常见的连续型随机变量

1、1常见的连续型随机变量常见的连续型随机变量第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布第三次课第三次课一、均匀分布一、均匀分布1.定义：定义：设连续型随机变量X 具有概率密度21,( )0,aXbf xba其它( , ).( , ).Xa bXU a b则称 在区间上服从均匀分布记为0,( ),1,xaxaXF xaxbbaxb的分布函数32.概率的计算概率的计算( , )( , ),dcP cXdcbada b对于证明：证明：1( )ddccdcP cXdf x dxdxbaba3.常用的模型常用的模型( , )( , )a bXU a b向区间内任意投点，则落点的坐标4例：例：X在区间(

2、0,1)内任取一点，设其坐标为随机变量( )0.40.8Xf xPX求 的概率密度和解：解：1, 01( )0,Xf x其它0.80.40.40.80.41PX思考：思考： 10.6?PX 0.5?P X 5二、指数分布二、指数分布1.定义：定义：设随机变量X 的概率密度为/1,0( )0,xexf x其它0.X其中为常数，则称服从参数为 的指数分布/1,0( )0,xexF xX 的分布其它函数为1/有时也用表示62.指数分布的无记忆性指数分布的无记忆性0,0,|stP Xst XsP Xt证明：证明：,|P Xst XsP Xst XsP Xs()/1()1( )s ttsP XstF s

3、teeP XsF seP Xt元器件的寿命，服务等待的时间通常服从指数分布.7例：例：设X 服从参数1的指数分布，求方程280(.xXxXx关于 的方程）无实根的概率解：解：,( )0,0 xXexf xx的概率密度为：0224(8)432XXXX 方程的判别式448040 84( )10.98xPPXf x dxe dxe 三、正态分布三、正态分布1.定义：定义：如果连续型随机变量X 的概率密度为822()21( )2xf xex 其中,(0)为常数，则称 服从参数为, 的正态分布或高斯分布，记为2( ,)XN 01(0,1)XXN当 ， 时，称 服从标准正态分布，记为9标准正态分布的密度、

4、分布函数分布记为( )( )xx、221( )2xxe2121( )2xxxedx(0)0.5()1( )xx 显然有；22221122112211()22111( )22xtuxxuuxedttuedueduedux 令10 x( )f xo1.00.5( )f x 的图形( )f x 的图形特点：xxx关于对称，在周围是“钟形”，两端以 轴为渐近线， 越小，图形越尖.x( ) xo( )x的图形112.一般正态分布与标准正态分布的关系一般正态分布与标准正态分布的关系定理：定理：2( ,),(0,1)XXNZN 若则证：Z的分布函数为22()212txXP ZxPxP Xxedt ,tu令得

5、221( )2uxP Zxedux 122( )( ,)F xXN 若记为的分布函数，则有( )()XxxF xP XxP baP aXb 0( )xx当时，的值可查标准正态分布表利用上述关系，通过查标准正态分布表，可得所有正态分布的分布函数值，从而可算正态随机变量落在任意区间内的概率。13例：例：设 ，求(1,4)XN01.62.3PXP X解：解：1.6 10 101.622(0.3)( 0.5)0.6179(1(0.5)0.61790.30850.3094PX 2.3 111(0.65)0.25782P X 2.314例：例：2( ,),1,2,3XNPkXkk 设求 解：解：|( )(

6、)2( ) 1PkXkPXkkkk |2 (1) 10.6826|2 2 (2) 10.9544|3 2 (3) 10.9973PXPXPX 以上结果说明：尽管正态变量可在（，）内取值，但它的值落在（3，3）内几乎是肯定的事，这就是所谓的“3”法则.15例：例：2(2,),240.3,0XNPXP X设且求解：解：4222242(0)0.3PX 2(0)0.30.8 022010.2P X 163.分位点分位点(0,1),XNz设若点满足,01P Xz.z则称点 为标准正态分布的上 分位点z1( )xzz 由的对称性，知()1z 给定，利用标准正态分布表可查得z17例：查表可知0.0250.051.9601.645zz21( ,),2XNP XCC 设若则自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从或近似服从正态分布。正态分布是概率统计中最重要、最常见的分布。18均匀分布：1,( )0,axbf xba其它指数分布：1,0( )0,xexf x其它22()21( )2xf xe正态分布：标准正态分布：2121( )2xxe小结小结baP aXb 2( ,)XN 19思考题思考题2211( )xxXf xeX1.已知随机变量 的概率密度为判断 是否服从正态分布？如果是，参数是多少？分