参数估计相关问题

1、参数估计相关问题统计估计的根本过程：统计估计的根本过程：参数估计的方法参数估计的方法7.1.2.n点估计与区间估计是统计估计的两种具体的方法。二者的根本出发点是不同的。n点估计主要是想利用统计量来估计总体参数的一个定值。n区间估计那么是利用统计量的相应分布，估计包含总体参数的随机区间。n共同的是二者都是对总体参数的一种估计。1.用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度的信息3.点估计的方法有矩估计法、最大似然法、最小二乘法等评价估计量的标准一般含义评价估计量的标准一般含义1、

2、无偏性：、无偏性： ，称，称是是 的无偏估计量的无偏估计量 。 2、有效性。一个具有较小变异的统、有效性。一个具有较小变异的统计量的意义在于将有更多的时机产生计量的意义在于将有更多的时机产生一个更接近于总体参数的量。一个更接近于总体参数的量。3、一致性。随着样本容量的增大，、一致性。随着样本容量的增大，点估计量的值越来越接近被估计总体点估计量的值越来越接近被估计总体参数。参数。)(E无偏性无偏性(unbiasedness)n无偏性：无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数 有效性有效性(efficiency)12一致性一致性(consistency)n一致性：一致性：随着样本容量

3、的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数为的无偏、有效、一致估计量；为的无偏、有效、一致估计量； 为的无偏、有效、一致估计量为的无偏、有效、一致估计量 为的无偏、有效、一致估计量为的无偏、有效、一致估计量。x21ns2p区间估计区间估计(interval estimate)1.在点估计的根底上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减估计误差而得到的2.根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量3.比方，某班级平均分数在7585之间，置信水平是95% 置信水平=1- 当总体服从正态分布当总体服从正态分布N(,2)时，时，2来来自该总体的所有

4、容量为自该总体的所有容量为n的样本的均值的样本的均值x也也服从正态分布，服从正态分布，x 的数学期望为的数学期望为，方差为，方差为2/n即即xN(,2/n)1)(2znxp /2 1)(2nxpz1ULP区间估计的数学表达方式：区间估计的数学表达方式：122ZxZPx区间估计根本表达区间估计根本表达以估计以估计 为例：为例：STATSTAT区间估计的图示区间估计的图示xxzx21.将构造置信区间的步骤重复很屡次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 2.表示为 (1 - 3.为是总体参数未在区间内的比例4.常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%5.相应的 为: 0.01

5、，0.05，0.106. 的值: 2.58, 1.96, 1.645 (记住) z2 xxx影响区间宽度的因素影响区间宽度的因素 p2071. 总体数据的离散程度，总体数据的离散程度，用用 来测度来测度2. 样本容量，样本容量，3. 置信水平置信水平 (1 - )，影响，影响 z 的大小的大小nx1. 置信水平为置信水平为95%的置信区间，意思是在构造的置信区间，意思是在构造的所有置信区间当中，包含总体参数真值的区间的所有置信区间当中，包含总体参数真值的区间占占95%。2. 总体参数的真值是固定的、未知的，而用样总体参数的真值是固定的、未知的，而用样本构造的置信区间是不固定的。一个样本构造一本

6、构造的置信区间是不固定的。一个样本构造一个区间，不同样本构造不同的区间，因此置信区个区间，不同样本构造不同的区间，因此置信区间是随机区间。置信水平是针对随机区间而言，间是随机区间。置信水平是针对随机区间而言，不是所有区间都包含总体参数的真值。不是所有区间都包含总体参数的真值。3.在实际问题中，进行估计时，往往只抽取一在实际问题中，进行估计时，往往只抽取一个样本。由该样本所构造的区间是一个特定的区个样本。由该样本所构造的区间是一个特定的区间，而不再是随机区间，因此该区间是否包含总间，而不再是随机区间，因此该区间是否包含总体参数的真值，我们是不知道的。体参数的真值，我们是不知道的。7.2 一个总体

7、参数的区间估计一个总体参数的区间估计p211n7.2.1 . 总体均值的区间估计总体均值的区间估计n7.2.2 . 总体比例的区间估计总体比例的区间估计n7.2.3 . 总体方差的区间估计总体方差的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量均值均值比例比例方差方差2xp2s总体均值的区间估计总体均值的区间估计(大样本大样本)1.假定条件假定条件总体服从正态分布总体服从正态分布,且方差且方差() 或者未知或者未知如果不是正态分布，可由正态分布来近似如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)2. 使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z(标准化标准化)1 ,0( Nnxz

