同济大学第五版线性代数课后习题解析

1、习题解答1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:201(1) 1-4-1;-18：3111(3) abc；a2b2c2(2)bca;cabxyx+yfI(4) yx+yx工+yjcy解(1)原式=2x(-4)X3+Ox(-1)x(-1)+1X1X8-1x(-4)x(-1)-2X(-1)X8-OX1X3=-4；(2)原式=acb+bac+cba-c3-a3-b3=3abc-a3-Z?3-c3;(3)原式=1b*c2+l*c*a2+l,a*b2-l*bua2-ltc,b2-l9a9c2=be2+ca2+ab2-ba2-cb2-ac2=c2(6-a)+aZ>(6-a)-c(A2-a2)=(a-6

2、)(Z>-c)(c-a);(4)原式=x(x+y)y+yx(x+3)+(l+y)yx-(x+y)3-合一/=-2(x3+>3).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1) 1234；(2)4132；(3) 3421；(4)2413；(5) 13(2n-1)24(2)；(6) 13(2n1)(2")(2n-2)2.解(D此排列为自然排列，其逆序数为0；(2)此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元索1的逆序数为1;第3位元素3的逆序数为1;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+1+1+2=4；(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0;第3位元索2的逆序数为

3、2；末位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0+0+2+3=5;(4)类似于上面,此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为0+0+2+1=3;(5)注意到这2个数的排列中，前位元素之间没有逆序对.第+1位元素2与它前面的n-1个数构成逆序对，故它的逆序数为-1;同理，第+2倍元素4的逆序数为2;；末位元素2n的逆序数为0.故此排列的逆序数为（-1）十（-2）+0=:（-1）;(6)与(5)相仿，此排列的前n+1位元素没有逆序对；第十2位元素(2n-2)的逆序数为2;第m+3位元素2-4与它前面的2n-3,2n-1t2n,2-2构成逆序对,故它的逆序为4;；末位元素

4、2的逆序数为2(-1),故此排列的逆序数为2+4+2(-1)=1).3 .写出四阶行列式中含有因子°“牝3的项.解由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行和第4行的某两元素,而它们又分别位于第2列和第4列，即的2和或。”和注速到排歹IJ1324与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有为io-的项为-a11a23。32。u与a”a23aua424 .计算下列各行列式:4110020214207-12042361122一叫bdbfac- cdcfae de ef（4）-10- ,01b-10-1001d100014100215121-15-702210122240727-20-4

5、10002-7-15121000 22,1011792-4-20.72 .78545=0(因第3、4行成比例);251546361222=0(因有两行相同);01+Mr.+ari(4)D=0-1001c-11+ab成c展开一1(-1)(T>-1,0ld-1ad1+cd(7)(-I)，0-101+而ad11+cd1111x a b c22 人22 =0,其中 a,b,ci a b cX3 a3 b3 c3=(1+ab)(l+cd)+ad.5 .求解下列方程：i+l2-1(1) 2x+11=0；(2)-11x+1互不相等.+1解(1)左式二:(£+3)2(1+3)-11C2-CiL

6、=(x+S)2x-1I-I=(1+3)=(r+3)(t2-3).LX+1于是方程的解为:=-3,工2=75,=-73;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，由例12的结果得(x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a-c)(Z>-c)=0.因a、b,c互不相等，故方程的解为：xx=a,x2=Z>,x3=c.6.证明：a2a1aha+b1ax+byay+bzaz+bxb22b1ay+bzaz+bxax+by(a+1)2(KI)?(c+l)2("1)2(a-b)3iaz+bxax+by=(a3+63)ay+bz(a+2产(6+2尸(c+2)2(d+2)z(d3)2(6+3

7、)(c+3)(d+3)2=0;111(4)a2bedb2c2d2b4c4d"=(q-6)(q-c)(a-d)(6-c)(6-d)(c-d)(a+6+c+d);X-100X- 1(5)：:000o证 (1)左式：0000:=awx"+。1工+。x-1a6a2-b2ab-b2b2II(a-b)2ab-b2b2Ci-2cz2(a-b)q-b2b丁一-0a-b2b001II001=(a-b)3=右式;(2)将左式按第1列拆开得axay+bzazbxbyay+bzaz+bx左式=ayaz+bjeax+by*bza&$bjeajc+byaD+bD2-»azaxbyay

