MATLAB软件在高等数学中的应用探索

1、目 录摘要1关键词1Abstract1Key words 1引言11 MATLAB 软件概述21.1 MATLAB软件简介 21.2 MATLAB软件的特点 22 MATLAB 软件在大学数学中的应用22.1 函数及其图像22.1.1 函数22.1.2 图像32.2 极限62.3 导数与微分72.4 定积分与不定积分72.5 重积分92.6 曲线积分与曲面积分 102.7 级数 123 MATLAB 软件在线性代数中的应用 133.1 行列式求值 133.2 矩阵的基本运算 133.3 矩阵的秩 153.4 矩阵的分解 163.5 求解线性方程组 173.6 方阵与二次型 194 MATLAB

2、 软件在概率论与数理统计中的应用 214.1 离散型随机变量的分布 214.2 连续型随机变量的分布 244.3 随机变量的数字特征 254.3.1 数学期望 254.3.2 方差 265 结束语26参考文献 27致谢 27MATLAB软件在高等数学中的应用探索摘要 MATLAB将计算机、可视化、程序设计融合到了一简单的交互式工作环境中,可实现工程计算、算法研究、符号计算、建模和仿真、原型开发、数据分析及可视化、科学工程绘图和应用程序设计等功能,在经济、生物、物理、信息等相关领域有着广泛的应用天地.在数学领域,MATLAB也成为数学分析、线性代数、概率论与数理统计、复变函数论等课程的基本教学工

3、具,有着广阔的应用前景.为如何解决实际与理论教学中计算繁琐问题增加学习直观性和趣味性及培养学生数学的应用及创新能力提供借鉴给出了应用MATLAB软件辅助大学数学教学的几个典型案例.从中让更多的人了解和认识MATLAB.关键词 MATLAB 数学分析 线性代数 概率统计 数学趣味性 The Using Exploration of MATLAB on Mathematics QuestionAbstract MATLAB made computer, visualization, design integration into a simple interactive work environm

4、ent, which can realize engineering calculation, algorithm research, symbolic computation, modeling and simulation, prototype development, data analysis and visualization, science, engineering drawing and application design, and other functions, in the economic, biological, physical, information and

5、other related fields has been widely used. In the field of mathematics, MATLAB also become mathematics analysis, linear algebra, probability and mathematical statistics, complex variable function theory and so on the basic teaching tools, has a broad application prospect. For how to solve the proble

6、m of complicated calculation in practical and theoretical teaching more intuitive and fun learning and cultivate the students mathematics application ability and innovation provide application of MATLAB software aided university mathematics teaching is given for several typical cases. To let more pe

7、ople understand and know from MATLAB.Key words MATLAB mathematical analysis linear algebra probability and statistics mathematics fun 引言 MATLAB是由Math Works公司于1984年推出的一种面向科学与工程的计算软件.它集数值分析、矩阵运算、程序设计、符号计算及图形显示于一体的非常优秀的图形化语言,该软件具有简单易学功能强大、使用方便、编程高效、界面友好等特点,已被广泛应用在数学、物理学、化学、电子信息科学、工程力学及经济学等理工科和社会科学的不同应用

8、领域.随着计算机技术在各个领域的深入应用,MATLAB语言已经成为大学生、研究生必须掌握的基本技能,已经成为广大科研工作者进行科学研究和工程实践的必备工具.已经被认可为能够有效提高工作效率、改善设计手段的工具软件,掌握了MATLAB就好比掌握了开启这些专业领域大门的钥匙.大部分学生对高等数学一直感到抽象、冗繁和枯燥,不能亲手体验数学,只能被动接受.近年来,基于计算机强大计算能力的广泛应用,科学计算已成为与理论研究、科学实验并列的科学研究的三大手段.在数学软件发展成熟的今天,国外大量课程的教材都已采用数学软件分析,教学中大量使用数学软件;而国内教材这方面比国外落后,教学中实际使用数学软件的就更少

