弹塑性力学第四章

1、本章讨论弹性力学的第三个基本规律。本章讨论弹性力学的第三个基本规律。应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、应力、应变之关系，这是变形体力学研究问题基础之一。在前面第二、三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。三章分别讨论了变形体的平衡规律和几何规律（包括协调条件）。 ji,j+ fi = 0 ij =( ui,j+ uj,i)/2 共共9个方程，但需确定的未知函数共个方程，但需确定的未知函数共15个：个： ui， ij= ji， ij= ji， ij = ji = fij ( kl ) 还需要根据材料的物理性质来建立应力与还需要根据材料的物理性质来建立

2、应力与应变间的关系：应变间的关系： 1.1 应变能应变能U 和应变能密度和应变能密度 W（比能）（比能） 如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体无动能，物体发生变形，如果弹性体的外力的施加是缓慢进行的，物体无动能，物体发生变形，产生变形能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变产生变形能，也无热能耗散，则根据能量守恒，外力实功转化成应变能贮存在弹性体中。能贮存在弹性体中。 外力做实功外力做实功 A： A=U 物体的应变能物体的应变能U VWdVUW：应变能密度应变能密度单位体积的应变能。单位体积的应变能。 1.2 1.2 应变能密度应变能密度W与材料的本构关系与材料的本构关系 当外

3、载当外载 ， 缓慢施加过程缓慢施加过程中，考察外力施加过程中，瞬时外力功中，考察外力施加过程中，瞬时外力功增量变化。增量变化。 iieffiieFFx2x1x3oFf在某一时刻在某一时刻t： iieffiieFF产生产生 iieuujiijeejiijee应变能密度应变能密度W 的表达式？的表达式？时刻达到时刻达到 t + t：位移有增量位移有增量 iieuu应变增量应变增量 jiijee外力功增量外力功增量 ： SVdSuFdVufA ：函数增量：函数增量 VisiiiVWdVUdSuFdVuf应变能增量应变能增量 A A 中有体积分和面积分，利用柯西公式和散度定理将面中有体积分和面积分，利

4、用柯西公式和散度定理将面积分换成体积分。积分换成体积分。 SVdSuFdVufAiiiiVsVAfu dVF u dSUWdV()iiijijSSF u dSu n dS (),jiijVudV 代入外力功增量代入外力功增量 ,()iji jijii jVVAfu dVu dV ijijVVdVWdVU ijijWW为为 ij的函数。的函数。 因为因为W只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过程只取决于弹性体的初始应变状态和最终应变状态，与变形过程（加载路线）无关，所以（加载路线）无关，所以 W 为它的全微分为它的全微分 ijijWW比较上面二式，得：比较上面二式，得： )(kli

5、jijijfW本构关系（方程）本构关系（方程） 适用于各种弹性情况（线性、非线性）适用于各种弹性情况（线性、非线性） ijijWWijijW 由由 ijijW积分得积分得 ijijijWW0应变能密度定义式。应变能密度定义式。 应变能密度定义式应变能密度定义式ijijijWW0一些书上写为一些书上写为ijijddWWij0 ij ij ijd ijdWW ij 2.1 各向异性材料各向异性材料 在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀在线弹性体应力与应变为线性关系，材料均匀和小变形情况和小变形情况,以及当以及当 ij=0 时时 ij=0。用指标符号表示：用指标符号表示： ij = Eijkl

6、kl Eijkl 共有共有81个元素（四阶张量常数）。个元素（四阶张量常数）。 由于由于 ij = ji ， kl = lk =c T123123332211 T123123332211Eijkl 减少为减少为6 6=36个独立系数，用矩阵表示本构关系个独立系数，用矩阵表示本构关系 2.1 各向异性材料各向异性材料 =c 666261262221161211CCCCCCCCCC 2.1 各向异性材料各向异性材料 根据根据 ijijW， 得得 ijklklijklijW2则则 C 为对称矩阵为对称矩阵 C= CT。 2.1 各向异性材料各向异性材料2.1 各向异性材料各向异性材料 *对各向异性材

7、料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变对各向异性材料的本构关系可见，剪应变引起正应力，正应变也产生剪应力。也产生剪应力。 弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可进一步简化弹性材料性质一般都具有某些对称性，利用对称可进一步简化 C 中系数。中系数。 Eijkl 的独立系数为的独立系数为21个个材料为各向异性线弹性材料。材料为各向异性线弹性材料。 2.2 具有一个弹性对称面的材料具有一个弹性对称面的材料 x2x1x3弹性主轴弹性主轴若物体内各点都有这样一若物体内各点都有这样一个平面，对此平面对称方个平面，对此平面对称方向其弹性性质相同，则称向其弹性性质相同，则称此平面为弹性对称面，垂此平