8、+bzbxax+byay+bz其中c尸bbz az + bx bx ax + by by ay + bz x y z y z x z x y bz az + bx bx ax + by by ay + bzay + bz z az + bx x ax + by y于是D = aDj(3)左式bD2 = (/ +z az + bx x ax by y ay + bz=右式.2a + 126 + 12c + 12d + l2a+326+32c+ 32d+ 32a+526 + 52c+ 52cl + 52a+122b2(4)左式一- 5 -S2b+1222c+1222d+l22=0 (因有两列相同)

9、;111b-acad-ab(b-a)c(c-a)d(da)及(b2-a2)c2(c2-a2)dz(dl-a2)111按C展开bcd62(6+a)c2(c+a)t/2(t/+a)111rj-6(6+a)rj一,丁一a)(c-a)(d-a)0c-bd-bri-6ri0xyc6d-b=(-a)(c-a)(d-a),1y其中：=c2(c+a)-(6c)(6+a)=c(c2+ac-62-aA)=c(a+6+c)(c-6);y=d2(d+q)-bd(b+Q)=d(a+b+d)(d-b).一 c - b d - b .、，、故=(c-b)(d-b)* )11c(a+6+c)d(a+b+d)=(c-6)(d-

10、6)d(a+6+d)-c(a+b+c)=(c-6)(d-6)(d-c)(a+)+d2-c2=(c-6)(d-b)(d-c)(a+b+c+d),因此9左式=(6-a)(c-a)(d-o)(c-()(d-6)(d-c)(a+<+c+d)=右式.(5)证一递推法.按第1列展开，以建立递推公式，-1X-10=xD+(-l)'*2a0.*X-1=jcD+(-l)2"*2a0=xD+a0.又，归纳基础为：口=4(注意不是"),于是D=+a0=x(xDn.|+fi1)+a0=x2Dh.|+a|X+a0=x"Dj+a11TH"7+fl|x+a0=a0+ai

11、x+a2x2+<ee+a".证二按最后一行展开得% = £(-1产"=2（T）c43/oM=a0+ajx+a2x2+a”1z"7+anxn.7.设n阶右列式。=<（/），把D上下翻转、或逆时针旋转90,、或依副对角线翻转，依次得证明以=。2=（-1）/口。，5=。.证（1）先计算。1,为此通过交换行将D.变换成。，从而找出口与D的关系.D1的最后一行是D的第1行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行,共进行m-1次交换；这时圾后一行是D的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共进行W-2次交换；，直至最后一行是D的第-1行,再通过

12、一次交换将它换到第H-1行，这样就把D,变换成D,共进行次交换，故。二（-1）%一）D.注1,上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时，经常用到.它的特点是在把最后一行换到某一行的同时，保持其余n-个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）.2同理把D左右翻转所得行列式为（-（2）计算。2.注意到D2的第1,2,，行恰好依次是D的第，-1,，1列,故若把D2上下翻转得万2,则万2的第1.2,-,n行依次是D的第1,2,切列，即万2=D,于是由（1）D2=（-1）（）万?=（T）；"'dT=（-1）9（一）D.（3）计算。3.注意到若把Dy逆时针旋转90,得力一则Dy的第1,

13、2,.列恰好是D的第八，-1,，1列，于是再把D左右靓转就得到D.由（1）之注及，有5=（-1）；“）D3=D.注本例的结论值得记取，即对行列式D作转置、依副对角线篇转、旋转180.所得行列式不变;作上下翻转、左右翻转、逆（顺）时针旋转90°所得行列式为8.计算下列各行列式（心为k阶行列式）：a1（1）。=.，其中对角线上元素都是。，未写出的元索都是0；1aD,二x(a-1)"(。一1)(3)Di=提示：利用范德蒙德行列式的结果.，其中未写出的元索都是0；D.=det(%),其中a¥=li-jl;1+/11,1l+a21(6)D,=.，其中勺4/0 111+%(1

