高中数学：2014-2015学年重庆一中高一（下）期末数学试卷

1、2014-2015学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1（5分）直线的倾斜角为ABCD2（5分）学校教务处要从某班级学号为的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是A5，10，15，20，25，30B3，13，23，33，43，53C1，2，3，4，5，6D2，4，8，16，32，483（5分）下列命题中错误的是A夹在两个平行平面间的平行线段相等B过直线外一点有且仅有一个平面与直线垂直C垂直于同一条直线的两个平面平行D空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等4（

2、5分）如图，程序框图所进行的求和运算是ABCD5（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是ABCD6（5分）如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为ABCD7（5分）已知，且，则的最小值是A4B5CD8（5分）的值为ABCD9（5分）在中，为三角形内切圆圆周上一点，则的最大值与最小值之差为A4BCD210（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱中，是面上的两个不同的动点给出以下四个结论：若，则在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为；若在面对角线上，则在棱上存在一点使得；若，均在面对角线上，且，则四面体的体积一定是定值；若，均在面对角线上，则四面体在底面上的投

3、影恒为凸四边形的充要条件是；以上各结论中，正确结论的个数是A1B2C3D4二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置）11（5分）经过点，的直线与倾斜角为的直线垂直，则 12（5分）已知等差数列的前项和为，且满足，则 13（5分）已知，是球的一个小圆上的两点，且，则三棱锥的体积为 14（5分）在星期天晚上的之间，小明准备用连续的40分钟来完成数学作业，已知他选择完成数学作业的时间是随机的，则在时，小明正在做数学作业的概率是 15（5分）已知，满足条件的目标函数的最大值小于2，则的取值范围是 三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

4、16（13分）某同学对本地，岁的爱好阅读的人群随机抽取人进行了一次调查，得到如下年龄统计表，其中不超过40岁的共有60人（1）求出，的值；（2）从，岁年龄段爱好阅读的人中采用分层抽样法抽取6人，然后从这6人之中选2人为社区阅读大使，求选出的两人年龄均在，内的概率17（13分）已知直线，（1）若与平行，求的值；（2）过定点，过定点，求，的坐标，并求过，两点的直线方程18（13分）已知函数，（1），比较与的大小；（2）当时，解不等式19（12分）如图，为边长为2的等边三角形，为菱形，为的中点，平面平面，为棱上一点，（1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积20（12分）在三角形中，角，所对

5、的边分别为，已知（1）求的值；（2）若且，求的值21（12分）已知数列满足，（1）若为不恒为0的等差数列，求；（2）若，证明：2014-2015学年重庆一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.）1（5分）直线的倾斜角为ABCD【解答】解：直线 即，故直线的斜率等于，设直线的倾斜角等于，则，且，故，故选：2（5分）学校教务处要从某班级学号为的60名学生中用系统抽样方法抽取6名同学的作业进行检查，则被抽到的学生的学号可能是A5，10，15，20，25，30B3，13，23，33，43，53C1，2，3，4，5，6

6、D2，4，8，16，32，48【解答】解：系统抽样方法抽取6名，则样本间隔为，故选：3（5分）下列命题中错误的是A夹在两个平行平面间的平行线段相等B过直线外一点有且仅有一个平面与直线垂直C垂直于同一条直线的两个平面平行D空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等【解答】解：对于，夹在两个平行平面间的平行线段相等，命题正确；对于，过直线外一点有且仅有一个平面与直线垂直，命题正确；对于，垂直于同一条直线的两个平面平行，命题正确；对于，空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，命题错误所以，错误的命题是故选：4（5分）如图，程序框图所进行的求和运算是ABCD【解答】解：由

7、题意可知该程序计算的数列的求和，当时，满足条件，此时循环了10次，故，故选：5（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是ABCD【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为，则最大角与最小角的和是，有余弦定理可得，易得，则最大角与最小角的和是，故选：6（5分）如图是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的表面积为ABCD【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其直观图如下图所示：，故该三棱锥的表面积为：，故选：7（5分）已知，且，则的最小值是A4B5CD【解答】解：因为，因为，所以，所以根据基本不等式可知当

8、且仅当时取等号，即时，的最小值是4故选：8（5分）的值为ABCD【解答】解：故选：9（5分）在中，为三角形内切圆圆周上一点，则的最大值与最小值之差为A4BCD2【解答】解：在中，三角形底边上的高，设三角形内切圆半径为，则，解得：，以为坐标原点，的方向分别为，轴，建立坐标系，则，则，的最大值为1，最小值为，则的最大值与最小值之差为2，故选：10（5分）已知底面为边长为2的正方形，侧棱长为1的直四棱柱中，是面上的两个不同的动点给出以下四个结论：若，则在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为；若在面对角线上，则在棱上存在一点使得；若，均在面对角线上，且，则四面体的体积一定是定值；若，均在面对角线上

