万有引力与航天专题

1、万有引力与航天 专题基本知识：1万有引力：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与 成正比，与它们之间 成反比2公式：F ，其中G N·m2/kg2，叫引力常量3适用条件：公式适用于 间的相互作用当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是 间的距离；一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r为球心到 间的距离4、三种宇宙速度宇宙速度数值(km/s)意 义第一宇宙速度7.9卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度（最大环绕速度）若7.9 km/sv<11.2 km/s，物体绕 运行(环绕速度) 第二宇宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚

2、的最小发射速度若11.2 km/sv<16.7 km/s，物体绕 运行(脱离速度) 第三宇宙速度16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度若v16.7 km/s，物体将脱离 在宇宙空间运行(逃逸速度)5、同步卫星的特点1、 轨道平面一定：与赤道共面。2、 周期一定：T=24h，与地球自转周期相同。3、 角速度一定：与地球自转角速度相同。4、 绕行方向一定：与地球自转方向一致。5、 高度一定：由。6、 线速度大小一定：。7、 向心加速度一定：。6.万有引力定律应用的基本方法：(1)把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供“万能”连等式：Gman=mm2rm()2rm(2f)2

3、r（2）不考虑中心天体的自转。黄金代换式：（表面）， （h高处）【练习1】(2009·浙江高考)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是（ ）A 太阳引力远大于月球引力 B 太阳引力与月球引力相差不大C月球对不同区域海水的吸引力大小相D月球对不同区域海水的吸引力大小有差异【练习2】某星球质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的，在该星球上发射卫星，其第一宇宙速度是多少？【练习3】据报

4、道，我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道关于成功定点后的“天链一号01星”，下列说法正确的是（ ）A 运行速度大于7.9 km/s B 离地面高度一定，相对地面静止C绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大D向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等练习答案：1：AD，2： 3:AC万有引力与航天常见的考题类型类型一：天体的质量M、密度的估算（1）测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T，由Gm()2r，可得天体质量为：M.该中心天体密度为：（R为中心

5、天体的半径）当卫星沿中心天体表面运行时，rR，则.（2）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.由于Gmg，故天体质量M，天体密度.【例1】下列几组数据中能算出地球质量的是（万有引力常量G是已知的）（ ）A.地球绕太阳运行的周期T和地球中心离太阳中心的距离rB.月球绕地球运行的周期T和地球的半径rC.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离rD.月球绕地球运动的周期T和轨道半径r解析解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以A项不对已知月球绕地球运行的周期和地球的半

6、径，不知道月球绕地球的轨道半径，所以不能求地球的质量，所以B项不对已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由可以求出中心天体地球的质量，所以C项正确由求得地球质量为，所以D项正确【例2】已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为A6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时【解析】地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7R1，密度1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度2。根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有 两式化简得小时【例3】.

7、土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从1m到10 m的岩石、尘埃,类似于卫星,它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h,引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2,则土星的质量约为（估算时不考虑环中颗粒间的相互作用） ( )A.9.0×1016 kg B.6.4×1017 kg C.9.0×1025 kg D.6.4×1026 kg解析 由万有引力作用提供向心力得所以M=6.4×1026kg【例4】

8、天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的4.7倍，是地球的25倍。已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,由此估算该行星的平均密度为 （ ）A.1.8×103kg/m3 B. 5.6×103kg/m3 C. 1.1×104kg/m3 D.2.9×104kg/m3解析：本题考查天体运动的知识.首先根据近地卫星饶地球运动的向心力由万有引力提供,可求出地球的质量.然后根据,可得该行星的密度约为2.9×104kg/m3。【例5】我国探月的“嫦娥工程”已经启动

9、,在不久的将来,我国宇航员将登上月球.假如宇航员在月球上测得摆长为l的单摆做小振幅振动的周期为T,将月球视为密度均匀、半径为r的球体,则月球的密度为 ( )A. B. C.D.解析 由T=2得：得:GM=gr2,而M=,联立得：.类型二：卫星的运行和变轨问题1人造卫星的动力学特征万有引力提供向心力即Gmmr2m()2r 2人造卫星的运动学特征（1）向心加速度：由 得，随着轨道半径的增加，卫星的向心加速度减小。（2）由线速度v：由Gm 得v ，随着轨道半径的增加，卫星的线速度减小。（3）角速度：由Gm2r 得 ，随着轨道半径的增加，卫星的角速度减小。 （4）周期T：由Gmr 得T2，随着轨道半径