14、)解一把D”按第一行展开得0aoD.二屋+(-1)/a10解二按第一列 展开(2)本题中Dh是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列 式,在以后各章中有不少应用.解 利用各列的元素之和相同，提取公因式.11-1G一叩r/八，工一QFx+(n-l)a.，=2.加工-a=(x-a)"'1x+(n-1)a.(3)解把所给行列式上下翻转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻转(相当于转180、参看题7)其值不变,于是按范德蒙德行列式的结果，可得11-1a-a-n+1aDqi=(a-n)*(a-n+l)wa

15、(4)解本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.由例1。/,，、c一(a.d.bncn)©2(n-1)*即有递推公式D2.=(“0-3)。北.-|八a.与另一方面，归纳基础为D?=,=出一blCl，利用这些结果,递推得Ci%wDz.=(a.d.一九。)(即出一d白)=口(4-bkck).(5)解(6)解将原行列式化为上三角形行列式.为此，从第2行起，各行均减去第1行，得与例1.3相仿的行列式9.设 D =3-521其中°=1+=+室打于是D.+貌).1-12,口的(：,八元的代数余子式记作A9,求01-1-53-3A3i+3A”-2A”+2A乂解与例13相仿，人八+3人

16、32-24蓑+24”等于用1,3,-2,2替换D的第3行对应元素所得行列式，即A3I+3Am-2A33+2A»=3-511113-53-2110.(1)-21100=24.用克拉默法则解下列方程组:X|+=5;X|+2x2一13+4x4=-2;-5x4=-2,+1Lt4=0；1解(1)D=12312-311/j+5万0+2r200Dt=-13-23123-54-42-42-3-12-23-14(2)<*410003-511rrH-2)技工赢1-1133-2-531-11-100-1-23二1,=0,+6x4=0,+5x4=1.11001-2-13-5i|=lo:心14I14=-

17、142;11|51112-14上t"一3-3053-1-53-20-4121111-10-109按Cj展开32-229一2732=-142；23-2215111511D?=1-2-140-7-232-2-1-50-12-3-7302110-15-18-7-12-15230-13330-3115-181151115112-2401-732-3-2-52rl0-5-12-7310110-2-158按。展开=15-7-47一47-2914-29乙+2,22-311000-1由克拉默法则，得5-2-201-2-13-55-7-47-29(2)D=6515006565110001*5-21-2

18、-3-15-7-12-15-13-47-5-29142,二方=2'叫=万"3=万=-1;=5于是。=325-114=211；=114,6510=65;066-5(*)1由（*）式=65-216=-151;D2 =5100100106510065=-19+180=161；d3 =5100006515 05 6 001 6一15000 5016按门展开=5- 114 =-109;D4 =651006511001按。展开由（）式* 1 + 65 = 64.由克拉默法则，得Jl =Dt_ 151_ _方=一方，小=方=讯，/3 =方=- 5n109_D_ 64'工产方F11.

19、问人，取何值时，齐次线性方程组Ax|+叫+4=0,I+92+13=0,I+2仪2+小=0有非零解?解由定理5',此时方程组的系数行列式必须为0.=一a 1）,A1111121故只有当=0或久=1时，方程组才可能有非零解.当=0,原方程组成为+工3=0，以+xj=0,显然j=1,叫=1-2，工3=-1是它的一个非零解;当a=1,原方程组成为+x2+x3=0fI+jtzx2+x3=0>x,+2+x3=0,显然，工1=-l,x2=0,x3=1是它的一个非零解.因此，当=0或4=1时，方程组有非零解.注定理5（或定理5'）仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列式必为零.至于