8、面为弹性对称面，垂直弹性对称面的方向称为直弹性对称面的方向称为弹性主轴。弹性主轴。 如取弹性对称面为如取弹性对称面为x1 x2面，面， x3为弹性为弹性主轴或主轴或材料主轴，并取另一坐标系材料主轴，并取另一坐标系xi ，且，且x1 = x1，x2=x2，x3=-x3。在两个坐标下，弹。在两个坐标下，弹性关系保持不变，则性关系保持不变，则 C C 中元素减少为中元素减少为1313个独立系数。个独立系数。 x2x1x3弹性主轴弹性主轴x3Qij x1 x2x3 x1 = x1 1 0 0 x2=x2 0 1 0 x3=-x3 0 0 -1 代入代入 klljkijiQQklljkijiQQ得得 1

9、1xx22xx33xx2121xxxx1313xxxx2323xxxx应变张量具有相同关系应变张量具有相同关系 。代入两组坐标系下的弹性方程代入两组坐标系下的弹性方程 =c , 比较得比较得 6655454436332623221613121100000000CCCCCCCCCCCCCC称对2.3 具有三个正交弹性对称面的材料具有三个正交弹性对称面的材料正交各向异性材料正交各向异性材料 木材、增强纤维复合材料属此种材料。取木材、增强纤维复合材料属此种材料。取x1，x2 ， x3为弹性主轴。为弹性主轴。 C中独立系数减少为中独立系数减少为9个：个： 2.3 具有三个正交弹性对称面的材料具有三个正

10、交弹性对称面的材料正交各正交各 向异性材料向异性材料 665544332322131211000000000000CCCCCCCCCC称对特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪应力。特点：正应变仅引起正应力，剪应变仅产生剪应力。 2.4 2.4 横观各向同性材料横观各向同性材料弹性体对一个轴对称弹性体对一个轴对称 若通过物体每一点可作这样的轴（如若通过物体每一点可作这样的轴（如x3轴），在此轴成垂直的平面内，所有射线轴），在此轴成垂直的平面内，所有射线方向的弹性性质都是相同的，称这个平面方向的弹性性质都是相同的，称这个平面为各向同性面，如地层属于此类。为各向同性面，如地层属于此类。 C C

11、中中独立系数为独立系数为5 5个：个： x1x2x3x1x2各向同性面各向同性面 2.4 2.4 横观各向同性材料横观各向同性材料弹性体对一个轴对称弹性体对一个轴对称 )(00000000000012114444331311131211CCCCCCCCCCC称对2.5 2.5 各向同性材料各向同性材料 各个方向弹性性质一样，各个方向弹性性质一样，C中仅有中仅有2个独立个独立系数：系数： 111212111211111211121112000000000()00()0()CCCCCCCCCCCCC对称2.5 2.5 各向同性材料各向同性材料 200020002000200202GGGGGG对称1

12、2111211,2 ,2CCCGCG令则3.1 本构关系用本构关系用 、G表示表示 采用指标符号表示：采用指标符号表示： ijijkkijijijGG22 其中其中 ekk 应变第一不变量（体积应变）应变第一不变量（体积应变） 3.1 本构关系用本构关系用 、G表示表示 或或 kkijijkkijijijGGGG2321221kk应力第一不变量应力第一不变量； 3.1 本构关系用本构关系用 、G表示表示 两个第一不变量关系两个第一不变量关系 Gkkkk23 Ge2313.2 3.2 本构关系用弹性模量本构关系用弹性模量E和泊松系数和泊松系数 表示表示 令令 )21)(1 (E)1 (2EG或或 )()23(GGGE)(2G3.2 3.2 本构关系用弹性模量本构关系用弹性模量E和泊松系数和泊松系数 表示表示 则本构关系变为材料力学中最初见到的广义虎克定理的形式：则本构关系变为材料力学中最初见到的广义虎克定理的形式： )(1zyxxE)(1xzyyE)(1yxzzEyzyzE)1 (2zxzxE)1 (2xyxyE)1 (2 采用指标符号采用指标符号表示：表示： kkijijijE)1 (1kkijijijE211kkkkE21e21E3Kee )21 ( 33E323)21