10、的增加，卫星的周期增大。3卫星的环绕速度和发射速度不同高度处的人造地球卫星在圆轨道上运行速度，其大小随半径的增大而减小但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功，因此将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，即v发射v环绕，所以近地人造地球卫星的速度是最大环绕速度，也是人造卫星的最小发射速度4人造地球卫星的超重和失重(1)人造地球卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态(2)人造地球卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，因此处于完全失重状态在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都不会发生因此

11、，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用同理，与重力有关的实验也将无法进行（如：天平、水银气压计等）5.卫星的变轨卫星做匀速圆周运动时满足：Gma = mmr2mr()2当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行(1)当v增大时，所需向心力m增大，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由v 知其运行速度要减小，但重力势能、机械能均增加(2)当卫星的速度突然减小时，向心力减小，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨

12、道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由v 知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减少(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)(3)从能量角度分析变轨问题的方法把椭圆轨道按平均半径考虑，根据轨道半径越大，卫星的机械能越大，卫星在各轨道之间变轨的话，若从低轨道进入高轨道，则能量增加，需要加速；若从高轨道进入低轨道，则能量减少，需要减速。人造卫星的机械能：E=EK+EP（机械能为动能和引力势能之和），动能，由运行速度决定；引力势能由轨道半径（离地高度）决定，r增大，动能减小，引力势能增大，但，所以卫星的机械能随着轨道半径（离地高度）增大而增大。【例1】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星

13、，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)下列说法中正确的是（ ）Aa、b的线速度大小之比是 1Ba、b的周期之比是12 Ca、b的角速度大小之比是3 4Da、b的向心加速度大小之比是94【例2】如图442所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的3颗人造卫星，下列说法正确的是()Ab、c的线速度大小相等，且大于a的线速度Bb、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度Cc加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的cDa卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大【例3】某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r

14、1，后来变为r2(r2<r1)，用Ek1、Ek2表示卫星在这两个轨道上的动能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则() AEk2<Ek1，T2<T1 BEk2<Ek1，T2>T1CEk2>Ek1，T2<T1 DEk2>Ek1，T2>T1【例4】人造卫星首次进入的是距地面高度近地点为200km，远地点为340km的椭圆轨道，在飞行第五圈的时候，飞船从椭圆轨道运行到以远地点为半径的圆形轨道上，如图所示，试处理以下几个问题（地球半径R=6370km，g=9.8m/s2）轨道地球轨道QP（1）飞船在椭圆轨道1上运行，Q为近地点，P为远地点

15、，当飞船运动到P点时点火，使飞船沿圆轨道2运行，以下说法正确的是（ ）A飞船在Q点的万有引力大于该点所需的向心力B飞船在P点的万有引力大于该点所需的向心力C飞船在轨道上P点的速度小于轨道上P的速度D、飞船在轨道上P点的加速度小于轨道上P的加速度（2）假设由于飞船的特殊需要，中国的一艘原本在圆轨道运行的飞船前往与之对接，则飞船一定是（ ）A从较低轨道上加速 B. 从较高轨道上加速C. 从同一轨道上加速 D. 从任意轨道上加速【例5】2008年9月25日至28日我国成功实施了“神舟”七号载人航天飞行并实现了航天员首次出舱。如图3所示，飞船先沿椭圆轨道飞行，后在远地点343千米处点火加速，由椭圆轨道

16、变成高度为343千米的圆轨道，在此圆轨道上飞船运行周期约为90分钟。下列判断正确的是：A飞船在变轨前后的机械能相等B飞船在圆轨道上时航天员出舱前后都处于失重状态C飞船在此圆轨道上运动的角速度大于同步卫星运动的角速度D飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时的加速度大于变轨后圆轨道运动的加速度解析：飞船变轨前后，由于推进火箭的做功，飞船的机械能不守恒，A错；飞船在圆轨道上运动时时万有引力来提供向心力，航天员出舱前后都处于失重状态，B对；飞船在此圆轨道上运动的周期90分钟小于同步卫星运动的周期24小时，根据可知，飞船在此圆轨道上运动的角度速度大于同步卫星运动的角速度，C对。飞船变轨前通过椭圆轨道远地点时只有

