应用数学-电工向量的计算【大专教材】曹勃 主编

1、 电工向量的计算电工向量的计算1 1vector calculus电工向量的计算（vector calculus）&知识目标知识目标1 1、理解电学中向量的表示；、理解电学中向量的表示；2 2、掌握电学中向量的表示方法、掌握电学中向量的表示方法; ;3 3、理解向量的概念、理解向量的概念4 4、掌握向量的运算方法及坐标表示。、掌握向量的运算方法及坐标表示。&能力目标能力目标 1 1、会用向量计算电学中的总电流，总电压等量；、会用向量计算电学中的总电流，总电压等量； 2 2、会画向量图，并用会坐标表示。、会画向量图，并用会坐标表示。电工向量的计算（vector calculus）

2、)60sin(2801ti)30sin(2602ti引例引例1 1 【总电流的计算总电流的计算】 根据电路图，已知单位为A，求总电流ii1i2i如果用三角函数求和比较麻烦，在电工学中，通常用向量来表示正弦量并进行计算。 电工向量的计算（vector calculus） 定义定义1 既有大小又有方向的量，如力、位移、速度、加速度等.这类量称为向量向量，或称为矢量矢量. 一、向量的概念一、向量的概念向量的表示方法有：黑斜体小写字母表示如：a, b ,i、向量 a 的大小称为该向量的模模，记作 | a |;模为1的向量称为单位向量单位向量，模为零的向量称为零向量零向量.零向量的方向是任意的 有时也用

3、字母上方加箭头表示如： 等等。OMa、电工向量的计算（vector calculus）一、向量的概念一、向量的概念、如果两个向量大小相等，方向相同，则称两向量相等，记为a=b, （即经过平移后能完全重合的向量）. 向量平行：向量平行：两个非零向量a,b,如果它们的方向相同或相反，称向量a平行于向量b，记为a/b .负向量：负向量：与向量a大小相等但方向相反的向量称为a 的负向量负向量。电工向量的计算（vector calculus）定义定义 在电学中，大小和方向都随时间变化的在电学中，大小和方向都随时间变化的电流叫做电流叫做交流电流，交流电流，简称简称交流电流。交流电流。), 0, 0()si

4、n(00mmItIi初初相相位位峰值峰值相位相位）周期（单位为叫做简谐交流电的变化其中sT2电工向量的计算（vector calculus）)sin(0tIim正弦交流电的向量表示正弦交流电的向量表示电工向量的计算（vector calculus） 在电路基础中，向量的模等于正弦量的有效值时，叫做有效值向量，用 等表示。UI,0mmII0 II这里 为有效值，2mII 0为正弦量的初相位。 mmUI, 向量的模等于正弦量的最大值时，叫最大值向量，等表示.用电工向量的计算（vector calculus）案例案例2 2 已知正弦交流电的电流表示),)(30sin(30Ati单位写出正弦量向量30

5、3mI3023IO330mIO30I23并分别用有效值向量和最大值向量表示，并作出向量图。电工向量的计算（vector calculus） 这就是向量加法的平行四边形法则. 以以 a 、b b 为为边的平行四边形的对角线所表示的向量 则由 a 的起点到 b b 的终点的向量.设有两个非零向量 a 、b b ，称为两向量 a 与 b b 的和向量， 记为 a + + b b，若以向量 a 的终点作为向量 b b 的起点，这是向量加法的三角形法则.定义定义 baaba+b二、向量的运算二、向量的运算电工向量的计算（vector calculus） 这个法则可以推广到任意有限个向量相加的情形.abc

6、a+bb+c(a+b)+c=a+(b+c)电工向量的计算（vector calculus） 若向量 b 加向量 c 等于向量 a ， 从图中可以看出:向量的加法满足交换律和结合律.即即 a + b = b + a (a + b ) + c = a + (b + c).根据向量加法的三角形法则，则称向量 c 为 a 与 b 之差，记为 c = a b .c = a bab电工向量的计算（vector calculus）数与向量的乘积：数与向量的乘积：设 a 是一个非零向量， 是一个非零实数，则 a a 与 的乘积仍是一个向量， 记作 a ，( 1 ) | a | = | | | a |;( 2

