高中数学选修2-1新教学案211曲线方程

1、211 曲线与方程（学案）【知识要点】 1曲线的方程；2方程的曲线【学习要求】 1结合已学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系；2进一步感受数形结合的基本思想 【预习提纲】 (根据以下提纲，预习教材第3435页)1 直线的方程是，这句话的含义：（1） 以方程的 为坐标的点都在直线上；（2） 直线上点的 都是这个方程的解2 在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线方程是x一y=0这里的“曲线”是指 ；“方程”是指 3.在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立如下的关系：(1) ；(2) 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 4如果曲线C

2、的方程是f（x，y）=0，那么点P0(x0，y0)在曲线c上的充要条件是 【基础练习】1曲线C的方程为y=x(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是( ) (A)(0，0) (B)(，) (C)(1，5) (D)(4，4)2“以方程f（x，y）=0的解为坐标的点都是曲线C上的点"是“曲线C的方程是f（x，y）=0"的( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (C)既不充分也不必要条件3下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) (A)y=与y2=x (B)y=x与 (C)y2-x2=O与|y |=|x| (D)y=lgx2与y=2 lgx4方程(x+2)2+

3、y2=O表示的图形是( ) (A)点(2，O) (B)点(一2，O) (C)点(O，2) (D)点(O，一2) 5. 若方程ax2+by=4表示的曲线经过点A(O，2)和B(，)，则a= ，b = 6.方程表示 【典型例题】例1已知方程（1） 判断点是否在此方程表示的曲线上；（2） 若点在此方程表示的曲线上，求的值例2下列命题正确的是( )(A)方程表示斜率为1，在y轴上截距为一2的直线方程(B)ABC的三个顶点是A(一3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x=0(C)到y轴距离为2的点的轨迹方程是x=2(D)方程y=表示两条射线例3证明与两条坐标轴的距离的积

4、是常数的点的轨迹方程是例4方程表示什么曲线1. 如果命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上”不正确，那么以下命题正确的是( )(A)曲线C上的点的坐标都满足方程f（x，y）=0(B)坐标满足方程f（x，y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上(C)坐标满足方程f（x，y）=0的点都不在曲线上(D)一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f（x，y）=0 . 2方程表示的图形是( ) (A)两个点 (B)四个点 (C)两条直线 (D)四条直线3. 方程x2-y2=0对应的曲线是( )4. 已知坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上，那么( ) (A)曲线C上的点的坐标都适合方

5、程f（x，y）=0 (B)凡坐标不适合f（x，y）=的点都不在C上 (C)不在C上的点的坐标必不适合f（x，y）=0(D)不在c上的点的坐标有些适合f（x，y）=0, 有些不适合f（x，y）=05方程x2+xy=x表示的曲线是( ) (A)一个点 (B)一条直线 (C)两条直线 (D)一个点和一条直线6. 曲线与的交点坐标是( ) (A)(1，1) (B) (2，2) (C)直角坐标系内的任意点 （D）不存在7曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=O与x轴的交点坐标是 8.方程表示的曲线是两条线段 和 9证明：到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是10若曲线y2=xy+2x+k通过点(a,-a)

6、，aR，求k的取值范围211 曲线与方程（教案）【教学目标】1结合已学过的曲线及方程的实例，了解曲线与方程的对应关系；2进一步感受数形结合的基本思想【重点】 1. 曲线及方程的概念的理解【难点】1. 曲线的点的坐标与方程的解的对应关系的理解 【预习提纲】 (根据以下提纲，预习教材第3435页)1.直线的方程是，这句话的含义：（3） 以方程的解为坐标的点都在直线上；（4） 直线上点的坐标都是这个方程的解2.在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线方程是x一y=0这里的“曲线”是指 方程是x一y=0 的直线 ；“方程”是指 平分第一、三象限方程是x一y=0的直线 3.在直角坐标系中，如果某曲线C上的

7、点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立如下的关系：(1) 曲线上点的坐标都是这个方程的解 ；(2) 以方程的解为坐标的点都在曲线上 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 4如果曲线C的方程是f（x，y）=0，那么点P0(x0，y0)在曲线c上的充要条件是 f(x0，y0) =0 【基础练习】1曲线C的方程为y=x(1x5)，则下列四点中在曲线C上的是( D ) (A)(0，0) (B)(，) (C)(1，5) (D)(4，4)2“以方程f（x，y）=0的解为坐标的点都是曲线C上的点"是“曲线C的方程是f（x，y）=0"的( B ) (A)充分条件 (B