9、.科学计算能力的低下已成为我国高等教育落后于国外的一个瓶颈,而且目前还在继续加大.下面探讨MATLAB在高等数学中的应用,实验证明该软件功能强大,语言简洁易学,人机界面友好,工具箱具有丰富的技术支持,应用简单而且效果良好.1 MATLAB软件概述1.1 MATLAB软件简介Matlab即Matrix Laboratary 矩阵实验室,是由美国Clever Moler博士于1980年开发的,设计者的初衷是为了解决“线性代数”课程的矩阵运算问题.它是一种集数值计算、符号预算、可视化建模、仿真和图形处理等多种功能于一体的优秀图形化软件.Matlab将高性能的数值计算和可视化集成在一起,提供大量内置函

10、数,将数值分析、矩阵计算以及非线性动态系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个简单的视窗环境中,为科学研究、工程设计以及其他众多科学领域提供了一种全面的解决方案,并在很大程度上摆脱了程序设计语言如C、Fortran等编辑模式,代表当今国际科学计算软件的先进水平. Matlab将一个优秀软件的易用性与可靠性、通用性与专业性、一般目的的应用与高深的科技应用有机结合.它是一种直译式的高级语言,比其他程序设计语言容易,对于相关程序只需修改相应的参数便会得出不同的结论.现如今大学教学课程中引入计算机模拟技术正日益受到重视,与Basic、C和Fortran相比,用Matlab软件做试验的模拟,只需要用数学

11、方式表达和描述,省去了大量繁琐的编程过程,使得解决问题变得简单.同时Matlab在动画设计和音乐制作方面也有广阔的应用前景.1.2 MATLAB软件的特点 Matlab软件具有简洁紧凑、语法限制不严、程序设计自由度大、可移植性好、运算符、库函数丰富、图形功能强大、界面友好、编程效率高、扩展性、灵活性强等特点. Matlab具备很强的开放性.除内部函数外,所有Matlab基本文件和各工具箱文件都是可读、可改的源文件,用户可通过对源文件的修改或加入自己编写的文件去构成新的专用工具箱.2 MATLAB软件在大学数学中的应用2.1 函数及其图像2. 1. 1 函数数学分析中函数部分主要讲述以下内容：（

12、1）函数的基本性质,如函数的单调性、奇偶性、周期性、有界性等；（2）常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数六种基本初等函数的性质.2. 1. 2 图像函数的图像对我们了解函数的性质很有帮助,而计算与绘图正是Matlab所“擅长”的项目. 例2.1.1 绘制函数 ,的图形.程序为： clear x=-2*pi:0.1:2*pi; y=cos(x)； plot(x,y,.)运行结果： 图2-1 函数的图形 例2.1.2 绘制函数的动画图像.程序为： x=-3:0.1:3; X,Y=meshgrid(x); z=sin(X.*Y).*exp(X.*Y/5); mesh(z); M

13、=moviein(40); axis manual For j=1:40 mesh(cos(4*pi*j/40)*z,z) M(:,j)=getframe; End运行结果： 图2-2 函数的图形 例2.1.3 绘制螺旋线 的图形.程序为： t=0:0.1:6*pi; x=cos(t); y=sin(t); z=t; plot3(x,y,z)运行结果： 图2-3 函数 的图形 例2.1.4 绘制函数 的图形.程序为： x,y=meshgrid(-2:0.1:2); z=x.*exp(-x.2-y.2); plot3(x,y,z)运行结果： 图2-4 函数的图形 例2.1.5 绘制由 绕y轴旋转

14、一周形成的旋转曲面.程序为： x=0.2:0.001:0.5; y=1./x; x,y,z=cylinder(y,30); mesh(x,y,z)运行结果： 图2-5 由函数旋转所得曲面图形2.2 极限 极限这个概念是高等数学中非常重要而且又很抽象的概念, 我们理解起来往往很困难, 但通过几何图形能够很好地体现此概念的内涵. 例2.2 画出函数 的图像,观察时的极限. 程序为： x=linspace(-40,40,200); y=sin(x)./x; plot(x,y); grid on axis(-40,40,-1.5,1.5)运行结果： 图2-6 函数 的图形 从图中可看出,.2.3 导数