20、这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非零解.下题也是同样情形.12.问A取何值时，齐次线性方程组(1A)X|-2x2+4x3=0,v2xj+(3-A)x2+13=0,X|+x2+(1-A)x3=0有非零解？解若方程组有非零解，由定理5',它的系数行列式。=0.1-A-2因D=23-A11仁.2，|r>-(I-A)rt1-A=-3+ACj-rAK1-AIz、,、一二7(,3)=-A(A-2)(A-3).rj-r(A-3)1-1故D=0=>a=0或2=2或2=3,并且不难验证：当久=0时，叫=-2,%=l，q=l；当a=2时,4=-2,12=3,4=1；当1=

21、3时,-1,以=5,4=2均是该方程组的非零解.所以当a=0,2,3时方程组有非零解.解答1.计算下列乘积:4(1) 153 11 (7-2 3 2 ;7 oj II3(2) (1,2,3) 2 ;12.1 (-1,2);3.37-3-24解(1) I53-273(2) (1,2,3)1x3 21= (10)xi =10;(-1f2)1x2 =-2-1-3211 -1(5)(X| ,X2,X3)°”123X2220146 -70 -5allxI+al2x2+aIJx3=(X,X2»)l«3alx+a2Zx2+a23x301311+al3x2+a33x3Jjxi=f

22、lIIXJ+a)2I+fl|jXjXy+Q12工I+a”工；+0131311+。2313必十03*=aux?+a12x+2anxxx2+2auxIz3+2a23x1x3.2.设 A =11 -1求 3AB-2A 及1-11,B =1-102-25AB =于是 3AB-2A =31-110021-105-52-2500615-152786024180-234111122200211-122-25-591-112-22.-2-2413-17292220-2因At=A,BPA为对称阵，故0584TB=AB=0-56.2903.已知两个线性变换工 =2y +/，4=-27 +3% + 2力，工3=4&

23、#187; +山+ 5山，>1=-3勺+叼,»=2勺+句，%=-N?+3叫,求从Z1,Z2,«3到Xj,x2,x3的线性变换.解依次将两个线性变换写成矩阵形式：X=AY,Y=»Z,B=这里矩阵-32010-1分别为对应的系数矩阵；X在这些记号下，从Z,Z2,之3到0，N巧的线性变换的矩X=AY=A(BZ)=(AB)Z=CZ>C=AB即有X|=-6zi+Z2+3叩x2=12zj-422+9zj工3=-10Z|一22+1623.=(;Q=c3同(1)ABBA吗？(A+5)2=A2+2AB+S2吗？(3)(A+B)(A-B)=a2-52吗？(33故A片见2

24、2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+但由(1),ABW5A，故A5+5AK2AB,从而(A+B)VA2+2AB+B2;3 3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-肥，但由(1),故BA-A5#O,从而(a+b)(a-b)#a0其中三阶矩阵5= 0、0-b2.5 .举反例说明下列命题是错误的：(1)若A?=o,则A=O;(2)若川=通，则A=O或4=E;,(3)若AX=AY,且A卉O,则X=Y.解(1)取A=(：有T=O,但AWO;(2)取A=(：),有A2=A,但A#O且取Y：)，*=(；：)，=(；.；，有4*3,且“。,但*WY.6 .设A=（；：）,求T,A&#

25、39;,，A*.解直接计;得人（；XXL0.）-人（：制以力：»（二）,一般可得=（2.3）事实上，当女=1时，（2.3）式显然成立；设当上=时，（2.3）式成立，那么当A=+l时，AF=WUA1/U.1/（w+l）A1/由归纳法，知（2.3）式成立.A10*7.设A=0A1，求A”.00A解把A写成两个矩阵之和000+0A0A0A=0A001001=AE+B,000|001满足炉=000J10010，出=0(43).0,于是A11=(2E+B)11=C®ARE+5+C：Bn=CE+CLB+CLB28.设A,5为阶矩阵，且A为对称阵，证明AB也是对称阵.证根据矩阵乘积的转置

