江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.的值为（）A.5 B.8 C.10 D.36【答案】C【解析】2.四个人站在一排，其中甲乙必须站在一起，则不同站法种数为（）A.8 B.12 C.18 D.24【答案】B【解析】甲乙站在一起有种情况，将甲乙捆绑在一起与另外两人排列有种情况，所以不同站法种数为.3.若向量与不共线且，，，则（）A.，，共线 B.与共线C.与共线 D.，，共面【答案】D【解析】因为，即，即，又与不共线，所以共面，故D正确A错误；因为，所以与不共线，与不共线，故BC错误；故选：D4.已知，则的值为（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】由，得.则，即，解得.故选：B.5.如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，有.故选：B.6.长时间玩手机会影响视力．据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过1小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为．现从该校随机调查一名学生，他近视的概率大约是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设事件“学生玩手机超过1小时”，事件“学生近视”，事件为的对立事件，由题意可得，，，则，所以.7.在的展开式中，的系数是（）A.11 B.15 C.20 D.25【答案】C【解析】展开式的通项公式为：（）.

情况一：与展开式中的项相乘.令，解得.将代入到中，可得，所以与展开式中的项相乘得到的系数为.

情况二：与展开式中的项相乘.令，解得.将代入到中，可得，所以与展开式中的项相乘得到的系数为.

将两种情况得到的的系数相加，可得，即的展开式中的系数是20.

故选：C.8.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（）A. B.4 C. D.【答案】A【解析】由平面的方程为，可化为，根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为，又由点，所以，所以点到平面的距离为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】根据组合数的性质或组合数的计算公式，所以，所以A选项正确；，，所以，所以B选项正确；，而，所以C选项错误；，，所以D选项正确．10.甲箱中有2个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】由条件可知，，，故AC正确；，，故B正确；，故D错误.11.伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.B.平面平面PEFC.异面直线与所成角的余弦值为D.直线与平面所成角的余弦值为【答案】AB【解析】选项A：由图象得，即，故A正确；选项B：因为平面PEF，且，所以平面PEF，因为平面，所以平面平面PEF，故B正确；选项C：以D为原点，为x，y，z轴正方向建系，如图所示，则，所以，设异面直线与所成角为，，则，则异面直线与所成角的余弦值为，故C错误；选项D：由图象得平面的法向量，设直线与平面所成角，，则所以直线与平面所成角的正弦值为所以直线与平面所成角的余弦值为，故D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.直线l的方向向量为，平面的法向量为，若直线，则实数t的值为______．【答案】1【解析】由题意可得直线l的方向向量与平面的法向量平行，即有，解得.13.用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，则不同的涂色方法种数为______．【答案】260【解析】由题意可得要给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂1种颜色，且有邻边的区域颜色不能相同，最多可用4种不同颜色，最少可用2种不同颜色：第一种情况，若用4种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，此时有种不同的涂色方法；第二种情况，若用3种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，则或颜色相同，此时有种不同的涂色方法；第三种情况，若用2种颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，则，颜色相同，此时有种不同的涂色方法；综上：不同的涂色方法种数为种.14.已知四棱锥，底面是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱分别交于点．设，．若，则______．【答案】##0.6【解析】连接交于点，因为底面ABCD是平行四边形，所以为的中点，由平行四边形法则可得：，故，又，，得，，又Q为PA的中点，，所以，由题意共面，所以，解得.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.3个男生与3个女生站成一排．（1）若要求3个男生互不相邻，有多少种排法？（2）若要求男生甲必须站在男生乙的左边（不一定相邻），有多少种排法？（3）若男生甲与男生乙中间只能站一人，有多少种排法？（3）利用捆绑法，先排小团体，再和其他元素一起全排列.解：（1）先排好3个女生，产生4个空，从中选3个空排男生，共有种方法；（2）法一：共有6个位置，先排甲和乙之外的4人，有种方法，剩下的2个位置排甲和乙，有1种排法，所以共有种方法；法二：首先6个人全排列，再除以甲和乙全排列的顺序，即种方法；（3）先从甲和乙之外的4人选1人，站在男生甲和男生乙之间，这3人看成一个元素，甲和乙全排列，有种方法，再和其他的3人，共看成4个元素全排列，有种方法，所以共有种方法.16.如图，在四棱锥中，底面，底面为直角梯形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）若截面与底面所成锐二面角为，求的长度.（1）证明：取的中点，连接，是的中点，，且.∵底面为直角梯形，，，，，且.∴四边形是平行四边形，.又平面平面，平面.（2）解：如图，分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，则，取平面的一个法向量为.，设平面的法向量为，则有即不妨取，则，即，，解得，即的长为4.17.在按的降幂展开式中，最后三项的二项式系数之和等于29，第五项系数为．（1）求和的值；（2）设该展开式为．（ⅰ）求二项式系数最大的项；（ⅱ）求的值．解：（1）依题意得，，即，解得或（舍去），第五项为，其系数为，由，解得．（2）（ⅰ）因为，所以二项式系数最大项为第项与第项，即，；（ⅱ）由，求导得，令得，即得．18.某大学进行强基计划测试，已知有6名学生进入最后面试环节，且这6名学生全都来自A、B、C三所学校，其中A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．该大学要求所有面试学生面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码由小到大依次进行面试．（1）求面试号码为2的是A校学生的概率；（2）求A校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试（A校所有参加面试的学生完成面试，B、C两校都还有学生未完成面试）的概率．（3）求前四个面试中有两个是A校学生的条件下，B校学生最后一个面试的概率．解：（1）已知6名学生全都来自A、B、C三所学校，A、B、C三所学校参加面试的学生人数比为．则来自A校3人、B校1人、C校2人，面试号码为的学生有个不同结果，面试号码为的学生来自A校的事件有3个不同结果，所以面试号码为的学生来自A校的概率为.（2）依题意，名学生按编号的试验有个基本事件，校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的事件，可分为两种互斥情况，一是校学生的最大编号为，二是校学生的最大编号为且B校学生编号不小于5.校学生的最大编号为的事件有个基本事件；而校学生的最大编号为且B校学生编号不小于的事件有个基本事件，所以校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试的概率为；（3）记“前4个面试有两个A校学生”为事件M，“B校学生最后一个面试”为事件N，则，，所以在前四个面试中有两个是校学生的条件下，校学生最后一个面试的概率为.19.如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面平面ABCD，是边长为的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点．（1）证明：平面平面PBC；（2）若F为BC中点．（ⅰ）求异面直线AF与PC的距离；（ⅱ）求四棱锥的外接球被所在的平面截得的圆的面积．（1）证明：平面平面，平面平面，，且平面，则平面，因为平面，则，又，，则，因，平面，则平面，又平面，故平面平面．（2）（ⅰ）解：由平面，平面平面，平面，则，