相似理论与模型试验

1、相似理论与模型设计第一章 绪论v第一节 基本概念v 1、相似v 指自然界中两个及以上现象在外在表象及内在规律性方面的一致性。工程界常指“模型”与“工程原型”之间的一致性。雅罗斯瓦夫卡钦斯基（总理）和莱赫卡钦斯基(左，总统) v2、相似理论v 说明自然界和工程中各相似现象相似原理的学说。v 相似理论主要应用于指导模型试验，确定“模型”与“原型”的相似程度、等级等。随着计算机技术的进步，相似理论不但成为物理模型试验的理论而继续存在，而且进一步扩大应用范围和领域，成为计算机“仿真”等领域指导性理论。v3、相似方法v 一种可以把个别现象的研究结果，推广到所有相似现象中去的科学方法。它是相似理论为指导，

2、一种具体研究自然界和工程中各种相似现象的新方法。v4、模型、模型v 模型是指用于表示或自然现象的物理实体或数学概念。工程界常指的模型是与物理系统密切有关的物理装置，即所谓的物理模型。通过对它的观察或试验，可在需要的方面精确地预测系统的性能。v 所谓密切有关即为与原型的形态、工作规律或信息传递规律相似，被预测的系统为原型。v5、模拟与仿真v 广义的“模拟”是指对自然现象的一种人为的相似比拟技术；狭义的“模拟”是指不同物理体系间的相似比拟技术，也称为异类模拟。“仿真”常指不同物理体系间的相似比拟技术，现今常指采用数学手段，利用计算机数值分析方法对工程现象进行研究的一项技术，故也称为“数值模拟”。第

3、二节 模型试验的发展v1、张衡制造浑天仪时，就先用竹篾做成小模型研究，然后再制成青铜浑天仪。v2、故宫建筑时，建筑师现制造建筑物小样，然后放样建筑实物。v结构模型试验推动工程结构理论和工程技术发展的例子很多。v 3、1829年法国科学家柯西用模型作梁和板的振动实验。v4、1846年英国罗伯特等为作不列颠设计进行了缩尺1：6的桥梁结构模型试验，之后他又对一座管形结构铁路桥做模型试验。v5、1833年雷诺对管中流体进行了试验研究，不同著名的飞机制造先行者莱特兄弟建造了风洞，进行机翼模型风洞实验。v6、模型的推广发展阶段主要指第二次世界大战结束后到20世纪末，也即发达国家进行战后重建阶段。在这一阶段

4、，相似理论与模型结构实验广泛应用于高层建筑、大宽度桥梁、长大隧道和高大坝体、以及原子反应堆压力容器、海洋平台等。“无畏”号航空母舰v7、从20世纪70年代起，随着电子、计算机和激光等先进技术发展，结构模型进入深入发展阶段，转向解决一些重大的复杂结构的研究课题，如：核潜艇、直升机、超音速飞机、火箭、宇航器及地震、风灾、火灾对工程结构的破坏作用等方面的研究，出现和发展了各种结构的动力模型试验。G. I. Taylors 1947 AnalysisPublished U.S. Atomic Bomb was 18 kiloton device第三节 学习本课程的用处v1、过程参数的作用分析；v 机械

5、、流体、水利等领域。v2、推导经验公式；v3、研究结果推广。Air TunnelFlumeU of IowaU of IowaProcess study in a flume: gravel bed mobilizationU of IowaApplied study of a spillway: downstream erosion.Hele-Shaw ModelTechnionProcess and applied studies in a Hele-Shaw model:Sea water intrusion in a coastalEducational sand tankProces

6、s sand tanksVEGAS: U. of Stuttgart第二章 相似概念第一节 各种物理量的相似 为为使使模型流动能表现出实型流动的主要现象和模型流动能表现出实型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就特性，并从模型流动上预测出实型流动的结果，就必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的必须使两者在流动上相似，即两个互为相似流动的对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。对应部位上对应物理量都有一定的比例关系。 具体来说，两相似流动应几何相似具体来说，两相似流动应几何相似（Geometrical Similarity） 、运动相似、运动相似（ Kinematic