7、) a 的方向与 a 同向，当 0，与 a 反向，当 0，如果 = 0 或 a = 0，规定 a = 0.数乘向量满足结合律与分配律，即 (a ) = ( ) a ， ( a + b ) = a + b ， ( + ) a = a + b ，其中 ， 是数量.电工向量的计算（vector calculus）设设 a 是非零向量，是非零向量， 由数乘向量的定义可知，由数乘向量的定义可知，且与且与 a 同方向，同方向， 所以有所以有向量向量 的模等于的模等于 1 1 ，aa,aaa 电工向量的计算（vector calculus）)60sin(2801ti)30sin(2602ti案例案例3 3

8、【总电流的计算总电流的计算】 根据电路图，已知单位为A，求总电流ii1i2i电工向量的计算（vector calculus）90)30(60BOC26,2821mmIOBIOCAIm210)26()28(22053,34tanAOBAOB即002330 AOB解解：)23sin(2100ti因此，合成电流为单位为A 按上述思想，可将电路图中的电流用向量表示为mI1mI2tiOABC23210i或表示为电工向量的计算（vector calculus）tusin21001)120sin(21501tu案例案例4 4【电压的向量计算电压的向量计算】 根据电路图，已知单位：V，求总电压u=u1+u2+

9、u2u1u电工向量的计算（vector calculus）120)120(0AOB60OAC2150,210021mmUOBUOA60cos222ACOAACOAOC21215021002)2150()2100(22解解：作向量图如图所示. 在OAC中，由余弦定理，得：1450tuOABCmU1mU2电工向量的计算（vector calculus）079,1421360sinsinAOCOCACAOC即079)79sin(14500tu由正弦定理，得:因此，总电压tuOABCmU1mU2电工向量的计算（vector calculus）三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示P(x,y)xOyij平

10、面直角坐标系内，与x轴同方向，模为1个单位的向量叫做x轴上的单位向量，记为：i 与x轴同方向，模为1个单位的向量叫做x轴上的单位向量，记为：jOP=xi+yj=x,y 电工向量的计算（vector calculus）在空间直角坐标系中，与x 轴、y 轴、z 轴的正向同向的单位向量分别记为 i、 j、k，称为基本单位向量。设a ，是以M1=(x1,y1,z1)为起点, M2=(x2,y2,z2)为终点的向量,21MM =(x2-x1)i+(y2-y1)j+(z2-z1)k 21MMa=axi+ayj+azk=ax,ay,az三、向量的坐标表示三、向量的坐标表示 =x2-x1,y2-y1,z2-z

11、1xxzA AB BC CQ Qa ai ij jP PO Ok kyxM1M2电工向量的计算（vector calculus） a 的起点放在坐标原点，那么它的终点坐标 A的坐标就是(ax , ay , az).由两点间距离公式可知.222zyxaaaOAaxPQyRzAOa ab b 向量的模电工向量的计算（vector calculus） 这三个角的余弦 cos a、cos b、cos 称为向量a 的方向余弦.非零向量 a 与三坐标轴正向的夹角 a 、b 、 (其中0 a , 0 b , 0 )，称为向量 a 的方向角;,cos222zyxxxaaaaaaa,cos222zyxyyaaa

12、aaab,cos222zyxzzaaaaaa1coscoscos222 b ba a定义：定义：电工向量的计算（vector calculus）例例 6 6 已知 M1 ( 1 , -2 , 3 )、M2 ( 4 , 2 , -1 )，求 的模及方向余弦以及和向量 方向一致的单位向量.21MM解解 由条件可得 ,4, 4, 331, )2(2,1421MM,41)4(4322221MM.414cos,414cos,413cosba21MM.414,414,41321方向一致的单位向量为和向量MM电工向量的计算（vector calculus） 求其合力F 的大小及方向角.例例 7 7 已知作用

13、于一质点的三个力为 F1 = i2k ，F2 = 2i 3j + 4k ，F3 = j + k ，解解因为因为 F = F1 + F2 + F3 1, 1,04,3,22,0, 1,3,2,3 所以，可得, 7 . 4223)2(3222F.223cos,222cos,223cosba电工向量的计算（vector calculus） 合力的三个方向角为，4150a,41115b,4150查表可得查表可得因此，合力大小的近似值为 4.7 个单位，,41115b，4150a.4150电工向量的计算（vector calculus）R Rc cL LU U+ +- -I1ICI在RLC电路中，阻抗角 是电流电压U与电路电流I的相位差， 称为功率因数，用电容器并联补偿的方法提高功率因数，试用向量图说明功率因数是如何提高的。cos案例案例8 8：（：（RLCRLC电路功率因数提高原理）电路功率因数提高原理）在RLC电路中，并联电容器后，电压U不变