8、)必要条件 (C)充要条件 (C)既不充分也不必要条件3下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( C ) (A)y=与y2=x (B)y=x与 (C)y2-x2=O与|y |=|x| (D)y=lgx2与y=2 lgx4方程(x+2)2+y2=O表示的图形是( B ) (A)点(2，O) (B)点(一2，O) (C)点(O，2) (D)点(O，一2) 5. 若方程ax2+by=4表示的曲线经过点A(O，2)和B(，)，则a= ，b = 2 6.方程表示两条直线【典型例题】例1已知方程（3） 判断点是否在此方程表示的曲线上；（4） 若点在此方程表示的曲线上，求的值【审题要津】由曲线的方程与方程

9、的曲线的定义知：若点的坐标适合方程，则该点必在曲线上；若点在曲线上，则该点的坐标必适合方程解：（1）在此方程表示的曲线上，不在此方程表示的曲线上（2）在方程表示的曲线上，解得或故或【方法总结】如果曲线C的方程是f（x，y）=0，那么点P0(x0，y0)在曲线c上的充要条件是 f(x0，y0) =0 例2下列命题正确的是( )(A)方程表示斜率为1，在y轴上截距为一2的直线方程(B)ABC的三个顶点是A(一3，0)，B(3，0)，C(0，3)，则中线CO(O为坐标原点)的方程是x=0(C)到y轴距离为2的点的轨迹方程是x=2(D)方程y=表示两条射线【审题要津】利用曲线的方程与方程的曲线的定义突

10、出的两个方面：曲线C上的点的坐标与方程f（x，y）=0的解是一一对应的进行判断解：(A)方程化为整式时产生增根，故(A)错 (B) ABC的中线CO(O为坐标原点)是线段CO而不是整条直线，故(B)错(C)到y轴距离为2的点的轨迹方程有两条即x=2或x=-2，故(CA)错(D) ，表示两条射线【方法总结】（1）解决选择题时可采用排除法；（2）化简方程时注意变形的等价性以免增根或漏根例3证明与两条坐标轴的距离的积是常数的点的轨迹方程是【审题要津】此题直接考察了曲线的方程的定义，可从定义的两个方面判断理解证明：（1）设是轨迹上任意一点，则到轴的距离为，与轴的距离为，所以，即是方程的解（2）设点的坐

11、标是的解，则，即因为为到轴的距离，为到轴的距离，所以到两轴的距离的积是常数点是曲线上的点【方法总结】曲线的方程与方程的曲线的定义突出了两个方面，即曲线C上的点的坐标与方程f（x，y）=0的解是一一对应的例4方程表示什么曲线【审题要津】利用曲线的方程研究曲线的性质，一般通过化简将复杂的方程转化为熟悉的方程便于判断解：由可得即由圆的圆心到直线的距离，得直线与圆相交，表示直线在圆外的部分故原方程表示圆心在原点，半径为2的圆和斜率为-1，纵截距为1的直线在圆外的部分【方法总结】（1）化简方程常通过分类讨论、因式分解、平方、开方、分式与整式间的转化等手段变形；（2）化简时注意变形的等价性以免增根或漏根1

12、. 如果命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上”不正确，那么以下命题正确的是( D )(A)曲线C上的点的坐标都满足方程f（x，y）=0(B)坐标满足方程f（x，y）=0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上(C)坐标满足方程f（x，y）=0的点都不在曲线上(D)一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f（x，y）=0 . 2方程表示的图形是( D ) (A)两个点 (B)四个点 (C)两条直线 (D)四条直线3. 方程x2-y2=0对应的曲线是( C )4. 已知坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上，那么( C ) (A)曲线C上的点的坐标都适合方程f（x，y）=0 (B)凡坐标不适合f（x，y）=的点都不在C上 (C)不在C上的点的坐标必不适合f（x，y）=0(D)不在c上的点的坐标有些适合f（x，y）=0, 有些不适合f（x，y）=05方程x2+xy=x表示的曲线是( C ) (A)一个点 (B)一条直线 (C)两条直线 (D)一个点和一条直线6. 曲线与的交点坐标是( D ) (A)(1，1) (B) (2，2) (C)直角坐标系内的任意点 （D）不存在7曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=O与x轴的交点坐标是(4，O)和(一l，O)8.方程表示的曲线是两条线段和9证明：到两坐标轴的距