因式分解法解一元二次方程

1、 于都中学于都中学 邱金兰邱金兰1.1.我们已经学过了几种解一元二次方程我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法的方法? ?2. .什么叫分解因式什么叫分解因式? ?把一个多项式分解成几个把一个多项式分解成几个整式乘积整式乘积的形式叫做分解因式的形式叫做分解因式. .直接开平方法直接开平方法配方法配方法X2=a (a0)(x+h)2=k (k0)公式法公式法.04.2422acbaacbbx.293x.30或这个数是:小颖是这样解的. 03:2 xx解. 3x. 3这个数是:小明是这样解的.,3:2得边都同时约去两方程解xxx 你能解决这个问题吗你能解决这个问题吗w 一个数的平方与这个数的一个

2、数的平方与这个数的3 3倍有可能相等吗？如果相倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？等，这个数是几？你是怎样求出来的？.32xx w 小颖小颖, ,小明小明, ,小亮都设这个数为小亮都设这个数为x, x,根据题意得根据题意得小颖做得对吗?小明做得对吗?你能解决这个问题吗你能解决这个问题吗w 一个数的平方与这个数的一个数的平方与这个数的3 3倍有可能相等吗？如果相倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？等，这个数是几？你是怎样求出来的？.32xx w 小颖小颖, ,小明小明, ,小亮都设这个数为小亮都设这个数为x,x,根据题意得根据题意得. 03 xx.30或这

3、个数是:小亮是这样解的得由方程解,3:2xx.032xx. 03, 0 xx或. 3, 021xx小亮做得对吗?. 0, 0,个为那么这两个数至少有一如果两个因式的积等于即:小亮是这样想的.000, 0015, 030.000baba或或那么, 0,ba如果反过来分解因式法分解因式法w 当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边易于分解成两而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时个一次因式的乘积时, ,我们就可以用分解因式的方法我们就可以用分解因式的方法求解求解. .这种用分解因式解一元二次方程的方法称为这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分分解因式法解因式法. .w提示提示

4、: :w1.1.用用分解因式法分解因式法的的条件条件是是: :方程左边易于分解方程左边易于分解, ,而右而右 边等于零边等于零; ;w2. 2. 关键关键是熟练掌握因式分解的知识是熟练掌握因式分解的知识; ;w3.3.理论理论依旧是依旧是“如果两个因式的积等于零如果两个因式的积等于零, ,那么至少那么至少有一个因式等于零有一个因式等于零.”.”w 用分解因式法解方程用分解因式法解方程: : w (1)(1)5x5x2 2=4x;(2)x-2=x(x-2);(3)x=4x;(2)x-2=x(x-2);(3)x2 2+6x-7=0+6x-7=0 ,045 .1:2xx解. 045, 0 xx或.

5、045xx.54; 021xx ,022.2xxx.01,02xx或. 012xx. 1; 221xx0)7)(1)(3(xx7, 121xx0701xx或w分解因式法解一元二次方程分解因式法解一元二次方程的步骤是的步骤是: :w1. 1. 将方程左边因式分解，右边等于将方程左边因式分解，右边等于0;0;w2. 2. 根据根据“至少有一个因式为零至少有一个因式为零”, ,转转化为两个一元一次方程化为两个一元一次方程. .w3. 3. 分别解两个一元一次方程，它分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根们的根就是原方程的根. .1 .x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0.解：1.(x+

6、2)(x-2)=0,x+2=0,或x-2=0.x1=-2, x2=2.学习是件很愉快的事v你能用分解因式法解下列方程吗？2.(x+1)+5(x+1)-5=0,x+6=0,或x-4=0.x1=-6, x2=4.这种解法是不是解这两个方程的最好方法这种解法是不是解这两个方程的最好方法? ?你是否还有其它方法来解你是否还有其它方法来解? ?. 4; 22x1 1x x .123124 .2, 0 xxx4 4- -x x2 2x x. .1 1 . 042.xx或解0 0, ,1 1: :v1.1.解下列方程解下列方程: : , 0314 .1 12 2x x2 2x x2 2x, 013 3- -