26、规则,有(BtAB)t=BtAt(Bt)t=BtAB(因A为对称阵),故由定义，知btab为对称阵.9.设A,5都是阶对称阵，证明AB是对称阵的充要条件是AB=BA.证因AT=A,BT=B，故AB为对称阵0（AS）T=ASAB0bA=AB.10.求下列矩阵的逆阵：解（1）由二阶方阵的求逆公式（教材例10）得（;丁而一:cos 6 - sin 0sin 8 coscos2 0 + sin2 0cos 0 sin 6-sin 0 cos 0cos 8 sin 8一 sin 0 cos 8(3)因 |A| 二24-4-1-21=2力0,故A可逆，并且M“ 二Mn =M|3 =于是4 -2-43535

27、4-4=-32,AT=_M22 =M232-41515-112-4=6,My.2413=- 14,M“ =-1-2-1-224=0,(4)因4 - 14一工-4-13-322614-M120-1-2- gMu-Mzj-213"T，一 16-Mi201 i2 -14 ¥ 0, i = 1,2,，力.于是矩阵diag(看看或)是有意义的伊且因AB = diag(aB 9a2 >1 1 一,一，=diag(lj>由定理1的推论，知A可逆，且AT=B=diag(Wd)注本题结论值得记取，可当作公式用.11.解下列矩阵方程：(:53224-14 - 62 1-10 =L-

28、13(3)(4)解(1)因矩阵 左乘方程两边,得.的行列式=1,不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵乩:北一:HiU)记矩阵方程为 XA3 = B»3,因故A可逆，用右乘方程的两边得X=BA又，于是%MuX =54- M21M22 - M32-M?3M330331-20记一;="=(-；)C=C.；)，则矩阵方程可写为AXB=C.因|4|=6六0,|6|=2并0,故A9B均可逆.依次用A-和左乘和右乘 方程两边得ACDC.：）（：；）"1212_包30）=101 01 00 0 和 0 00 1J （0 10(4)本题与(3)相仿.因矩阵1,0均是可逆阵，并且010

29、100、001故得X =12.01001,00 1,0-40-20-4-2利用逆矩阵解下列线性方程组: X, + 2x2 + 31j = 1,< 2 + 2必 + 5八=2,(2) «31 + 5x2 + 壬=3;将方程组写作矩阵形式Ajt = b,这里，A为系数矩阵，= (，孙，为尸为未知数矩阵.b为常数矩阵.(1)因 IAI二15#0,故A可逆，于是x 二 A -115-2313413-841-2123,15 0 0即有0(2)SIAI-1-12-1-3-51117=3彳0,故123-7-2-5-1-12211A可逆，于是21O1509即有<-=0，了3=3.13.已

30、知线性变换斗=2“+2力+”，v以=3yl+>2+5y3，工3=3“+2%+3%求从变量与，工2,I3到变量切，力，力的线性变换.解记工=（，2,4）,”=（"，力，为尸，则线性变换的矩阵形式为=221Ay,其中A为它的系数矩阵.因decA=315=1共0,故4是可逆阵，于323.是从变量X,，工z，口到变量v，“，力的线性变换的矩阵形式为y=人7x.-7-49又,At=J7A"=A=63-7,AioX32-4J于是>!=-73-442+9%，卜2=6叫+3m-7孙，I»=3*i+2孙-41314 .设A为三阶矩阵，|4|=今求|(24尸-5|.解因|

31、A|=)中0,故A可逆.于是由A9=|4|4-'=14-'(24)7裾(2A)-'-5A*=yA-*-yA-'=-2A-1,两端取行列式得|(2A)-,-5A*I=I-2A-,|=(-2)3|AI-*=-16.注先化简矩阵，再取行列式,往往使计算变得简单.03315 .设A=110,AB=A+2B,求B.-12 3解由AB=A+2B=>(A-2E)B=A.-233因A-2E=1-10,它的行列式det(A-2E)=2W0,故它是可逆阵.121用(A-2E)7左乘上式两边得B =0311-120 3 3-12 31 1 0，且 AB + E = A? + B