15、与微分 导数是高等数学的一个基本概念.相关的内容有复合函数求导,隐函数求导,多元函数的偏导数以及导数的应用极值问题等等,是高等数学中非常重要的一部分内容. Matlab的符号运用工具箱中有着请打的求导运算功能.在一些较为复杂的导数和微分计算中, 利用Matlab可以快速求出结果, 并能轻易画出图像, 比较原图像和微分图像之间的区别, 能更加直观地理解微分的意义. 例2.3 求函数 的一阶导数、二阶导数.程序为： syms x a by=sin(a*x)*cos(b*x);diff(y) syms x a bf=sin(a*x)*cos(b*x);diff(f,2)运行结果： ans = a*c

16、os(a*x)*cos(b*x) - b*sin(a*x)*sin(b*x)ans = - a2*cos(b*x)*sin(a*x) - b2*cos(b*x)*sin(a*x) - 2*a*b*cos(a*x)*sin(b*x) 2.4 定积分与不定积分 积分是高等数学里的一个基本而又重要的组成部分.积分是微分的逆运算,不定积分的求解除了记住常用的积分表和积分法则外,还包含很大的技巧.积分是微分的逆运算, 由于人类思维的局限性, 积分更难求解.定积分在一些情况下可以看作在一定范围内的微小量的和.Matlab为我们的积分运算提供一个简洁而又功能强大的工具,应用Matlab也可达到快速、精确的求

17、解. 例2.4.1 计算定积分 . 程序为： syms x; y=(x*(1+x)3)(-0.5); int(y,0,+inf)运行结果： ans = 2 例2.4.2 显示不定积分 ; ; 的图像.程序为： syms x; a=int(sec(x)*tan(x); b=int(1/(sin(x)2); c=int(1/sqrt(1-x2); ezplot(a); ezplot(b); ezplot(c);运行结果： 图2-7 不定积分的积分曲线 图2-8 不定积分的积分曲线 图2-9 不定积分的积分曲线2.5 重积分定积分解决了连续量求值的问题,而解决多维连续量的求和问题时就要用到重积分的运

18、算了.重积分是建立在定积分基础上的积分,它的基本思想也是将重积分转化为定积分来计算,其中关键是积分限的确定,这也是重积分的难点所在.Matlab系统并没有提供专门的函数来计算重积分,因此在我们确定了积分限后仍用计算定积分的函数来处理重积分问题. 例2.5.1 计算积分.程序为： syms x y; f=x*y; int(int(f,y,2-x,sqrt(2*x-x2),x,0,2)运行结果：ans = 0 例2.5.2 计算,由曲面,z=1,z=2所围成的空间立体.程序为： syms x y z; f=z; Az=int(f,z,x2+y2,2); Ay=int(Az,y,0,sqrt(2-x

19、2); Ax=int(Ay,x,0,sqrt(2)运行结果：Ax = (2*pi)/32.6 曲线积分与曲面积分积分实际上是求连续量作用的累积,当连续量定义在直线段上时,求累积的过程就是定积分,当连续量定义在平面区域上时,这个过程就是二重积分,当连续量定义在三维立体空间上时,这个过程就是三重积分.如果连续量是定义在空间曲线上或者空间曲面上时,则这个球累积的过程就是曲线积分和曲面积分了.曲线积分、曲面积分又分为两种类型,一种是定义域无向的积分,一种是定义域有向的积分. 例2.6.1 计算曲线积分,其中为圆周且取正方向. 法一（直接计算）：程序为： syms x y t dx dy a x=a*c

20、os(t); y=a*sin(t); dx=diff(x); dy=diff(y); int(x*y2-4*y3)*dx+(x2*y+sin(y)*dy,t,0,2*pi)运行结果：ans = 3*pi*a4 法二（利用Green公式）：程序为： syms x y p q d r t f a u v p=x*y2-4*y3; q=x2*y+sin(y); d=diff(q,x)-diff(p,y); u=r*cos(t); v=r*sin(t); g=subs(d,x y,u v); int(int(g*r,t,0,2*pi),r,0,a)运行结果：ans = 3*pi*a4 例2.6.2 计

