20182019数学北师大版选修11变化率与导数 单元测试

1、 (时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知函数f(x)，则f(x)等于()AB0C. D.解析：选B.因为f(x)，所以f(x)()0.2已知某质点的运动规律为st23(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t3 s到t(3t)s这段时间内的平均速度为()A(6t)m/s B(6t)m/sC(3t)m/s D(t)m/s解析：选A.平均速度为(6t)m/s.3设f(x)为可导函数，且满足 1，则过曲线yf(x)上点(1，f(1)处的切线斜率为()A2 B1C1 D2解析：选D.kf(1)

2、2 2.4已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是()Af(x)(x1)33(x1)Bf(x)2(x1)Cf(x)2(x1)2Df(x)x1解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f(x)，再求f(1)5已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2C1 D.解析：选B.设切点坐标为(x0，y0)，且x00，因为yx，所以kx0，所以x02.6已知y2x3cos x，则y等于()A6x2xsin xB6x2xsin xC6x2xsin xD6x2xsin x解析：选D.y(2x3)(x)(cos x)6x2xsin x.7给出定义：若函数f(x)

3、在D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f(x)(f(x).若f(x)0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是()Af(x)sin xcos xBf(x)ln x2xCf(x)x32x1Df(x)xex解析：选D.对A，f(x)cos xsin x，f(x)sin xcos x0，故f(x)在上是凸函数；对B，f(x)2，f(x)0，故f(x)在上是凸函数；对C，f(x)3x22，f(x)6x0，故f(x)在上是凸函数；对D，f(x)exxex，f(x)exexxexex(2x)0，故f(x)在上不

4、是凸函数，选D.8已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是()A(4，) B(，4)C(10，) D(，10)解析：选D.在曲线C：y2x2上取一点D(x0，2x)(x00)，因为y2x2，所以y4x，所以y2x2在D点处切线的斜率为4x0，令4x0，解得x01，此时D(1，2)，所以kAD4，所以直线AD的方程为y4x2，要实现不被曲线C挡住，则实数a4×3210，即实数a的取值范围是(，10)9设a0，f(x)ax2bxc，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线yf(x)

5、对称轴距离的取值范围为()A. B.C. D.解析：选B.因为过P(x0，f(x0)的切线的倾斜角的取值范围是，且a0，P在对称轴的右侧，所以P到曲线yf(x)对称轴x的距离dx0x0.又因为f(x0)2ax0b0，1，所以x0.所以dx0.10定义方程f(x)f(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)2x，h(x)ln x，(x)x3(x0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为()Aabc BcbaCacb Dbac解析：选B.g(x)2，h(x)，(x)3x2(x0)解方程g(x)g(x)，即2x2，得x1，即a1；解方程h(x)h(x)，即ln x

6、，在同一坐标系中画出函数yln x，y的图像(图略)，可得1xe，即1be；解方程(x)(x)，即x33x2(x0)，得x3，即c3.所以cba.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在题中的横线上)11已知a为实数，f(x)(x24)(xa)，且f(1)0，则a_解析：f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4，f(1)32a40，所以a.答案：12设f(x)exx，若f(x0)2，则在点(x0，y0)处的切线方程为_解析：f(x)ex1，f(x0)2，所以ex012，所以x00，y0e001，所以切线方程为y12(x0)，即2xy10.答案：2xy1013已知函数

7、f(x)sin xxcos x，若存在x(0，)，使得f(x)x成立，则实数的取值范围是_解析：f(x)(sin xxcos x)(sin x)(xcos x)cos x(cos xxsin x)xsin xx，因为x(0，)，所以sin x，因为sin x(0，1，所以1.答案：(，1)14抛物线yx2上到直线x2y40距离最短的点的坐标为_解析：y2x，设P(x0，x)处的切线平行直线x2y40，则点P到直线x2y40的距离最短，由抛物线yx2在点P(x0，x)处的切线斜率为2x0，则2x0，解得x0，y0，故所求点的坐标为(，)答案：(，)15对正整数n，设曲线yxn(1x)在x2处的切

8、线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为_解析：由yxn(1x)得ynxn1(1x)xn(1)，所以f(2)n·2n12n.又因为切点为(2，2n)所以切线方程为：y2n(n·2n12n)(x2)令x0，得an(n1)·2n.则数列的通项公式为an2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n12.答案：2n12三、解答题(本大题共5小题，共55分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R以4 m/s的波速增加，求在3 s末被扰动的水面面积的增长率解：设被扰动水面面积为S，

9、时间为t(t0)，所以SR2(4t)216t2，所以S(16t2)32t，所以当t3时，水面面积的增长率为96.17(本小题满分10分)求下列函数的导数(1)f(x)ln(8x)；(2)yx3sin cos ；(3)y.解：(1)f(x)3ln 2ln x，f(x)(3ln 2)(ln x).(2)yx3sin cos x3sin x，y(x3sin x)(3x2sin xx3cos x)x2sin xx3cos x.(3)yx3xx2sin x，所以y(x3)(x)(x2sin x)3x2x2x3sin xx2cos x.18(本小题满分10分)已知曲线C：y3x42x39x24.(1)求曲

10、线C在点(1，4)处的切线方程；(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由解：(1)y12x36x218x，所以当x1时，y12，所以在点(1，4)处的切线的斜率为12.所以所求的切线方程为y412(x1)，即y12x8.(2)由得3x42x39x212x40，即(x2)(3x2)(x1)20，所以x12，x2，x31.所以除切点外，曲线和切线还有交点(2，32)和.19(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2(a2)xln x.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a1时，求证：当x1，e时，f(x)0，其中e

11、为自然对数的底数解：(1)当a1时，f(x)x23xln x，f(x)2x3，因为f(1)0，f(1)2.所以切线方程是y2.(2)证明：函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域是(0，)，f(x)2ax(a2)，即f(x)，当a1时，在x1，e上，2x10，ax10，可得f(x)0.20(本小题满分13分)设函数f(x)x3x2bxc，其中a0.曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)确定b，c的值；(2)设曲线yf(x)在点(x1，f(x1)及(x2，f(x2)处的切线都过点(0，2)，证明：当x1x2时，f(x1)f(x2)解：(1)由f(x)x3x2bxc，得f(0)c，f(x)x2axb，f(0)b.又由曲线yf(x)在点P(0，f(0)处的切线方程为y1，得f(0)1，f(0)0.故b0，c1.(2)证明：f(x)x3x21，f(x)x2ax，由于点(t，f(t)处的切线方程为yf(t)f(t)(xt)，而点(0，2)在切线上，所以2f(t)f(t)(t)，化简得t3t210，