7、 Similarity ）、 动力相似动力相似（Dynamic Similarity） 。两流动相似应满足两流动相似应满足的条件的条件一一 几何相似（空间相似）几何相似（空间相似） 定义：定义： 两流动的两流动的对应边长对应边长成同一比例，对成同一比例，对应角相等。应角相等。 引入尺度比例系数引入尺度比例系数 进而，面积比例系数进而，面积比例系数 体积比例系数体积比例系数Cllkpml2lpmAkAAk3lpmVkVVk模型流动用下标模型流动用下标m表示表示原型流动用下标原型流动用下标p表示表示几何相似几何相似模型与原型物理量相似模型与原型物理量相似LpHpHmLmHmLmHpLp二二 运动相

8、似（时间相似）运动相似（时间相似） 定义：两流动的对应点上的流体定义：两流动的对应点上的流体速度矢速度矢成同一比例。成同一比例。 引入速度比例系数引入速度比例系数由于由于 因此因此 运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似建立在几何相似基础上，那么运动相似只需确定时间比例系数运动相似只需确定时间比例系数 就可以就可以了。运动相似也就被称之为时间相似。了。运动相似也就被称之为时间相似。Cvvkpmvmmmtlv/ppptlv/tlppmmvkktltlktkpmtttk 运动学物理量的比例系数都可以表示为尺运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。度比例系数和

9、时间比例系数的不同组合形式。如：如：k kv v=k=kl lk kt t-1 -1 k ka a=k=kl lk kt t-2-2 k k =k=kt t-1 -1 k k =k=kl l2 2k kt t-1-1 kqkq=k=kl l3 3k kt t-1-1 的单位是m2/sq的单位是m3/tKinematic SimilarityVelocity vectors at corresponding locations on the model and prototype are similarvpupvmummmppvuvu三三 动力相似（受力相似）动力相似（受力相似） 定义：两流动的

10、对应部位上定义：两流动的对应部位上同名力矢同名力矢成成同一比例。引入力比例系数同一比例。引入力比例系数 也可写成也可写成 力学物理量的比例系数可以表示为密度、力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、速度比例系数的不同组合形式，尺度、速度比例系数的不同组合形式，如：如：力矩力矩M M 压强压强p p功率功率N N 动力粘度动力粘度 CFFkpmF2223)(vltllamFkkkkkkkkkk 23vlpmMkkkFlFlk 321vltMNkkkkkk 2vAFpmpkkkkppk vlkkkk Dynamic SimilarityForces at corresponding locati

11、ons on model and prototype are similarFnpFtpFnmFtmmmppFnFtFnFt 综上所述，要使模型流动和原型流动相综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者似，需要两者在时空相似的条件下受力相在时空相似的条件下受力相似似。 动力相似（受力相似）用相似准则（相动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的条件下各相似准则都相等。在时空相似的条件下各相似准则都相等。第二节第二节 相似准则相似准则 描述流体运

12、动和受力关系的是流体运动微分描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足方程，两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面是模型流动和原型流动不可压缩该方程，下面是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程在流动的运动微分方程在x x方向上的分量形式方向上的分量形式: : (1) (1) (2) (2)xmmmmxmmxmzmmxmymmxmxmmxmvxpfzvvyvvxvvtv1xppppxppxpzppxpyppxpxppxpvxpfzvvyvvxvvtv1 所有的同类物理量均具有各自的同一比所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有如下关系式：例

13、系数，有如下关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf 1 1 StrouhalStrouhal 相似准数相似准数 SrSr= =l/vtl/vt 表示时变惯性力和位变惯性力之比，反表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动随时间变化的情况映了流体运动随时间变化的情况2 2 Froude Froude 相似准数相似准数 Fr=vFr=v2 2/gl/gl 表示惯性力和重力之比，反映了流体流表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起的影响程度动中重