21、算曲面积分,其中是平面被圆柱面截得的部分.采用极坐标计算积分,程序为： syms x y z dzx dzy sxy r t u v z=y+3; dzx=diff(z,x); dzy=diff(z,y); sxy=y*z*sqrt(1+dzx2+dzy2); u=r*cos(t);v=r*sin(t); int(int(subs(sxy,x y,u v)*r,t,0,2*pi),r,0,1)运行结果：ans = (pi*2(1/2)/4 例2.6.3 计算曲面积分,其中为上半球的表面外侧.利用Gauss公式,程序为： syms p q r x y z dpx dqy drz f g u v

22、t m n l a p=x*z2; q=x2*y-z3; r=2*x*y+y2*z; dpx=diff(p,x); dqy=diff(q,y); drz=diff(r,z); f=dpx+dqy+drz; m=t*sin(u)*cos(v); n=t*sin(u)*sin(v); l=t*cos(u); g=subs(f,x y z,m n l); int(int(int(g*t2*sin(u),u,0,pi/2),v,0,2*pi),t,0,a)运行结果：ans = (2*pi*a5)/52.7 级数 在高等数学里级数主要围绕三部分：常数项级数的级数求和和收敛法则、幂级数的收敛和将函数展开为

23、幂级数、傅里叶级数的性质和将函数展为傅里叶级数.下面举例运用Matlab计算级数求和及展为幂级数. 例2.7.1 级数求和 1) ；2） .程序为：1） syms i x s=symsum(2/(2*i+1)*(2*x+1)(2*i+1),i,0,inf) simple(s)2） syms n x s=symsum(n*(x-1)n,n,1,inf) simple(s)运算结果：1）ans= log(x+1)/x)2） ans = (x-1)/(x-2)2 例2.7.2 将函数 展开为的幂级数.程序为： syms x; f=1/(x2+3*x+3); y=taylor(f,x,5,1)运行结果

24、：y = (18*(x - 1)2)/343 - (5*x)/49 - (55*(x - 1)3)/2401 + (149*(x - 1)4)/16807 + 12/493 MATLAB软件在线性代数中的应用3.1 行列式求值 在线性代数中,行列式是个基本工具,其应用比较广泛,在Matlab中求其值很简单. 例3.1 .程序为： syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 A=a11 a12 a13;a21 a22 a23;a31 a32 a33; det(A)运行结果：ans = a11*a22*a33 - a11*a23*a32 - a12*a21*a

25、33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a313.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算主要有矩阵的加、减,数乘,矩阵与矩阵的相乘,矩阵的幂运算,矩阵的转置,矩阵的逆运算,矩阵的范数.例子很多,我就不一一举例了,仅举些和差、矩阵与矩阵的相乘、矩阵的逆运算以及矩阵的范数的例子. 例3.2.1 程序为： A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3; 2 3 1; C=A-B; D=A+B; C,D运行结果：C = -2 0 -1 0 -4 -1 1 0 0 D = 4 4 7 4 6 5 5 6 2 例3.2.2 程序为： A=1 2

26、3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3; 2 3 1; C=A*B D=B*A运行结果：C = 13 21 13 12 15 1317 24 22D = 19 20 17 21 18 1911 10 13 例3.2.3 程序为： A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; B=3 2 4;2 5 3; 2 3 1; C=inv(A) D=inv(B)运行结果：C = -0.4167 0.5833 0.0833 0.3333 -0.6667 0.33330.2500 0.2500 -0.2500D = 0.2000 -0.5000 0.7000 -0.2000 0.2500 0.