8、)(22未知或nszxnzx边际误差总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)【 例例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋袋，测得每袋重量如下表所示。产品重量的分布服从正态分布，测得每袋重量如下表所示。产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，。试估计该批产

9、品平均重量的置信区间，置信水平为置信水平为95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.328.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g36.105x36个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 2335392736443642464331334253455447243428

10、3936444039493834485034394548453263.41,37.3713.25.393677.7645.15.392nszx投保人平均年龄的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁岁41.63岁岁5 .39x77. 7s计算样计算样本统计本统计量量确定样确定样本统计本统计量分布量分布确定临确定临界值保界值保证概率证概率确定置确定置信区间信区间xxxZxZxxxZxZx,区间估计步骤区间估计步骤以估计以估计 为例：为例：STATSTAT其中：xnSTATSTAT例：由例：由532名名?商业周刊商业周刊?订阅者组订阅者组成的样本说明，其每周使用因特网的平成的样本说明，其每

11、周使用因特网的平均时间为均时间为6.7小时。如果总体标准差为小时。如果总体标准差为5.8小时，求该周刊订阅者总体每周平均小时，求该周刊订阅者总体每周平均花费在因特网上时间的花费在因特网上时间的95置信区间。置信区间。均值的区间估计均值的区间估计nx96. 12Z那么：该置信区间那么：该置信区间为：为：5328 . 596. 17 . 62nZx19.7,21.6正态总体或非正态总体但大正态总体或非正态总体但大样本，总体方差未知样本，总体方差未知均值的区间估计均值的区间估计11212nSZxnSZxPnnnSZxnSZxnn1212,STATSTAT使用使用 t 分布统计量分布统计量)1(ntn

12、sxtnstx2 正态总体小样本，总体方差未知正态总体小样本，总体方差未知 p214均值的区间估计均值的区间估计11212nStxnStxPnnnStxnStxnn1212,t 统计量统计量16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 15101520148015001450148015101520148014901530151014601460147014702 .1503, 8 .14762 .1314901677.24131.214902nstx1490 x77.24s均值推断方法的选择均值推断方法的选择 p217n是否为大样本是否为大样本 是否是否是否正态总体是否正态总体 是否是否用用S

13、估估计计 用用S 估估计计 增大样本增大样本容量到容量到30以上以上是是是是是是是是否否否否否否否否nZx2nZx2nSZx2nStx2查教材查教材P155) 1 , 0()1 (Nnpppz)()-1 ()1 (22未知时或nppzpnzp【例例】某城市想要估计下岗职工中女性所占的比例，随机地抽取了100名下岗职工，其中65人为女性职工。试以95%的置信水平估计该城市下岗职工中女性比例的置信区间%35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp11222nsn111122122222nsnnsn25袋食品的重量袋食品的重量 112.510

14、1.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3401.12)24() 1(2975. 0212n364.39)24() 1(2025. 022n39.18083.56401.1221.93125364.3921.9312522正态总体未来观察值的预测区间估计正态总体未来观察值的预测区间估计p2201.预测随机变量未来的观察值，并希望求出各某个未来观察预测随机变量未来的观察值，并希望求出各某个未来观察值的取值

15、范围，这个范围就是对某个未来观察值的预测区值的取值范围，这个范围就是对某个未来观察值的预测区间估计间估计2.以以7.3为例，估计一个新灯泡使用寿命的区间为例，估计一个新灯泡使用寿命的区间3.预测误差的期望为，预测误差的期望为， ，预测误差的方差，预测误差的方差为为4.未来观察值经标准化后服从标准正态分布，当用样本方差未来观察值经标准化后服从标准正态分布，当用样本方差s2代替总体方差代替总体方差 2后，那么服从后，那么服从t分布分布5.新观察值新观察值95%的预测区间为的预测区间为0)(1xxEnn11nxxD2221nnstx112未来观察值的预测区间估计未来观察值的预测区间估计p222【例】

