153　反证法和放缩法

1、1.5.3反证法和放缩法1.理解反证法在证明不等式中的应用，掌握用反证法证明不等式的方法.2.了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式.基础·初探教材整理1反证法首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来结论是正确，这种方法称作反证法.用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是()A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】“至多有一个”

2、即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”.【答案】B教材整理2放缩法在证明不等式时，有时需要将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)，使它由繁化简，达到证明目的，这种方法称为放缩法.其关键在于放大(缩小)要适当.如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大，则相应分式的值缩小；反之，如果把分母缩小，则分式的值放大.这是一种常用的放缩方式.已知等比数列an的各项均为正数，公比q1，设P，Q，则P与Q的大小关系是()A.P>QB.P<QC.PQD.无法确定【解析】由等比知识得Q.又P，且a3>0，a3a9，>，故P>Q.【答案】A质疑·手记

3、预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型利用反证法证明否定性命题已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能同时大于.【精彩点拨】当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明.凡涉及否定性、唯一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法.【自主解答】假设三式同时大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a.三式同向相乘，得(1a)a(1b)b(1c)c.0a1，(1a)a.同理(1b)b，(1c)c.又(1a)a，(1b)b，(1c)c均大于零，(1a)a(

4、1b)b(1c)c，因此式与式矛盾.故假设不成立，即原命题成立.1.反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法.2.利用反证法证题的关键是利用假设和条件，通过正确推理，推出和已知条件或定理事实或假设相矛盾的结论.再练一题1.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，不成等差数列. 【导学号：38000024】【证明】假设，成等差数列，则2，即ac24b，而b2ac，即b，ac24，()20，即，从而abc，与a，b，c不成等差数列矛盾，故，不成等差数列.利用反证法证“至多”“至少”“唯一

5、”型命题已知f(x)x2pxq，求证：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.【精彩点拨】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论；(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论.【自主解答】(1)由于f(x)x2pxq，f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.(*)又|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2.|f(1)|2|f

6、(2)|f(3)|2与(*)矛盾，假设不成立.故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.1.在题目中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，常使用反证法证明.2.在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾.再练一题2.已知a1，求证以下三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数解.【证明】假设三个方程都没有实根，则三个方程中它们的判别式都小于0，即<a<1，这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解.利

7、用放缩法证明不等式已知x，y，z不全为零，求证：(xyz).【精彩点拨】针对不等式的特征，关键是对左端根号内变形，配方后适当放缩去掉根号，达到证明的目的.【自主解答】 x，同理可得：y，z.由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式累加得：(xyz).1.放缩法在不等式的证明中无处不在，主要是根据不等式的传递性进行变换.2.放缩法技巧性较强，放大或缩小时注意要适当，必须目标明确，合情合理，恰到好处，且不可放缩过大或过小，否则，会出现错误结论，达不到预期目的，谨慎地放或缩是放缩法基本策略.再练一题3.若a3b32，求证：ab2.【证明】假设ab>2，而a2abb2b

8、20，但取等号的条件为ab0，显然不可能，a2abb2>0.则a3b3(ab)(a2abb2)>2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb2<1.1ab>a2b22ab，从而ab<1.a2b2<1ab<2.(ab)2a2b22ab<22ab<4.而由假设ab>2，得(ab)2>4，出现矛盾，故假设不成立，原结论成立，即ab2.探究共研型反证法与放缩法的特点探究1反证法的一般步骤是什么？【提示】证明的步骤是：(1)作出否定结论的假设；(2)从否定结论进行推理，导出矛盾；(3)否定假设，肯定结论.探究2放缩法证明不等式常用的技巧

9、有哪些？【提示】(1)添加或舍去一些项，如a2a1.(2)将分子或分母放大(或缩小)，如；.(3)利用真分数的性质：若0ab，m0，则.(4)利用基本不等式，如a2b22ab.(5)利用绝对值不等式定理：|a|b|a±b|a|b|.(6)利用函数的单调性.求证：12(n为正整数，且n2). 【导学号：38000025】【精彩点拨】本题考查放缩法在证明不等式中的应用，解答本题要注意欲证的式子中间是一个和的形式，但我们不能利用求和公式或其他方法求和，因此可考虑将分母适当放大或缩小成可以求和的形式，进而求和，并证明该不等式.【自主解答】k(k1)k2k(k1)，即(k为正整数，且k2).分

10、别令k2,3，n得1，将这些不等式相加得1，即1，1111，即12(n为正整数，且n2)成立.1.放缩法证不等式主要是根据不等式的传递性进行变换，即欲证ab，可换成证ac且cb，欲证ab，可换成证ac且cb.2.放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标.而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论寻找.再练一题4.已知实数x，y满足：|xy|<，|2xy|<，求证：|y|<.【证明】因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|<，|2xy|<，从而3|y|<，所以|y|<.构建·体系反证法和放缩法1.

11、已知abc0，abbcac0，abc0，用反证法求证a0，b0，c0时的假设为()A.a0，b0，c0B.a0，b0，c0C.a，b，c不全是正数D.abc0【解析】a0，b0，c0的反面是a，b，c不全是正数.【答案】C2.否定“自然数a，b，c中恰有一个为偶数”时正确的反设为()A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数【解析】三个自然数的奇偶情况有“三偶、三奇、两偶一奇、两奇一偶”4种，而自然数a，b，c中恰有一个为偶数包含“两奇一偶”的情况，故反面的情况有3种，只有D项符合.【答案】D3.已知a>0，b>0，设P，Q，则P与Q的大小关系是()A.P>QB.P<QC.PQD.无法确定【解析】a>0，b>0，P>Q，P>Q.【答案】A4.用反证法证明命题：三角形的内角和中至少有一个不大于60°时，假设应为_. 【导学号：38000026】【解析】“至少有一个不大于60