GPS高程拟合中二次曲面的特征根和高斯曲率

1、测绘通报BULLETIN OF SURVEYING AND MAPPING1999年 第7期 No.7 1999GPS高程拟合中二次曲面的特征根和高斯曲率向虎雏摘要本文根据GPS高程拟合中二次曲面平行于非零向量弦的中点共面等性质，推导出其特征根，从而界定使用的曲面分为且仅分为椭圆抛物面和双曲抛物面。阜新GPS网试验表明，简捷明快的特征根，是研究似大地水准面事半功倍的实用工具。同时，从高斯曲率|K|<(4a3a4-a25)0的分析中，发现二次曲面甚至一次平面原则上满足GPS工程中高程拟合要求的现象。文章还具体介绍了特征根的使用方法。一、概述GPS定位技术能够在3维空间有效地进行测量，如果离

2、析出其中与高程相关的成份，可供水准测量使用。不过GPS获得的是只有纯数学意义的大地高H，而人们需要的是正常高h，两者之间存在如下关系：H-h(1)式中称高程异常，表示似大地水准面至参数椭球面的距离。它是由于地下物质及其密度分布不均匀产生的重力异常导致的，具有鲜明的物理特征。这样，GPS高程问题实质上是如何确定似大地水准面了。似大地水准面是点位的函数(x,y)，由于已经延伸进大陆内部的缘故，却不是“解析的面”。鉴于二次曲面的数学模型简单、几何形状规范，需要的已知水准资料又比较少等优点，武测的GPSADJ和同济的TGPPS软件都是用二次多项式模拟某种二次解析曲面来完成高程拟合1：z=(x,y)a0

3、+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xya0+a1x+a2y+*(x,y)(2)式中(x,y)为相对归算中心点的坐标差。a0的量纲为长度单位；a1和a2无量纲；a3，a4，a5的量纲为长度单位-1。其中二次型(x,y)a3x2+a4y2+a5xy=(3)二、二次曲面的特征根与曲面分类2给定曲面式(2)，若该曲面平行于非零向量(l,m,n)的弦的两端点为M1（x1,y1,z1）和M2(x2,y2,z2)，则弦的中点M(x,y,z)为(图1)图1(4)因为此弦与平行，即令x2-x1=kl,y2-y1=km,z2-z1kn(5)式中k为比例因子。又因为弦的端点M1,M2都在曲面上，所以满足式(

4、2)即z1a0+a1x1+a2y1+a3x21+a4y21+a5x1y1z2a0+a1x2+a2y2+a3x22+a4y22+a5x2y2由上两式之差得a3(x22-x21)+a4(y22-y21)+a5(x2y2-x1y1)+a1(x2-x1)+a2(y2-y1)-(z2-z1)=0(6)从式(4)、(5)知x22-x21=2klxy22-y212kmyx2y2-x1y1=(x2+x1)(y2-y1)+(x2-x1)(y2+y1)k(mx+ly)则式(6)为即(7)上式表明曲面中所有平行于非零向量的弦的中点共面，此平面平行于z轴。如果该平面(7)又垂直于诸弦，则称为曲面的对称平面，曲面被其划

5、分的两侧互为镜像。若非零向量(l,m,n)垂直平面(7)，则n0，而l,m不全为零。即令即(8)式中亦(9)由于l,m不全为零，则即(10)上式为曲面(3)的特征方程，不难得出其解(即比例因子)为对应的特征根：(11)因为式(8)中出现的A阵正是曲面中二次型部分式(3)*(x,y)的系数矩阵，它是二阶实对称阵，总存在正交变换，将其化为标准型：*(x,y)=1x2+2y2若1，2同号，曲面为椭圆抛物面(图1)；反之，曲面为双曲抛物面(马鞍状)(图2)。二次多项式函数式(2)表征的曲面分为且仅分为这两种类型。分析式(11)可得出决定曲面的因素是该多项式中二次型部分*(x,y)三个系数的结论。至于常

6、数项a0和线性项a1x，a2y,通过坐标变换都会吸收进平方项中去，它们不改变曲面的类型和形状。如果*(x,y)0，则曲面退化为平面。图2阜新GPS高程拟合原理图三、特征根的使用方法简捷明快的特征根不仅宏观上界定了曲面的类型，还取代和简化了通常坐标变换较繁琐的计算。这种具有良好操作性能的方法，莫过于用下列算例来表述，由给定曲面(12)得110，25当110时，根据方程组(9)得取l=2,m=1作它们的非零解，得向量1(2，1)。当25时，同理可得另一向量2(1，-2)。显然，分别对应于1,2的非零向量1，2正交(因为120)。按1,2确定新x和y坐标轴的基底向量作第一次坐标变换(旋转)代入(12

7、)原式，其中二次型部分*(x,y)9x2+6y2+4xy=10x2+5y2=1x2+2y2而常数项和线性项部分则原式为现作第二次坐标变换(平移)最后得标准型z10x2+5y2=1x2+2y2因为1与2同号，曲面(12)为椭圆抛物面。其特征根的使用决定了无论是第一次旋转变换时二次型部分*(x,y)的系数，还是第二次平移变换后曲面的系数均为它的特征根。通过第二次变换还确定了曲面顶点的原坐标值，这对讨论GPS工程中拟合的似大地水准面是有指导意义的。四、特征根在阜新GPS网的试验和高斯曲率分析34辽宁阜新引水工程GPS网长80 km，由26个GPS控制点组成(图2)，其中9个有三等水准成果(表1)。测

