求反函数的步骤

1、 如果在某个变化过程中有两个变量如果在某个变化过程中有两个变量X X和和Y,Y,并且并且对于对于X X在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则应法则,Y,Y都有唯一确定的值和它对应都有唯一确定的值和它对应, ,那么那么Y Y就是就是X X的的函数函数，X X就叫做就叫做自变量自变量，X X的取值范围称为函数的的取值范围称为函数的定义定义域域，和，和X X的值对应的的值对应的Y Y的值叫做的值叫做函数值函数值，函数值的集合，函数值的集合叫做函数的叫做函数的值域值域。函数的定义函数的定义记为记为： y=f(x)（1）函数）函数y=2x的定义域是的定义域

2、是_,值域是值域是_。如果由。如果由y=2x解出解出x=_,y21x ，x在在R上有上有_的值和它对应，故的值和它对应，故x是是_的函数。的函数。RRy21唯一确定唯一确定y这个新函数的自变量是这个新函数的自变量是_，对应的函数值是，对应的函数值是_。xy乘以乘以2RR12:x24:y原函数原函数: y=2x24:y12:xRR除以除以2新函数：新函数：yx21完成下列填空完成下列填空：这样对于这样对于y在在R上任一个值，通过式子上任一个值，通过式子如果由如果由（2）函数）函数1xy的定义域是的定义域是_，值域是，值域是_。1xy解出解出x=_,则对于则对于y在在的任一个值，通过式子的任一个值

3、，通过式子x=_,x在在-1,+ )上有上有_的值和它对应，故的值和它对应，故x是是_的函数。的函数。0，+ )上上-1,+)0,+)12y12y唯一确定y原函数：原函数：1xy表达式：表达式：定义域：定义域：值域：值域：-1,+ )0,+ )新函数：新函数：12 yx-1,+ )0,+ )反函数反函数.同样，在同样，在(2)中，也把新函数中，也把新函数称为原函数称为原函数的的反函数反函数.在在(1)中，我们称新函数中，我们称新函数为原函数为原函数y=2x(xR) 的的yx21(yR)12 yx(y0）1 xy(x-1)反函数的概念反函数的概念函数函数)(xfy （Ax）中，设它的值域为）中，

4、设它的值域为C。我们根据这个我们根据这个函函数中的数中的x，y的关系，用的关系，用y把把x表示出，得到表示出，得到)(yx。如果如果对对于于y在在C中的任何一个值，通过中的任何一个值，通过)(yx，x在在A中都有唯一中都有唯一 的值和它对应，那么，的值和它对应，那么，)(yx就表示就表示y是自变量，是自变量，x是自变量是自变量 y的函数。这样的函数的函数。这样的函数)(yx（Cy）叫做函数）叫做函数)(xfy （Ax） ，记作） ，记作 )(1yfx .改写成改写成 y=f-1(x)按照习惯，按照习惯， 对换对换x,y).(21)(1Rxxxf函数函数f(x)=2x(xR)的反函数是的反函数是

5、_f-1(x)=x2-1 (x0)如：如：) 1(1)(xxxf的反函数是的反函数是函数函数反函数与原函数的关系：反函数与原函数的关系：原函数原函数表达式表达式：定义域定义域：值域：值域：y=f(x)AC反函数反函数y=f 1(x)CA例例1.求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：1)xR,(x1x32x(4)y0);1(xx(3)yR);1(xx(2)yR);1(x3x(1)y3且解解:(1)由由 y=3x-1y=3x-1 ，解得，解得31yx而函数而函数)( 13Rxxy的值域是的值域是R，所以，函数所以，函数)( 13Rxxy的反函数是的反函数是31xy)(Rx例例1.求下列函数的反函

6、数：求下列函数的反函数：1)R,且,(x1x32x(4)y0);1(xx(3)yR);1(xx(2)yR);1(x3x(1)y3解解: (2)(2)由由13 xy，解得，解得31yx而函数而函数)( 13Rxxy的值域是的值域是R，所以，函数所以，函数)( 13Rxxy的反函的反函数是数是31xy)(Rx例例1.求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：1)R,且,(x1x32x(4)y0);1(xx(3)yR);1(xx(2)yR);1(x3x(1)y3解解:(3):(3)由由1xy，解得，解得2) 1( yx而函数而函数)0( 1xxy的值域是的值域是1yy所以，函数所以，函数)0( 1xx

7、y的反函的反函数是数是2) 1( xy) 1( x例例1.求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：1)R,且,(x1x32x(4)y0);1(xx(3)yR);1(xx(2)yR);1(x3x(1)y3解解:(4)(4)由由132xxy，解得，解得23yyx而函数而函数132xxy的值域是的值域是2yRy所以，函数所以，函数,(132Rxxxy且且) 1x的反函数是的反函数是,(23Rxxxy且且)2x 求反函数的步骤：求反函数的步骤：(1)反解反解:(2)互换互换：把把y=f(x)看作是看作是x的方程，解出的方程，解出x=f 1(y); 将将x,y互换得互换得y=f 1(x),并注明其定义域

8、并注明其定义域（即原函数的值域（即原函数的值域 )。注注：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域：必须由原函数的值域来确定反函数的定义域)()()(11xfyyfxxfy课堂练习：课堂练习：P68. Ex.1 - 4.例例2.求函数求函数)01(112xxy的反函数的反函数例例3. (1)求函数求函数y=x2-1 (x0)的反函数；的反函数； (2)求函数求函数y=x2-2x-1 (x1)的反函数的反函数.（3）函数）函数y=x2的定义域是的定义域是_，值域是，值域是_。如果由。如果由y=x2解出解出x=_,对于对于y在在0,+ )上任一个值，通过式子上任一个值，通过式子, yxx在在R上有上

9、有_值和它对应，故值和它对应，故x_y的函数。的函数。R0,+ )y两个两个不是不是是否任何一个函数都有反函数？是否任何一个函数都有反函数？这表明函数这表明函数y=x2没有反函数！没有反函数！并非所有的函数都有反函数！并非所有的函数都有反函数！小结：小结：1.反函数的概念及记号；反函数的概念及记号；y=f(x)的反函数记的反函数记 为为 y=f 1(x) 2.求反函数的求反函数的步骤步骤：(1)反解反解:把把y=f(x)看作是看作是x的方程，解出的方程，解出 x=f 1(y);(2)互换互换：将：将x,y互换得互换得y=f 1(x),并注明其并注明其 定义域（即原函数的值域定义域（即原函数的值域 )。 作业：作业：P.68- 69. 1