181921 212　向量的加法

1、向量的加法学习目标：1.掌握向量加法的运算，并理解其几何意义(难点)2.理解向量加法的三角形法则、平行四边形法则、多边形法则的适用范围，并能应用向量加法的运算律进行相关运算(重点)自 主 预 习·探 新 知1向量的加法法则(1)三角形法则已知向量a，b，在平面上任取一点A，作a，b，再作向量，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作ab，即ab.图2­1­12上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则对于零向量与任一向量a的和有a00aa.(2)平行四边形法则已知两个不共线向量a，b，作a，b，则A，B，D三点不共线，以，为邻边作平行四边形ABCD，则对角

2、线上的向量ab.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则图2­1­13(3)多边形法则已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量这个法则叫做向量求和的多边形法则2向量加法的运算律交换律结合律abba(ab)ca(bc)思考：任意两个非零向量相加，是否都可以用向量的平行四边形法则进行？提示不一定当两向量共线时不能用平行四边形法则，只能用三角形法则基础自测1判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)a0a.()(2)abba.()(3)2.()解析根据运算律知，(1)、(2)显然正确，对于(3)

3、，应为0.故(3)错误答案(1)(2)(3)×2在ABC中，a，b，则ab等于()A.B.C. D.Da，b，ab.3如图2­1­14所示，等于()【导学号：79402049】图2­1­14A0 B0C2 D2B由向量求和的多边形法则可知结果为0，故选B.4对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是_(1)；(2)；(3)；(4).解析在(1)中；在(2)中；在(3)中；在(4)中.答案(3) 合 作 探 究·攻 重 难向量加法运算法则的应用(1)化简等于()A.B.C. D. (2)如图2­1­15所示，

4、ad_，cb_.图2­1­15(3)若正方形ABCD的边长为1，a，b，c.试作出向量abc，并求出其模的大小思路探究利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则求和及作图解析(1)由向量加法的三角形法则可得：.故选B.(2)由向量求和的三角形法则可知ad，cb.答案(1)B(2)(3)根据平行四边形法则可知，ab.根据三角形法则，延长AC，在AC的延长线上作，则abc(如图所示)所以|abc|22.规律方法1向量求和的注意点：(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用(2)两个向量的和向量仍是一个向量(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用2利用向量的两种加法法则作图的方法

5、：法则作法三角形法则把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的始点与其前面向量的终点重合即用同一个字母来表示)由第一个向量的始点指向第二个向量终点的有向线段就表示这两个向量的和平行四边形法则把两个已知向量的始点平移到同一点以这两个已知向量为邻边作平行四边形对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知向量的和跟踪训练1.如图2­1­16所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)；(2).图2­1­16解(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形，由向量加法的平行四边形法则，得.(2)由题图可知，.向量加法运算律的应用

6、(1)下列等式不正确的是()a(bc)(ac)b；0；.A BC D(2)设A，B，C，D是平面上任意四点，试化简：；.思路探究可利用向量加法的交换律使求和的各向量首尾相接，然后再利用加法法则求和解析(1)由向量的加法满足结合律知正确；因为0，故不正确；成立，故正确答案B(2)().()()000.规律方法向量加法运算律的意义和应用原则：(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，

7、通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序跟踪训练2化简：(1)()()；(2)().【导学号：79402050】解(1)()()()().(2)()0.向量加法的实际应用在青海玉树大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置思路探究解本题首先要正确地画出方位图，再根据图形借助于向量求解解如图所示，设、分别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即.在RtABD中，|20 km，|20 km，在RtACD中，|40 (km)，CAD60°，即此时直升飞机位于A地北偏东30&

8、#176;，且距离A地40 km处规律方法向量应用题首先要正确画出图形，用向量表示实际量，然后进行向量运算，回扣实际问题，作出解答.跟踪训练3为了调运急需物资，如图2­1­17所示，一艘船从江南岸A点出发，以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.图2­1­17(1)试用向量表示江水的速度、船速以及船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水的速度方向间的夹角表示)解(1)如图所示，表示船速，表示水速易知ADAB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则表示船实际航行的速度(2)在RtABC中，|5，|

9、5，所以|10.因为tanCAB，所以CAB60°.因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与江水的速度方向间的夹角为60°.向量加法的多边形法则1.在ABC中，若a，b，c，那么abc0一定成立吗？提示一定成立，因为在ABC中，由向量加法的三角形法则，所以0，那么abc0.2如果任意三个向量a，b，c满足条件abc0，那么表示它们的有向线段是否一定构成三角形？提示若任意三个向量a，b，c满足abc0，则表示它们的有向线段不一定构成三角形，因为当这三个向量为共线向量时，同样有可能满足abc0，此时，表示它们的有向线段肯定不能构成三角形，所以任意三个向量a，b，c满足

10、abc0时，表示它们的有向线段不一定构成三角形3设A1，A2，A3，An(nN，且n3)是平面内的点，则一般情况下，An1An.当A1与An重合时，An1An满足什么关系？提示当A1与An重合时，有An1An0.如图2­1­18，正六边形ABCDEF中，()A0B.C. D.图2­1­18思路探究用向量加法的运算律，将变形为就可以利用向量加法的多边形法则求和向量解析因为ABCDEF是正六边形，所以BADE，BADE，所以，所以.答案D规律方法三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据多边形法则作出向量的和向

11、量.跟踪训练4.如图2­1­19，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)；(2).图2­1­19解(1).(2)0.当 堂 达 标·固 双 基1下列各式不一定成立的是()AabbaB0aaC. D|ab|a|b|D显然|ab|a|b|不一定成立2化简的结果等于()【导学号：79402051】A. B.C. D.B0.3下列命题中正确的个数为()(1)如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么(ab)a；(2)在平行四边形ABCD中，必有；(3)若，则A，B，C，D为平行四边形的四个顶点；(4)若a，b均为非零向量，则|ab|a|b|.A0 B1C2 D3D(1)正确；(2)在平行四边形ABCD中，BCAD，且BCAD，所以，正确；(