14、力所起的影响程度3 3 Euler Euler 相似准数相似准数 EuEu=p/=p/ v v2 2 表示压力和惯性力的比值表示压力和惯性力的比值4 4 RenoldsRenolds 相似准数相似准数 Re=Re=vlvl/ / = = vlvl/ / 表示惯性力和粘性力之比表示惯性力和粘性力之比5 5 Mach Mach 相似准数相似准数 Ma=Ma=v/cv/c 表示弹性力和惯性力之比，表示弹性力和惯性力之比，c c为声速，反映为声速，反映了流动的压缩程度了流动的压缩程度v相似准数（准则）：v 如上述介绍的无量纲综合数群，它反映出现象相似的数量特征，叫做相似准数（准则）。 综上所述，动力相

15、似可以用相似准综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原型和模型流动动力相似，数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如果满足则称各同名相似准数均相等，如果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是为完全的动力相似。但是事实上，不是所有的相似准数之间都是相容的，满足所有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就能满足乙。了甲，不一定就能满足乙。 如果所有的相似准数都相等，意味着各如果所有的相似准数都相等，意味着各比例系数均等于比例系数均等于1 1，这实际上意味着模型流动，这实际上意味着模型流动和原型流动各对应参数均相等，模型流动和和原型流动各对应参数均相等，模型流动和原型流动

16、就成为了相等流动。因此，要使两原型流动就成为了相等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是们寻求的是主要动力相似主要动力相似。 要达到主要动力相似就应该根据所研究或要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重所需解决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用的流动，选用力起支配作用的流动，选用FroudeFroude准数为主要准数为主要相似准数（决定性相似准相似准数（决定性相似准数数），满足），满足FrFrm m= =FrFrp p ，此外此外 管道流动，流体机械中的流动管道流动，流体机械中的流动

17、 ：ReRem m=Re=Rep p，ReRe数为决定性相似准数数为决定性相似准数 非定常流动：非定常流动：SrSrm m= =SrSrp p，SrSr数为决定性相似准数数为决定性相似准数 可压缩流动可压缩流动：MaMam m=Ma=Map p，MaMa数为决定性相似准数数为决定性相似准数 总之，总之，根据流动的性质来选取决定性相似根据流动的性质来选取决定性相似准数。准数。 决定性相似准数的定义决定性相似准数的定义： 对该性质的流动以该决定性相似准对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否满足了主要动力相似。数来判断是否满足了主要动力相似。 只要满足了决定性相似准数相等后，只要满足了决定性相似

18、准数相等后，就满足了主要动力相似，抓住了解决问就满足了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。题的实质。（注意：对于（注意：对于EuEu准数而言，在其他相似准准数而言，在其他相似准数作为决定性相似准数满足相等时，数作为决定性相似准数满足相等时， EuEu准数同时可以满足）准数同时可以满足）第三节第三节 模型设计与数据换算模型设计与数据换算1 1 模型流动设计模型流动设计 设计模型流动，要使之成为原型流设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，原则上要满足几何相似、动的相似流动，原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。具体设计时，运动相似和主要动力相似。具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决

19、定性相似首先要考虑该流动性质选择决定性相似准数，此外还要考虑实验规模和实验室准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实验时所采用的流体是否与的条件以及实验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是否同一温度原型流动中的流体相同且是否同一温度等因素。等因素。2 2 数据换算数据换算 从模型流动实验中测定的各个数据不能从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到原型流动中去，需要用到数据换算。直接用到原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已确定的一些比例系数以及物由模型流动中已确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其他一些比例系数，理量之间的关系来确定其他一些比例系数，这样，原型流

20、动中所要获得的数据就等于模这样，原型流动中所要获得的数据就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。型流动中的相应数据除以对应的比例系数。 例例1 1 有有一一轿车，轿车，高高h=1.5mh=1.5m，在公路上行在公路上行驶，设计时速驶，设计时速v=108km/hv=108km/h，拟通过风洞中拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的驶时的空气阻力空气阻力。已知该风洞系低速全尺。已知该风洞系低速全尺寸风洞寸风洞( (k kl l=2/3)=2/3)，并假定风洞试验段内气并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相同，流温度与轿车在公