16、利用例【例】利用例7.3的数据，假定你要购置一只新的灯，的数据，假定你要购置一只新的灯，以以95%的置信水平建立该只灯泡的预测区间的置信水平建立该只灯泡的预测区间149054.4=(1435.6，1544.4)，该只新灯泡使用，该只新灯泡使用寿命寿命95%的预测区间为的预测区间为1435.6h1544.4h时之间。时之间。与总体均值的置信区间与总体均值的置信区间(1476.8，1503.2)相比，新相比，新灯泡的预测区间要长得多灯泡的预测区间要长得多161177.24131. 21490解：根据结果得解：根据结果得区间估计练习区间估计练习一、假定容量一、假定容量n=100的一个随机样本的一个随

17、机样本 产生均值为产生均值为81和标准差和标准差s=12。要求：。要求：构造总体均值构造总体均值95.45%置信水平下的置信区间；置信水平下的置信区间；构造总体均值构造总体均值99.73% 置信水平下的置信区间。置信水平下的置信区间。二、一个容量为二、一个容量为400的随机样本取自均值和标准差的随机样本取自均值和标准差均未知的总体。已经计算出以下值：均未知的总体。已经计算出以下值： =14592要求：要求：构造总体均值构造总体均值95%置信水平下的置信区间；置信水平下的置信区间； 构造总体均值构造总体均值99%置信水平下的置信区间。置信水平下的置信区间。 8121.2 ；8131.2 ； (5

18、.71.962/20)xx2280 xixi2两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计总体参数总体参数符号表示符号表示样本统计量样本统计量2121222121xx 21pp 2221ss)1 , 0()()(2221212121Nnnxxz 222121221)(nnzxx222121221)(nsnszxx 两个样本的有关数据两个样本的有关数据 中学中学1中学中学2n1=46n1=33S1=5.8 S2=7.2861x782x)97.10,03. 5(97. 28332 . 7468 . 596. 1)7886()(22222121221nsnszxx2) 1() 1(212222112

19、nnsnsnsp21221211nnsnsnsppp)2(11)()(21212121 nntnnsxxtp 21221221112nnsnntxxp两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.029.038.531.032.037.634.433.831.232.128.020.033.428.830.030.226.55 .321x996.1521s8 .282x358.1922s677.1721212358.19) 112(996.15) 112(2ps56. 37 . 3121121677.17

20、0739. 2)8 .285 .32()()()(2221212121vtnsnsxxtn两个总体均值之差1-2在1- 置信水平下的置信区间为222121221)(nsnsvtxx1222221121212222121nnsnnsnsnsv两个方法组装产品所需的时间两个方法组装产品所需的时间 方法方法1方法方法228.336.027.631.730.137.222.226.529.038.531.037.634.433.832.128.020.028.830.030.25 .321x996.1521s875.272x014.2322s13188.13188014.2311212996.1580

21、14.2312996.15222v433. 4625. 48014.2312996.151604. 2)875.275 .32(例题分析) 10名学生两套试卷的得分名学生两套试卷的得分 学生编号学生编号试卷试卷A试卷试卷B差值差值d17871726344193726111489845691741754951-27685513876601698577810553916222111221)1 ()1 (nppnppzpp%32.19,%68. 6%32. 6%13400%)321 (%32500%)451 (%4596. 1%32%451.比较两个总体的方差比2. 用两个样本的方差比来判断如果S1

22、2/ S22接近于1,说明两个总体方差很接近如果S12/ S22远离1,说明两个总体方差之间存在差异3. 总体方差比在1-置信水平下的置信区间为212221222122221FssFss),(1),(1222121nnFnnF5201x26021s4802x28022s505.028026098.128026022211.估计总体均值时样本容量估计总体均值时样本容量n为为2.样本容量样本容量n与总体方差与总体方差 2、边际误差、边际误差E、可、可靠性系数靠性系数Z或或t之间的关系为之间的关系为与总体方差成正比与总体方差成正比与边际误差成反比与边际误差成反比与可靠性系数成正比与可靠性系数成正比2222)(Ezn拥有工商管理学士学位的大学毕业生拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计元，假定想要估计年薪年薪95%的置信区间，希望边际误差为的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？元，应抽取多大的样本容量？9704.964002000)96. 1 ()(2222222Ezn222)1 ()(EznnzE