第5章杆件的变形与刚度计算C

1、第第5 5章章 杆件的变形与刚度计算杆件的变形与刚度计算 5- -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形5- -2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算5- -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算5- -4 简单超静定问题简单超静定问题15 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形一、线应变一、线应变PP1llb1blll1bbb1llbb纵向线应变：横向线应变：形系数)称为泊松比或横向变(材料在线弹性范围内：|2二、拉压杆的变形二、拉压杆的变形材料在线弹性范围内：EllAFNAElFlN等截面杆：多段等截面杆：变截面杆：iiiiNAElFl dxxAExFlNl三、典

2、型例题三、典型例题 5 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形EA：称为截面抗拉压刚度。（轴力）有正负iNF3FFFFFFNNN2,332131iiiiNADEAlFl1.分段求轴力(或作轴力图)2.求变形11A,lAB2F4F3FCD22A,l33A,lBDACADl,l,l：变截面杆，材料相同E ，不计自重, 求 。 113EAFl21iiiiNACEAlFl22113EAFlEAFl32iiiiNBDEAlFl33222EAFlEAFl 5 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形解：解：22EAFl332EAFl4：等截面石柱，E、A、容重求B截面相对于A截面的变形量。x

3、AxFN)( lNABdxEAxFl0lxdxE0El22lxABx)(xFN1.求轴力2.求ABl 5 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形解：解：5C怎样画小变形放大图？怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。ABCL1L2P1L2LC 5 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形6写出图中写出图中B点位移与两杆变形间的关系点位移与两杆变形间的关系ABCL1L21L2LBxByB1LBx变形图如图， B点位移至B点，由图知：sinctg21LLBy 5 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形7解：解：

4、5 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形060sin6 . 12 . 18 . 060sinoToTAFFFmkN55.113/FFTMPa1511036.7655.119AFT例例5-1-3 设横梁设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为为刚梁，横截面面积为 76. .36mm 的钢的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设索绕过无摩擦的定滑轮。设 F=20=20kN，试求钢索的应力和，试求钢索的应力和 C点的垂直位移。设钢索的点的垂直位移。设钢索的 E =177=177GPa。2) 钢索的应力和伸长分别为：800400400DCFAB60 60FABCDFTFTFAyFAx解：解：1）求钢索内力：以

5、ABCD为对象8 5 5-1 -1 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形mm36. 1m17736.766 . 155.11EALFLTCFAB60 60800400400DAB60 60DBD1L2LCC3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：260sin60sin 221LLDDBBCmm79. 060sin236. 160sin2oL95 5-2 -2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算一、圆轴扭转变形（相对扭转角）一、圆轴扭转变形（相对扭转角）pGITdxdldlpdxGIT0pGIlT称为截面抗扭刚度:pGI等直圆轴：pGIlT多段等直圆轴：piiiGIlT变截面圆轴： dxx

6、GIxTplmmAB10 )(m/radGITpmaxmax )(180m/GITopmaxmax二、刚度条件及计算二、刚度条件及计算1.1.刚度条件刚度条件2.2.三种刚度计算三种刚度计算： 5 5-2 -2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算刚度校核、截面设计、许可载荷的确定。 最大单位长度扭转角:max11例题例题5 5-2-1-2-1 有一直径d=25mm的钢轴，当扭转角为60时 最大切应力为95Mpa，试确定此轴的长度。已知 材料的剪切弹性模量G=79Gpa。pGITLppITRITmaxmax180maxGRL180695252110793(mm)1089解：解：180

7、5 5-2 -2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算12例题例题5 5-2-2-2-2：试选择图示传动轴的直径。已知：n=300rpm，P1=20PS，P2=50PS，P3=30PS，=40Mpa， =0.30/m，G=80Gpa。1.求外力偶矩并作扭矩图m)(N468300207024P702411nmm)(N1170300507024P702422nmm)(N702300307024P702433nmmN468 mN702 m2m2213解：解：m)(N702maxT 5 5-2 -2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算13mN468 mN702 163dW,WTppm

8、axmax 316maxTd mm74440107021633. 321804dI ,GITppmax 4max18032GTdmm36430108018010702324323.mm65d2.根据强度条件确定直径3.根据刚度条件确定直径 5 5-2 -2 圆轴扭转变形及刚度计算圆轴扭转变形及刚度计算14作业作业：P543； P558 ； P5612思考思考：P544； P5613 ； P5714155 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算一、梁的弯曲变形（挠度与转角）一、梁的弯曲变形（挠度与转角）)x(qABmPwwxtanwxv , y,f ,w挠度 转角挠曲线挠曲线

9、方程、转角方程、挠度与转角的关系： 顺时针为正向下为正；逆时针为正向上为正：xxww16二、梁的挠曲线近似微分方程二、梁的挠曲线近似微分方程EIxM)(1：物理关系232)1 (1ww ：几何关系EIxMw)( 1.1.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程w ：挠曲线近似微分方程M0Mxww0M0Mxww0 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算17支承条件：00AA,w00DCw,w连续条件：梁在变形后，其挠曲线是一条连续的曲线右左右左HHHH,ww注意分段注意分段：除集中力、集中力偶、分布载荷的始末位置外，还有中间铰中间铰（挠度连续、转角不连续）处。2.2.二次积分