21、路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？速度应安排多大？ 解：解： 首先根据流动性质确定决定性相似准数首先根据流动性质确定决定性相似准数，这里选取这里选取ReRe作为决定性相似准数，作为决定性相似准数，Rem=Rep，即即kvkl/k=1，（，（在此先不必理解这个关系在此先不必理解这个关系） 再根据决定型相似准数相等，确定几个比例再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互约束关系系数的相互约束关系，这里，这里k=1，所以，所以 kv=kl-1，由于，由于kl=lm/lp=2/3，那么，那么kv=vm/vp=1/kl=3

22、/2 最后得到风洞实验段内的气流速度应该是最后得到风洞实验段内的气流速度应该是 vm=vpkv=1083/2=162km/h=45m/s 例例2 2 在在例例1 1中，通过风洞模型实验，获得模型中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为轿车在风洞实验段中的风速为45m/s45m/s时，空气时，空气阻力为阻力为1000N1000N，问：此轿车以问：此轿车以108km/h108km/h的速度在的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？ 解：在设计模型时，定下解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流

23、体密度在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数比例系数k=1，那么力比例系数，那么力比例系数因此，kF= k kl2 kv2=1(2/3)2(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以因此，该轿车在公路上以108km/h108km/h的速度行的速度行驶所遇到的空气阻力驶所遇到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N2223)(vltllamFkkkkkkkkkk 第三章 量纲分析v3.1 量纲分析与轮廓模型v 量纲和谐原理指出，要正确反映一个物理现象所代表之客观规律，其所遵循的物理方程式各项的量纲必须一致。这是量纲分析法的基础，因此也可以用这一原理来校核物理方程和经验公式的正确性

24、和完整性。v 当某个流动现象未知或复杂得难以用理论分析写出其物理方程时，量纲分析就是一种强有力的科学方法。这时只需仔细分析这些现象所包含的主要物理量，并通过量纲分析和换算，将含有较多物理量的方程转化为数目较少的无量纲数组方程，就能为解决问题理出头绪，找出解决问题的方向，这就是量纲分析的价值。 v“量纲”，或“因次”，是用以度量物理量单位种类的。在国际单位制（即 SI 单位制）中，规定有 7 个基本单位（或量纲），对于流体力学问题一般涉及其中的 4 个，即长度单位为米（ m ），质量单位为公斤（ kg ），时间单位为秒（ s ），温度单位为开尔文（ K ），对应的量纲即基本量纲，依次是 、 、

25、和 。任何一个物理量都可以用上述基本量纲的某种组合，即导出量纲来表示；它们都可写作基本量纲指数幂乘积的形式， 一一. . 量与量纲量与量纲v1. 量及其度量量及其度量v 10. 模型所涉及的主要是模型所涉及的主要是量量不是不是数数v 20. 量（物理量）可以分为：量（物理量）可以分为：v 基本量：基础的，独立的量基本量：基础的，独立的量v 长度、质量、时间、长度、质量、时间、v 导出量：由基本量通过自然规律导出的量导出量：由基本量通过自然规律导出的量v 速度、加速度、力、速度、加速度、力、v 30. 量的度量体系量的度量体系 单位制：单位制：v 基本量及其度量单位基本量及其度量单位 40. 国

26、际单位（国际单位（SI）制制v 基基 本本 量量 v 名称名称 单位单位 符号符号 v 长度长度 L 米米 mv 质量质量 M 千克千克 kgv 时间时间 T 秒秒 sv电流强度电流强度 I 安培安培 Av 温度温度 开尔文开尔文 Kv 光强光强 J 坎德拉坎德拉 cdv物质的量物质的量 N 摩尔摩尔 molv 导导 出出 量量 v名称名称 单单 位位 符符 号号v 力力 牛牛 顿顿 N（kgms-2）v能量能量 焦焦 耳耳 J（kgm2s-2）v功率功率 瓦瓦 特特 W（kgm2s-3）v频率频率 赫赫 兹兹 Hz（s-1）v压强压强 帕斯卡帕斯卡 Pa（kgm-1s-2） v2. 量纲：量