7、4 4x x2 2x x. 034, 012xx或.43,2121xx解：设这个数为设这个数为x,x,根据题意根据题意, ,得得x=0,或2x-7=0.2x2x2 2=7x.=7x.2x2x2 2-7x=0,-7x=0,x(2x-7)x(2x-7) =0,=0,v一个数平方的一个数平方的2 2倍等于这个数的倍等于这个数的7 7倍倍, ,求这个数求这个数. .27, 021xx 用分解因式法解下列方程用分解因式法解下列方程w 参考答案：参考答案： . 9, 3.921xx .43;41.1021xx . 2; 5.121xx . 3; 5.221xx . 2; 3.321xx .74;21.42

8、1xx .35; 2.521xx .34; 2.621xx . 6, 3.721xx . 1; 0.821xx);2(5)2(3 . 5xxx; 05) 13.(62x025)25(2xx1. ;2. ；015)53(2xx; 018)23(. 32xx4. ;) 12() 24(2xxx;3)3(2 . 72xxx; 0213) 1.(82xx; 02712. 92xx.9)3(2 .1022xx01032 xx)2( x) 5( x06) 1)(4(xx例例502-x或05 x2, 521xx因式分解，得因式分解，得解：解：w当一元二次方程的一边是当一元二次方程的一边是0,0,而另一边易于

9、分解成两个而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时一次因式的乘积时, ,我们就可以用分解因式的方法求我们就可以用分解因式的方法求解解. .这种用分解因式解一元二次方程的方法称为这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分解分解因式法因式法. .v分解因式法的分解因式法的条件条件是方程左边易于分解是方程左边易于分解, ,而右边等于而右边等于零零, ,关键关键是熟练掌握因式分解的知识是熟练掌握因式分解的知识, ,理论理论依旧是依旧是“如如果两个因式的积等于零果两个因式的积等于零, ,那么至少有一个因式等于零那么至少有一个因式等于零.”.”v因式分解法解一元二次方程的步骤是因式分解法解一元二次方程的步骤是

10、: :v(1)(1)将方程左边因式分解，右边等于将方程左边因式分解，右边等于0;0;v(2)(2)根据根据“至少有一个因式为零至少有一个因式为零”, ,得到两个一元一次得到两个一元一次方程方程. .v(3)(3)两个一元一次方程的根就是原方程的根两个一元一次方程的根就是原方程的根. .v因式分解的方法因式分解的方法, ,突出了转化的思想方法突出了转化的思想方法“降降次次”, ,鲜明地显示了鲜明地显示了“二次二次”转化为转化为“一次一次”的过程的过程. .配方法配方法和和公式法公式法是解一元二次方程是解一元二次方程重要方法重要方法, ,要作为一种基本技能来要作为一种基本技能来掌握掌握. .而某些

11、方程可以用而某些方程可以用分解因式分解因式法法简便快捷地求解简便快捷地求解. .w我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式我们已经学过一些特殊的二次三项式的分解因式,如：如：二次三项式二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解的因式分解;)3(9622xxx?有没有规律看出了点什么. ?91242xx; 6, 1067:212xxxx得解方程);3)(2(652xxxxw但对于一般的二次三项式但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(ao),怎么把它分解因式呢怎么把它分解因式呢?.?4732xx观察下列各式观察下列各式, ,也许你能发现些什么也许你能发现些什么);6)(1(672xxxx而; 1

12、, 3032:212xxxx得解方程);1)(3(322xxxx而;23,2309124:212xxxx得解方程);23)(23(491242xxxx而; 1,340473:212xxxx得解方程);1)(34(34732xxxx而w一般地一般地, ,要在实数范围要在实数范围 内分解二次三项式内分解二次三项式axax2 2+bx+c(ao)+bx+c(ao), ,只要用只要用公式法求出相应的一元二次方程公式法求出相应的一元二次方程axax2 2+bx+c=0(ao)+bx+c=0(ao), ,的两个根的两个根x x1 1,x,x2 2, ,然后直接将然后直接将axax2 2+bx+c+bx+c写成写成a(x-a(x-x x1 1)(x-)(x-x x2 2) ), ,就可以了就可以了. .w 即即axax2 2+bx+c= a(x-+bx+c= a(x-x x1 1)(x-)(x-x x2 2) ). .:把下列各式分解因式 .7,707.1:212xxx的两个根是一元二次方程解).7)(7(72xxx .37, 20143.2:212yyyy的两个根是一元二次方程解).37)(2( 31432yyyy二次三项式二次三项式 axax2 2+bx+c+bx+c的因式分解的因式分解 ;7.12x .143.22 yy解下列方程解下列方程w 参考答案：参考答案： .57;41.1