27、05000.2000 0.2500 -0.5500 例3.2.4 1范数(或列范数)、2范数、无穷范数（或行范数）、F范数.程序为： A=2 3 1;4 6 2;3 4 2; norm(A,1) norm(A) norm(A,inf) norm(A,fro)运行结果：1范数：ans = 132范数：ans = 9.9346无穷范数：ans = 12F范数：ans = 9.94993.3 矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的行向量或列向量不相关的个数,可用Matlab中函数求得. 例3.3 程序为： A=1 2 3;2 1 2;3 3 1; rank(A)运行结果：ans = 33.4 矩阵的分解在求解线性

28、方程组、矩阵的特征值和特征向量等过程中都要用到矩阵的分解,在Matlab中有专门的矩阵分解函数.这里主要介绍Schur分解、Cholesky分解、LU分解、QR分解. 例3.4.1 求Schur分解.程序为： A=2 1 2;1 2 1;2 3 1; T=schur(A)运行结果：T = 4.8737 -0.5301 1.4919 0 0.8503 -1.2220 0 0 -0.7240 例3.4.2 求5阶Cholesky分解.程序为： A=1 1 1 1 1 ;1 2 3 4 5;1 3 9 10 15;1 4 10 30 35;1 5 15 35 70； R,p=chol(A)运行结果：

29、R = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 0 0 2.0000 1.5000 3.0000 0 0 0 4.2131 4.1537 0 0 0 0 5.1717p = 0 例3.4.3 求LU分解.程序为： A=2 1 2 2;1 2 3 4;2 4 1 1;3 1 2 3 L,U=lu(A)运行结果：L = 0.6667 0.1000 0.2800 1.0000 0.3333 0.5000 1.0000 0 0.6667 1.0000 0 0 1.0000 0 0 0U = 3.0000 1.00

30、00 2.0000 3.0000 0 3.3333 -0.3333 -1.0000 0 0 2.5000 3.5000 0 0 0 -0.8800 例3.4.4 求QR分解.程序为： A=1 3 2 2;2 1 2 1;3 1 2 1;2 1 2 4 Q,R=qr(A)运行结果：Q = -0.2357 0.9629 -0.1313 0.0000 -0.4714 -0.0438 0.5252 -0.7071 -0.7071 -0.2626 -0.6565 0.0000 -0.4714 -0.0438 0.5252 0.7071R = -4.2426 -2.3570 -3.7712 -3.5355

31、 0 2.5386 1.2255 1.4444 0 0 0.5252 1.7070 0 0 0 2.12133.5 求解线性方程组线性方程组分为齐次方程组和非齐次方程组.对于齐次方程组而言,可用通过求系数矩阵的秩来判断解的情况；对于非齐次方程组而言,则要根据系数矩阵的秩与增广矩阵的秩和未知数个数的关系,才能判断解的情况. 例3.5.1 .程序为： A=1 -1 1 1;1 -1 1 -2;1 -1 -2 1; format rat n=4; RA=rank(A) if(RA=n)fprintf(方程组只要零解)elseB=null(A,r)End运行结果：RA = 3 B = 1 1 0 0

32、syms k x=k*Bx = k k 0 0 例3.5.2 .程序为： A=4 2 -1;3 -1 2;11 3 0; b=2 10 8; B=A b; n=3; RA=rank(A) RB=rank(B) if(RA=RB&RA=n)x=Abelse if(RA=RB&RA3.6 方阵与二次型 在这里我们主要说下用Matlab求方阵的特征值与特征向量,这在数学的方阵对角化及解微分方程组等问题里都有广泛应用.二次型里我们主要介绍二次型正定的判定,二次型正定的充要条件是,它的矩阵的特征值都为正,或者矩阵的所有顺序主子式都为正. 例3.6.1 程序为： a=-1 1 0;-4 3 0;1 0 2

33、; V D=eig(a)运行结果：V = 0 881/2158 881/2158 0 881/1079 881/1079 1 -881/2158 -881/2158 D = 2 0 0 0 1 0 0 0 1 例3.6.2 程序为： a=1 2 4;2 -2 2;4 2 1; syms y1 y2 y3 y=y1;y2;y3; P,D=eig(a) x=P*y f=y1 y2 y3*D*y运行结果：P = 963/1615 1292/2889 2/3 963/3230 -2584/2889 1/3 -963/1292 0 2/3 D = -3 0 0 0 -3 0 0 0 6 x = (2*y