10、求挠度方程二次积分求挠度方程CdxEIxMw)(DCxdxdxEIxMw)(通过边界条件确定积分常数(悬臂梁)(简支梁)BACDFHF 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算18例题例题9-3-1 ：求图示弯曲刚度为：求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线的简支梁的挠曲线 方程和转角方程。方程和转角方程。AD段：段： xlFbxM1 BAxwF DablxFB FA 1）分段求弯矩方程）分段求弯矩方程DB段：段： axFxlFbxM2解：解： 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算）（ax 0）（lxa19 xMwEI22 2）梁的挠曲线方程）梁的挠

11、曲线方程 xMwEI11 xlbFaxFxlbFAD段：段：DB段：段：3）积分）积分AD段：段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIw 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算20AD段：段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIw4）确定积分常数）确定积分常数位移边界条件：位移边界条件：01w0 x时时，a)01 D BAxwF Dabl 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚

12、度计算梁的弯曲变形及刚度计算02wlx 时时，b)0662233DlCalFllFb21位移连续条件：位移连续条件：21ww ax 时时，a)2231366DaCalFbaCalFb221DaCaCAD段：段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：段：222222CaxFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIw BAxwF Dabl 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算2221ww ax 时时，b)221222CalFbCalFb21CC AD段：段：1212CxlFbwEI11316DxCxlFbEIwDB段：段：222222Ca

13、xFxlFbwEI2233266DxCaxFxlFbEIw BAxwF Dabl 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算2301D221DaCaC21CC 0662233DlCalFllFb解得：解得：22216bllFbCC021 DD 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算2422211312xbllEIFbwAD段：段：22216xbllEIFbxwDB段：段：222222312xblaxbllEIFbw322326xxblaxbllEIFbw 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算如何确定最大挠度和最大转角？如何确定最大

14、挠度和最大转角？）（ax 0）（lxa25 已知梁的已知梁的 为常数，今欲使梁的挠曲为常数，今欲使梁的挠曲线在线在 处出现一拐点，则比值处出现一拐点，则比值为多少？为多少？lm2xm1xl/ 3EImm12/ 9-3 9-3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算26三、叠加法求梁的挠度和转角三、叠加法求梁的挠度和转角1.叠加法的理论依据叠加法的理论依据： 材料在线弹性范围内工作； 发生的变形是小变形。2.掌握掌握6种基本图形，求梁的种基本图形，求梁的 最大挠度和最大转角最大挠度和最大转角。(表9-4)mLEI31mLEI162PLEI162PLEI483qLEI243q5LEI3844

15、mPqmLEI11mLEI22PLEI22PLEI33qLEI63qLEI84mPq 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算mLEI11mLEI22PLEI22PLEI33qLEI63qLEI84mPq27例题例题5 5-3-3-2 2 求图示悬臂梁O处的挠度和转角。oxwLEIPoxwLEIPPLM oxwLEIPLM ，EIPLO2211.P单独作用2.M单独作用EIPLwO331EIPLEIMLO22EIPLEIMLwO22321逆时针EIPLOOO2221 EIPLwwwOOO6321由叠加原理有：逆时针为正向上为正w解：解： 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚

16、度计算梁的弯曲变形及刚度计算28 例题例题5 5-3-3-3 3 试按叠加原理求图示悬臂梁C处的挠度和转角。C111l ,IE222l ,IEFABCBFF2FlM BCA1C1Cw2B2Cw2C2Bw逐段刚化法逐段刚化法 1.刚化AB段，考虑BC段的变形 2.刚化BC段，考虑AB段的变形顺时针222212IEFlC 223213IEFlwC22BC2222lwwBBC解：解：211211112111312)2(23lIEllFlIEMlIEFl 1122111221113123IElFlIElFlIEFl 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算顺时针112112)2(

17、IEllFl22IE11IE11111212IEMlIEFl29顺时针11211222221222IE)ll (FlIEFlCCC由叠加原理有： 用逐段刚化法时，每段的变形必须且需必须且需考虑一次。 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算2232213IEFlwwwCCC 1122111221113123IElFlIElFlIEFl30例题例题5 5-3-3-4 4试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其B截面的转角，以及A端的挠度和BC段中点D的挠度。 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算31用逐段刚化法求解。 1.刚化AB段，考虑BC段的变形，计

18、算图(c)BBMBqB1BDMDqDwww1a|wBA11 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算解：解：1qa2= 313224233逆时针EIqaEIaMEIaqB)(24116223845424EIqaEIaMEIaqB EIqaaEIqa4331 3132 2.刚化BC段，考虑AB段的变形,计算简图(b)02B02Dw EIqaEIaqwA4424182逆时针EIqlBBB3321 EIqawwwAAA421127 EIqawwwDDD421241所以： 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算33F=qaAEIDBqaqa2/2(a)aa