32、,求 B.01、=2V210116 .设A=020101解由方程AB+E=A2+5,合并含有未知矩阵B的项，得(A-E)B=A2-E=(A-E)(A+E).0又，A - E = 010110,其行列式det(A-E)=-1X0,故A-E可逆，用00.(A-E)t左乘上式两边，即得201B=A+E=030.10217 .设通=由昭(1,一2,1),84=254-8£：,求B.解由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A，因此仍从公式AA,=|A|E着手.为此，用A左乘所给方程两边，得AA9BA=2ABA-8A,又，|A|=-2声0,故A是可逆矩阵，用力7右乘上式两边,得|A|B=24B-8E

33、=>(2A+2E)B=8E=>(A+E)B=4E.注意到4+ENdiag(l,-2,l)+diag(l,l,l)=diag(2,-l,2)是可逆矩阵，且(A+E)1=diag(11,1)，于是B=4(A+E)t=diag(2,-4.2).18 .已知矩阵A的伴随阵已=diag(l,l,l,8),且ABAT=5A-i+3E,求B.解先由4来确定|A|.由题意知4T存在，有A=|A|A-1得IA'|=|A门A”=|All而IA*1=8,故|A|=2.再化简所给矩阵方程ABABAl+3E=>(A-E)5A7=3E=>(A-E)B=3A=>(E-A'*)B

34、=3E.由IAI=2,知41=A=-ydiag(l,l»1»8)=diag(；,；,4,4得(E-A-i)7=diag(2,2,2,一；).于是B=3(E-A-1)-'=3diag(2,2t2,"jj=diag(6t6,6,-l).19 .设P-1P=A，其中P=(-；),求A”.解本题与教材例13相仿.因74。=/1,故A=PAP-L于是AU=PAUP_,=f：-mH；./=-2：)(一；二)_1/1+2”-4+2,3_/27312732=3-i-2h-4-2,7-683-684/11:1-120 .设AP=PA,其中P=10-2,A=15J1T11求3

35、（A）=k（5E-6A+A2）.Ill解因|=I0-2=-6W0,故P是可逆阵.于是，由AP=P41-11得八=/>4。7,并且记多项式少（1）=/（5-61+，），有3（A）=Pw（A）p7.因A是三阶对角阵，故.于是3(人)=diag(w( - 1),，)=diag( 12,0,0) t13 ( A ) = 11注，由于少(人)除(1)元外均是0,故在求P时，只需计算P的(1,1)元、(2,1)元、(3,1)元的代数余子式A“，Azi和A”.：21 .设A*=O&为正整数)，证明E-A可逆，并且其逆矩阵(E-A)r证由(七-4)(七+4+/12+；+A'-')

36、=E+A+A"'-A-A?-一A"=E-O=E,由定理2之推论知E-A可逆，且其逆矩阵(E-A)7=E+A+A>*1.注判断矩阵B是否为A的逆矩阵,眼直接、取简单的方法就是验证AB(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3是否为;的逆只需验证JX3是否等于1一样.下一题及例2.1都是这一思想的应用.22 .设方阵A满足(2.4)证明A及A+2E都可逆，并求7及(4+2后)-1.解先证A可逆.由(2.4)式得A(A-E)=2E,也就是A信(A-E)卜E.由定理2之推论知A是可逆的，且Ai=*(A-E);再证A+2E可逆.用例2.1的解法，由(A+2E)(A-3E)

37、=A?-A-6E=2E-6E=-4E,(A+2E)j(3E-A)=同理，知A+2E可逆，且(A+2E)t=!(3E-A).23 .设矩阵A可逆,证明其伴随阵A'也可逆，且(A)7=(At)».证因A/T=|AlE及由定理2的推论知A可逆，且(A尸=一九另一方面，因=|A'llE.用A左乘此式两边得(A*1)'=|A'l|A=比较上面两个式子，即知结论成立.24 .设n阶矩阵A的伴随阵为A*,证明:(1)若"I=0.明"。=0:(2)I=|=|A|.证因AeA=lA|E,(2.5)当IA1=0时，上式成为A*A=O.要证Ia1=0,用