34、3)/3 + (4*5(1/2)*y1)/15 + (5(1/2)*y2)/5 y3/3 + (2*5(1/2)*y1)/15 - (2*5(1/2)*y2)/5 (2*y3)/3 - (5(1/2)*y1)/3 f = 6*y32 - 3*y22 - 3*y12 例3.6.3 法一：程序为： a=2 2 1;2 8 0;1 0 -4; d=eig(a) if all(d0)fprintf(二次型正定)elsefprintf(二次型非正定)End运行结果：d = -3095/742 781/501 5331/619 二次型非正定 法二：程序为： a=2 2 1;2 8 0;1 0 -4; fo

35、r i=1:3b=a(1:i,1:i);fprintf(第%d阶主子式的值为,i)det(b)if(det(b) 4 MATLAB软件在概率论与数理统计中的应用4.1 离散型随机变量的分布离散型随机变量是一个个离散的点,常见的离散分布有两点分布、超几何分布、二项分布和泊松分布.这四种分布很有代表性,它们之间也有联系.Matlab提供的函数主要包括四种运算,两点分布很简单,在此不再举例,下面我们看剩余三种分布的例子.例4.1.1 设有1000名学生,其中优秀生有300名,随机抽取50名来检查,计算：(1) 其中不多于10名优秀生的概率.绘出这50名学生中优秀生的概率分布图.(2) 其中恰有10名

36、优秀生的概率.绘出随机变量的概率密度分布图.程序为： p1=hygecdf(10,1000,300,50)p1 = 440/5977 x=hygeinv(p1,1000,300,50)x = 10 p2=hygepdf(10,1000,300,50)p2 = 440/5977 x=1:50; px1=hygecdf(x,1000,300,50); px2=hygepdf(x,1000,300,50); stairs(x,px1) figure,stairs(x,px2)运行结果： 图4-1 优秀生的概率分布 图4-2 概率分布密度图 例4.1.2 设有一批产品,其中一级品的概率为0.2,现从中

37、随机抽取20个,其中一级品的个数为随机数.根据条件给出一个随机数,然后再根据这个随机数计算一级品率的最大可能性估量值.程序为： x=binornd(20,0.2) p,pci=binofit(x,20)运行结果：x = 4 p = 1/5 pci = 120/2093 1078/2469 例4.1.3 设有一批零件2000个,其中有30个次品,随机抽取100个产品,求其中次品数x的概率密度分布.有两种抽取方法：1）不放回抽样,一次抽取100个.2)放回抽样,抽100个.程序为： x=0:20; p1=hygepdf(x,2000,30,100); p2=binopdf(x,100,0.015)

38、; p3=poisspdf(x,1.5); subplot(3,1,1) plot(x,p1,+) title(hygepdf) subplot(3,1,2) plot(x,p1,*) title(binopdf) subplot(3,1,3) plot(x,p1,.) title(poisspdf)运行结果： 图4-3 次品数的概率分布密度图4.2 连续型随机变量的分布连续型随机变量的变化是连续的,连续型随机变量的分布规律有很多种,下面介绍我们常用的正态分布. 例4.2 设随机变量,求的概率,并在概率密度分布图上画出来随求随机变量的分布情况.程序为： mu=2.5;sigma=4; x1=1

39、;x2=3; specs=x1,x2; p=normspec(specs,mu,sigma)p = 383/1955 运行结果： 图4-4 随机变量分布图4.3 随机变量的数字特征4.3.1 数学期望 尽管随机变量的分布和密度能很好的描述随机变量的概率分布情况,但不能给出随机变量的其他一些统计特征,而且有时候人们又非常关注这些统计特征.如随机变量的均值和方差,均值反映了随机变量的分布中心,方差反映了随机变量偏离均值的程度.随机变量的这些特征由它们的数字特征给出,Matlab可以很容易的计算这些数字特征.随机变量的数学期望分三类：离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量函数的数学期望,下面针对这三类分别举例说明. 例4.3.1 计算随机数X=3,6,7,9,4,5,2,8的数学期望.程序为