题二、典型例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求通解求通解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy ,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,c

16、os2cossinxdxduuuuuu 分离变量分离变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解为所求通解为.cosCxyxy .32343yxyyx 求通解求通解例例2 2解解原式可化为原式可化为,32342yxyxy ,3223134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为原式变为,3232xzxz ,322xzxz 即即对应齐方通解为对应齐方通解为,32Cxz 一阶线性非齐方程一阶线性非齐方程伯努利方程伯努利方程,)(32xxCz 设设代入非齐方程得代入非齐方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解为原

17、方程的通解为.73323731xCxy 利用常数变易法利用常数变易法. 0324223 dyyxydxyx求通解求通解例例3 3解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0( y,xQyP 方程为全微分方程方程为全微分方程.(1) 利用原函数法求解利用原函数法求解:,2),(3yxxuyxu 则则设原函数为设原函数为),(),(32yyxyxu ,求导求导两边对两边对 y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解得解得,1)(yy 故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx (2) 利用分项组合法求解利用分项组合法求解:原方程重新组合为原方

18、程重新组合为, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx (3) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:,32422),()1 ,0(3Cdyyxydxyxyx ,312142203Cdyyxydxxyx 即即.113212Cyxyxyy 故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx . 0)2()2(2222 dyxyxdxyyx求通解求通解例例4 4解解, 22 yyP, 22 xxQ,xQyP 非全微分方程非全微分方程.利用积分因子法利用积分因子法:原方程重新组合为原方程重新组合为),(2)(22xd

19、yydxdydxyx 222yxxdyydxdydx ,)(1)(22xyxyd ,ln11lnCxyxyyx 故方程的通解为故方程的通解为.yxyxCeyx .212yyy 求通解求通解例例5 5解解.x方程不显含方程不显含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解为故方程的通解为.12211CxyCC . 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求特解求特解例例6 6解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(

20、21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 代代入入原原方方程程比比较较系系数数得得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy , 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61

21、221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey ).2cos(212xxyyy 求解方程求解方程例例解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得，得代入代入xyy214 ，xbax2144 由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得，得代入代入xyy2cos214 故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81 d，0 c;2sin81*2xxy .)(),(1)()(2此方程的通