19、 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算 2.刚化AB段，考虑BC段的变形，计算图(b) 1.刚化BC段，考虑AB段的变形，计算图(a)解：解：BC(b)+aqC 由叠加原理求图示弯曲刚度为由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁的外伸梁C截面的挠度和转角以及截面的挠度和转角以及D截面的挠度截面的挠度。ACaaaF=qaBDEIq34BC(b)+aCaCbCBaCbCaCbCwwwawBaCbDaDww 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算qF=qaAEIDBqaqa2/2(a)aaC35DaDww DaFwDaMwEIaF48)2(3EIaM1

20、6)2(2）（EIqa244 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算BC(b)+aqF=qaAEIDBqaqa2/2(a)aaCEIaqa48)2(3EIa/qa162222）（36CbCBaEIqa63CbBaFBaMEIaF1622EIaM32（顺时针）EIqa43CbCww aBaEIqa841622EIaqaEIqa33a）（EIqa64 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算BC(b)+aqF=qaAEIDBqaqa2/2(a)aaC37(a) 例题例题5 5-3-3-5 5 试按叠加原理求图a所示等直梁中截面C的挠度和A截面的转角。(

21、b)对称结构在对称载荷作用下，对称结构在对称载荷作用下，中截面的转角等于零；中截面的转角等于零；对称结构在反对称载荷作用下，对称结构在反对称载荷作用下，中截面的挠度等于零。中截面的挠度等于零。 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算38CC EIqlEIlqwC76853842/5441 48242331顺时针EIqlEIl/qA顺时针 3842422332EIqlEI/l/qA02Cw EIqlwwwCCC7685421 12833844833321顺时针EIqlEIqlEIqlAAA按叠加原理得 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算39梁的

22、梁的M、 EI、l已知，求已知，求wC和和AABClMl22AClM/22(1)01CCww1AAEIMlEIlM246)2/)(2/( 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算40 梁梁AB，横截面为边长为，横截面为边长为a的正方形，弹性模的正方形，弹性模量为量为E1；杆；杆BC，横截面为直径为，横截面为直径为d的圆形，弹性的圆形，弹性模量为模量为E2。试求。试求BC杆的伸长及杆的伸长及AB梁中点的挠度。梁中点的挠度。41四、梁的弯曲刚度条件四、梁的弯曲刚度条件 及计算及计算1.1.梁的刚度条件梁的刚度条件lwlwmax max2.2.三种刚度计算三种刚度计算刚度校核、

23、截面设计、许可载荷的确定。五、提高梁弯曲刚度的措施五、提高梁弯曲刚度的措施1.增大截面的抗弯刚度EI；2.减小梁的跨长L；3.改善受力情况；4.增加梁的约束。 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算42作业作业：P6134； P6337 ； P6338 5 5-3 -3 梁的弯曲变形及刚度计算梁的弯曲变形及刚度计算思考思考：P6029； P6131 ； P6440435 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法2、超静定的处

24、理方法、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。二、拉压超静定问题二、拉压超静定问题1 1、拉压超静定问题、拉压超静定问题44例例5-4-1 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CFABD123、平衡方程:0sinsin21NNxFFF0coscos321FFFFFNNNyFAFN1FN3FN245解：解：一次超静定问题 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题11111AELFLN33333AELFLN几何方程变

25、形协调方程：物理方程弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:cos31LLcos33331111AELFAELFNN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEFAEFAEAEFAEFFNNNCABD123A11L2L3L46 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。超静定问题的方法步骤：超静定问题的方法步骤：47 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题例例5-4-25-4-2 木制短柱

26、的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷F F 。0421FFFFNNy21LL2222211111LAELFAELFLNN几何方程物理方程及补充方程：平衡方程:解：解：F4FN1FN2F48 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题 解平衡方程和补充方程:FFFFNN72. 0 ;07. 021 11107. 0AFFN求结构的许可载荷：角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0AFFNkN1042

27、72. 0/1225072. 0/2222AF kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AF4FN1FN2FF49 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题 mm8 . 0/111ELLmm2 . 1/222ELL所以在所以在L1 1= =L2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。 07. 0 07. 0111AFFNkN4 .70507. 06 .308160 若将钢的面积增大若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 若将木的面积变为若将木的面积变为25mm，又，又怎样？怎样？结构的最大载

28、荷永远由角钢控制着结构的最大载荷永远由角钢控制着。方法方法2:2:50 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题、几何方程解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。0sinsin21NNxFFF0coscos321NNNyFFFF13cos)(LL2 2、装配应力、装配应力预应力预应力1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。 如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13A1FN1FN2FN3AA13L2L1L51 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题cos)(33331111AELFAELFNN、物理方程及补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELFFNN / cos21cos23311331133AEAEAELFN52 5 5- -4 4 简单超静定问题简单超静定问题（1 1）静定问题无温度应力。）静定问题无温度应力。3 3 、温度应力、温度应力 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为i ; T=