8、区为低丘地区，地势呈东北向西南倾斜状。如表1所示，启用6个分布较均匀的约束点高程异常，其中3号点(北哈拉火烧)为归算中心，根据式(2)构建似大地水准面：Z=74.658+1.46×10-5X-4.71×10-5Y+3.2×10-10X2+2.2×10-10Y2-11.8×10-10XY(13)式中X，Y，Z的单位为m。由上式计算8、17、22号点的水准hc，经与已知三等水准成果比对，互差平均值29 mm，最大值为40 mm(表2)，表明高程拟合成功。表1阜新GPS网高程资料一览表m点号大地高(H)三等水准(h)高程异常()(相对BJ-54系)B

9、J-54坐标差备注WGS-84BJ-54XY3188.37079.164153.822-74.6580.0000.000中心点6152.18242.983117.759-74.776-8 282.095-5 644.140约束点8149.412-13 547.142-10 188.866检核点11188.98979.794154.732-74.938-20 561.257-16 772.498约束点15196.30287.111162.027-74.916-28 582.120-22 571.485约束点17184.307-31 300.863-27 242.652检核点20228.80911

10、9.621194.692-75.071-33 822.743-35 809.234约束点22237.993-31 981.773-40 367.548检核点23169.15959.972135.212-75.240-34 069.856-43 095.478约束点表2检核点水准对比表m点号三等水准(h)拟合高程(hc)互差(h-hc)8149.412149.3720.04017184.307184.2910.01622237.993238.023-0.030由特征根计算公式(11)得18.6211485×10-102-3.2211485×10-10因为1，2异号，阜新拟合的

11、似大地水准面为双曲抛物面。针对1，2确定新坐标系基底描述i,j基底正交程度的量ij7×10-9，满足使用要求。首先，作旋转变换则曲面为Z=74.658+4.26183544×10-5x-2.48041497×10-5y+1x2+2y2整理之，得Z=74.609=1(x+24717.330)2+2(y+38502.028)2然后，再作平移变换(14) 最后双曲抛物面的标准式为其实，人们最熟悉的WGS-84、BJ-54等参考椭球也是二次曲面中的一种。除了函数都具有连续平滑性之外，与GPS高程拟合中讨论的椭圆抛物面、双曲抛物面(包括退化成的平面)不同的是：前者属有边界封

12、闭式的有心曲面，所以历来成为适用于全球范围的经典椭球。而后者没有中心，但有顶点，是一种对于自变量x,y为单值的开放性的无界曲面。由于其各细部的几何形状不同，通过已知高程异常的约束，使采用其中某局部的曲面片模拟GPS测区内的似大地水准面已经成为可能。如图2所示，从以归算中心3号点为原点的O-XYZ测站坐标系与以双曲抛物面顶点为原点，以其两对称平面对应的主向为轴的O-xyz坐标系之间存在式(14)的平移量知，这个硕大马鞍的顶点位于测区东北方向，距3号点45.753 km,方位为57°182.2处。因此，不要以为只要用了二次曲面，顶点就一定落在作业区内，模型(2)与某一切平面存在一个切点，

13、仅有一个凹面或凸面1。微分几何认为，这种切平面应有无穷多，利用它们可以定量描述曲面上任何一处几何形状弯曲程度的量是高斯曲率K4参考文献1已经给出了4个偏导的数学表达式，本文只需补充最后一个二阶偏导：则K4a3a4-a25/1+(2a3x+a5y+a1)2+(2a4y+a5x+a2)22因为分母含有x,y，K是点位的函数。但分母恒大于1，所以|K|<|4a3a4-a25|。|K|愈大，表示曲面在该点弯曲程度愈大；反之，曲面弯曲甚微。对于阜新使用的曲面式(13)4a3a4-a25(4×3.2×2.2-11.82)×10-20=-1.1108×10-18

14、0(15)可知高斯曲率|K|极小，它表明阜新低丘地区的似大地水准面相当平展，也反演出其地下物质及其密度分布是比较均匀的。微分几何称任何曲面上K<0的点为双曲点，形状如图2中顶点O处，其邻近的曲面在切平面的两侧。式(15)说明双曲抛物面上处处都是双曲点；当然，椭圆抛物面也有相似的结论。正是模型式(2)自身具备的这种调节功能，才实现了似大地水准面的构建。阜新使用的曲面|K|<1.1108×10-18，反映局域似大地水准面起伏舒缓的特征是否具有普遍性，尚需探讨，不过这种现象随着研究的局域范围缩小愈趋明朗。长江水利委员会在三峡坝区高差为200 m仅2.6 km2范围内，只用了3个国家一等水准点，采用退化了的平面模型，拟合高程的精度达到了±6.5 mm,与已知水准高程比较，最大差值为11.5 mm的成果，应该具有一定代表性5。总而言之，在GPS高程拟合时，使用的二次曲面蕴藏着简捷明快的特征根，它深刻地说明了曲面的几何性质，是分析似大地水准面行之有效的实用工具。通过阜新GPS网的高斯曲率研究，发现了二次曲面甚至一次平面模型原则上可以满足工程中高程拟合的现象；如果产生异常，无疑对地质找矿等带来有价值的信息。相对于5.11亿平方公里广袤地球，GPS工程作业区总是微小的，在这微小的测区范围内，“以二次曲面甚至平面描述一般曲面”模拟局域似