38、反证法:设l/TIWO,由矩阵可逆的充要条件知，A是可逆矩阵，用(A)“左乘上式等号两边，得A=O.于是推得A的所有阶子式，亦即A的所有元素均为零.这导致A*=O.此与A为可逆矩阵矛盾.这一矛盾说明，当|Al=0时，|T1=0.(2)分两种情形：情形1:|加=0.由(1),|=0=|4|"，结论成立；情形2：|A|工0.在(2.5)式的两边取行列式，得|A'|A|=|A-A|=|A|Ej=lA|M.于是|A'I=|A|-'.注本题(2)的结果值得记取.25.计算0 02 11 00 20 0312 -1-230 -3解与教材例15相同，本题练习分块矩阵乘法.记

39、原式A H B12)(1 .一:一:)26 ,设 A =原式:34 0 04-30000 2 000 2 21252012-400-43000-9，求|川|及火.解若记4=(。J其中2C二)4叱方，则4成为一个分块对角矩阵,于是lAi|=|A|8=(|Al|A2|)8=|A1|i|A1|,=10,*O25 Q0 25 =25E，故 A：54£；A2=2（；）,故 A；=2'看习题6）,代人即得27.540000540000242600 0 24.设n阶矩阵A与$阶矩阵5都可逆，求(：:CB（1）因A和8均可逆，作分块阵OBlc，由分块矩阵乘法规则,AOI于是c款工F弋.力可逆

40、，且（：'=（:、）E.Q9的逆阵，就是求+s阶方阵X,使第=E.(2.6)为此，根据原矩阵的分块情况，对X作一样的分块,/XuXnx2lX»其中Xm'Xu,Xz-Xn是未知矩阵（为明确起见，它们依次是nX，X$,sX*sXs矩阵）,把上式代入（2.6）式得到（o（"）（：）（比较上式两端两个矩阵，有A*“CXn+BX2iCXl2+BXnAXUaxI2CXI2cxlt于是得=瓦=XH=A-=O=>X|2=o；+BX22=EtBX21=Et=>x22=+BX2i=O=>BX21=-CX、i=一CA-l=>X2l=一A-1O-BlCAlB

41、，28.求下列矩阵的逆阵:5200210000850032(1)将分块为A=21AO0212000310004,，因IAJ=1,1A/=1,故它们均可逆.于是由分块对角矩阵的性质，有A；1 OO1- 200- 2500002-500- 38；）.因1例=a74 0-1 324-12- 1231=2412-3012- 4-5008-20006,圮A弋*=（；2（；2,|C|=12,故C均是可逆阵.由27题的结论，得习题解答1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:102.-1(1)203I;3043,02-3(2)03-404-7(3)-13-4-35-4-23-2一34一23120一28-3

42、73;-1一3-7-2-430431_003上广3勺0°2-1-202-3(2)03-404-7-311(01-12-31-1-3,-1 2-1 -3-1 31 0 50 13；0 0 00100lo01-13-43-35-4(3)2-23-23一34-2-1010002-3-220000-2-334，凶一叩o0个3。20-2-4-1111-88912-7781L可。10°+7。1002-1000-111-2)fl0-1。+014r4O0020-2-1030140001 22.设 A= 2 35 40102341-1 -2-3-2-6 12 18 5，3+6丁 1°

43、;3445，求一个可逆阵P,使PA为行班简形.32人123(A,E)=234,5432-107-61-320110-1-2故p=2-10，并且A的行最简形为PA=01237一6lj00003.设A=(一;_；求一个可逆阵P,使PA为行最简形;(2)求一个可逆阵。，使QA'为行般简形./ -53解(1) (AfE)=, 2 -11 00 4 1 30 1/12 -110 1/(2) (AE) =n-3r|于是Q =3-40，且PA10,02-110-1;)01 0为A的行最简形;5 0，并且 QAT =-71 03 -1001.110013-425-701为4T的行最简形.0.4.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆阵:153.(2)3010-22-2102-321-21解记所给的矩阵为A.(A,E)=2-10ri-2t9-422-100r3-r(-2)r1-9r3A+4372-1922120A,E,由定理1之推论，知A可逆，且2_-22-2102-32，4-2+2,?1030-22-20001000-3202-329-2121000-211-215-101I000100010000001000100000010000100013221TJ000100000