9、，则四面体在底面上的投影恒为凸四边形的充要条件是；以上各结论中，正确结论的个数是A1B2C3D4【解答】解：若，点落在以为圆心，以为半径的弧上，当为弧的中点时，在该四棱柱六个面上的投影的和取最大值此时在该四棱柱六个面上的投影均为，故在该四棱柱六个面上的投影长度之和的最大值为，故正确；若在面对角线上，由三垂线定理可得：当与垂直时，而当时，即棱上不存在一点使得，故错误；若，均在面对角线上，且，则的面积为定值，且平面，则则四面体的体积为定值，故正确；若，均在面对角线上，则四面体在底面上的投影恒为凸四边形，则、必在对角线的两侧，则；反之当时，、必在对角线的两侧，四面体在底面上的投影恒为凸四边形，故四面

10、体在底面上的投影恒为凸四边形的充要条件是，故正确；故正确结论的个数是3个，故选：二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置）11（5分）经过点，的直线与倾斜角为的直线垂直，则【解答】解：过点，的直线的斜率为倾斜角为的直线的斜率为1两直线垂直解得：故答案为：12（5分）已知等差数列的前项和为，且满足，则100【解答】解：设等差数列的公差为，则由题意可得，联立解得，故答案为：10013（5分）已知，是球的一个小圆上的两点，且，则三棱锥的体积为【解答】解：由题意，平面因为，所以，所以，所以三棱锥的体积为故答案为：14（5分）在星期天晚上的之间，小明准备用连续的40分钟来完成数学

11、作业，已知他选择完成数学作业的时间是随机的，则在时，小明正在做数学作业的概率是【解答】解：从共有100分钟，由题意，最早开始时间为，最晚开始时间是，关于60分钟的时间任意时间开始做，而在开始都满足在小明正在做作业，所以概率为；故答案为：15（5分）已知，满足条件的目标函数的最大值小于2，则的取值范围是，【解答】解：当，满足条件的区域如图，当直线经过时，最大，解得到，此时最大值为，解得，所以满足题意；当时，符合题意；当时，不满足题意；当，此时，对应的区域如图当直线经过时，最大，解得到，的最大值为，解得不等式解集为，所以不满足题意；综上满足条件的的范围是，；故答案为：，三、解答题：（本大题共6小题

12、，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（13分）某同学对本地，岁的爱好阅读的人群随机抽取人进行了一次调查，得到如下年龄统计表，其中不超过40岁的共有60人（1）求出，的值；（2）从，岁年龄段爱好阅读的人中采用分层抽样法抽取6人，然后从这6人之中选2人为社区阅读大使，求选出的两人年龄均在，内的概率【解答】解（1）不超过40所所占的比例为，所以，解得，解得（2）因为，岁年龄段的爱好阅读的共有30人，岁年龄段的爱好阅读的共有15人，所以分层抽样时，在，抽4人，在，抽2人，设、为，岁中抽得的4人，、为，岁中抽得的2人，全部可能的结果有：， ， ， ， ，共15个，而选出的两人年龄均

13、在，内有6个，故选出的两人年龄均在，内的概率17（13分）已知直线，（1）若与平行，求的值；（2）过定点，过定点，求，的坐标，并求过，两点的直线方程【解答】解：（1）与平行，则，解得或，当时，与重合，故舍去，当时，满足，所以，（2）过定点，过定点，直线的方程为，即18（13分）已知函数，（1），比较与的大小；（2）当时，解不等式【解答】解：（1）由于，（2）不等式，即，即再结合，当 时，不等式的解集为，或； 时，不等式的解集为，且；时，不等式的解集为，或19（12分）如图，为边长为2的等边三角形，为菱形，为的中点，平面平面，为棱上一点，（1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积【解答】证明：（1）是中点，连接，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，平面平面；解：（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，则，又平面平面，平面平面，平面，平面，设到平面的距离为，则，三棱锥的体积20（12分）在三角形中，角，所对的边分别为，已知（1）求的值；（2）若且，求的值【解答】解：（1），在中，（2）已知得，由正弦定理可得，由，可得，或，即是等腰三角形或直角三角形由（1）知，即是等腰三角形，且，21（12分）已知数列满足，（1）若为不恒为0的