第三节幂级数

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第三节幂级数一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数 .对, I0 x若常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有0 x称为其收收 0 x称为其发散点发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域发散域 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏

2、本堂, )(xS为级数的和函数和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxrnn则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例如例如, 等比级数它的收敛域是, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110它的发散域是或写作.1x又如又如, 级数, )0(02xnxxnnn,)(limxunn级数发散 ;所以级数的收敛域仅为. 1x,)1,1(时当x有和函数 ,1时收敛当x,1

3、0时但当 x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数系数 .即是此种情形.的情形, 即nnxxa)(0称 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂ox发 散发 散收 敛收敛 发散定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0

4、xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式证证: 设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛, 则必有),2, 1(0nMxann于是存在常数 M 0, 使山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂当 时, 0 xx 00nnxxM收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛 .也收敛,反之, 若当0 xx 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.假设有一点1x01xx0 x满足不等式0 xx 所以若当0 xx 满足且使级数收敛 ,面的证明可知, 级数在点故假设不真. 的 x , 原幂级数也发散 . 时幂级数发散 , 则对一切则由前也应收敛, 与所设矛盾,nnn

5、nnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0证毕山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散;在(R , R ) 称为收敛区间收敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂xaaxaxannn

6、nnnnn111limlim定理定理2. 若0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若 0,则根据比值审敛法可知:当,1x原级数收敛;当,1x原级数发散.x即1x时,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,即时,则 1x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2) 若, 0则根据比值审敛法可知,;R绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,.0R对任意 x 原级数因此因此 0nnnxa的收敛半径为说明说明:据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径.1R山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂对端点 x =1, 1limn

7、nnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为例例1.求幂级数 limn 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定: 0 ! = 1! ) 1(1n山东农业大学 高等数学

8、 主讲人： 苏本堂例例3.nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2

9、lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂说明

10、说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为,R但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定理定理4 若幂级数nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数(证明见第六节)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分, 运算前后收敛半

11、径相同: 注注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有0)(xSexxeCxS)(,)(1)0(xexSS 得由故得.!0 xnnenx的和函数 .因此得设山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例6. 1nnxn求幂级数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x1 时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnx

12、x散,山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例7. 求级数01nnnx的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS) 10( x1x及收敛 , 有时则当,0 x0111nnnxx001xnnt dtx001xnnt dtx001()xnntdtx0111xdtxtln(1) xx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得:)(xS而)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x及山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例

13、例8.2) 1(122的和求数项级数nnn解解: 设,1)(22nnnxxS则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(2山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂1nnnx 101dnxnxx而xxxnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS故222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS)2(212xxx21S2ln4385)0( x山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂练习题 1. 求下列级数的收敛域nnnxn1212解 收敛半径2112211limlim22(1)1nnnnnnanRan收敛区间为1 1(, )2 2当12x 时,级数变为211( 1)1nnn收敛当12x 时,级数变为2111nn收敛所以该级数的收敛域为1 1, 2 2山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂2. 求下列级数的和函数11212nnnx解 显然幂级数的收敛域为(-1,1) ,即和函数S(x