27、纲：v 10. 量纲：一个物理量量纲：一个物理量Q一般都可以表示为基一般都可以表示为基本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式本量乘幂之积。称这个乘幂之积的表达式v Q=L M T I J N v为该物理量对选定的这组基本量的为该物理量对选定的这组基本量的量纲积量纲积或或量量纲表达式纲表达式。, , , , , , 称为量纲指数。称为量纲指数。v 例例. 长度长度=L、质量质量=M、时间时间=T、v 体积体积=L3、加速度加速度=LT-2、力力=MLT-2。 20. 量纲齐次法则量纲齐次法则 一个规律的数学表达式中每一个加一个规律的数学表达式中每一个加项的量纲必须是一致的，或者都是无量项的量纲必须

28、是一致的，或者都是无量纲量。也就是说，由于物理量是有量纲纲量。也就是说，由于物理量是有量纲的，因此用数学公式来描述任何一个客的，因此用数学公式来描述任何一个客观规律时，等式两边的量纲必须一致，观规律时，等式两边的量纲必须一致，这个要求称为量纲一致原则。这个要求称为量纲一致原则。 v 质量m的小球系在长度为l 的线的一端，偏离平衡位置后小球在重力mg的作用下做往复摆动，求小球的摆动周期t。 /tl g v分析分析v在这个问题中有关的物理量有 设它们之间有关系式v （1） v其中 为待定常数，入为无量纲的比例系数，取（1）式的量纲表达式有v 整理得： （2）v由量纲齐次原则应有v解得： v代入到（

29、1）中，得到：v单摆的周期公式是一致的。 三. 量的比例关系与轮廓模型v1. 量的比例关系v 10. 模型表达了不同量纲的量之间的转换规律.v 20. 由量纲分析原理可知:不同量纲的量的乘幂之间一定存在比例关系。v 30. 在同一模型中，若量 y1和 y2的量纲分别为 y1 = X 和 y2 = X，则定有 y1=k y2/ 。v2. 轮廓模型v 直接利用不同量纲的量之间的比例关系所得到的模型称之为轮廓模型。 v3. 模型举例v 例 1. 几何体中的长度、面积和体积v 正立方体 v 棱长 l0=a，底面周长 l1 = 4a，底面对角线长 对角线长v 表面积 S1 = 6a2, 底面面积 S2

30、= a2， 对角面面积 v 体积 V1= a3, 四棱锥体积 V2 = a3/3al22al33232aS v在简单的几何体中，v 相应部位的面积与相应部位长度的平方呈正比； v 相应部位的体积与相应部位长度的立方呈正比；v 相应部位的体积与相应部位面积的3/2次方呈正比；v Si = k1 Lj2，V i= k2Lj3，Vi = k3Sj3/2。 v长方体 I 有棱长 (a, b, c)v 总棱长 L1=2(a+b+c), v 底面周长 L2=2(a+b),v 对角线长 v 表面积 S1=2(ab+bc+ca), v 底面面积 S2= ab,v 体积 V1=abc, v 四棱锥体积 V2=1/3 abc.2223cbaLv若长方体 II 有棱长(a*, b*, c*), 且v a*/a = b*/b = c*/c = m.v则有L1*= mL1, L2*=mL2, L3*= mL3;v S1*= m2S1, S2*= m2S2; v V1*= m3V1, V2*= m3V2v于是可得 Si*/Lk*2=Si/Lk2;v Vi*/Lk*3=V/L3; Vi*/Sk*3/2=Vi/Sk3/2.v即 S=k1L2, V=k2L3, V=k3S3/2. v在相似的几何体中，v相应部位的