17、万有引力来提供加速度，变轨后沿圆轨道运动也是只有万有引力来提供加速度，沿两轨道运动经过该点时，所受万有引力相等，有牛二定律知加速度相等，D错。本题选BC。答案：（1） ，（2）D （3）C ,（4）BC,A类型三：“双星模型”问题m1m2r1r2O在天体模型中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕两球连线上某点做周期相同的匀速圆周运动如图（1）双星夹圆心，且始终在同一直线上，靠彼此间的万有引力提供向心力（2）具有相同的周期T和角速度（3）轨道半径和质量成反比（4）双星总质量 （其中L为双星间距，T为周期）【例1】两靠得较近的天体组成的系统成为双星，它们以两者连线

18、上某点为圆心做匀速圆周运动，因而不至于由于引力作用而吸引在一起。设两天体的质量分布为和，则它们的轨道半径之比_；速度之比_。【例2】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）【解析】：设两颗恒星的质量分别为m1、m2，做圆周运动的半径分别为r1、r2，角速度分别为1、2。根据题意有根据万有引力定律和牛顿定律，有G G 联立以上各式解得 根据解速度

19、与周期的关系知 联立式解得类型四：星际相距最远和最近及追击问题 1、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到再次相距最近所需最短时间：据则， 而 则2、从相距最近（两星在中心天体的同侧且三星共线）到相距最远（两星在中心天体的两侧且三星共线）所需最短时间：据则， 而 则3、卫星的追击问题 由知，同一轨道上的两颗卫星，周期T相同，后面的不可能追上前面的。卫星绕中心天体的半径越大，T越大。同一半径方向不同轨道的两颗卫星（设周期分别为T1、T2 ，且T1T2）再次相遇的时间满足，或。【例1】太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排

20、成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火里冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是 地球火星木星土星天王星海王星轨道半径（AU）1.01.55.29.51930A各地外行星每年都会出现冲日现象B在2015年内一定会出现木星冲日C天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短【解析】本题考查万有引力知识，开普勒行星第三定律，天体追及问题。因为冲日现象实质上是角速度大的天体转过的弧

21、度恰好比角速度小的天体多出2，所以不可能每年都出现，A选项错误；由开普勒行星第三定律有140.608，周期的近似比值为12，故木星的周期约为12年，由曲线运动追及公式2n，将n1代入可得t年，为木星两次冲日的时间间隔，所以2015年能看到木星冲日现象，B正确；同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为1.01年，土星两次冲日的时间间隔为1.03年，海王星两次冲日的时间间隔为1.006年，由此可知C错误、D正确。【练习】两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面高度为3R，则：(1)a、b两卫星周期之比TaTb是多少？(2)若某时刻两卫星正好通

22、过地面同一点的正上方，则a至少经过多少个周期两卫星相距最远？类型五：天体的不瓦解问题在赤道处的物体最容易脱离天体:（当FN=0将瓦解）而.故不瓦解的条件是【例】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为 。问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。解析：设中子星的质量为M，赤道半径是R，对于中子星赤道上质量为m的部分物质，有关系式： ，而 ，代入数据解得： 类型六：赤道上、近地卫星上、同步卫星上的同物比较角速度周期线速度向心加速度向心力赤道上近地卫星上同步卫星上

23、同物比较【例1】如图，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动设e、p、q的圆周运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则(D) A v1>v2>v3 Bv1<v2<v3 Ca1>a2>a3 Da1<a3<a2【例2】研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时。假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在相比A距地球的高度变大  B向心加速度变大   C线速度变大   D加

24、速度变大【解析】同步卫星与地球的自转周期相同，根据万有引力提供向心力，有： ，地球自转在逐渐变慢，地球的自转周期变大，那么同步卫星的角速度变小，同步卫星离地高度将变大，A项正确、D项错误；由可知，同步卫星的向心加速度将减小，B项错误；。由可知，线速度变小，C项错误。【例3】已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为A6小时 B. 12小时 C. 24小时 D. 36小时【解析】设地球半径为R1，某行星的半径为R2，则地球的同步卫星的周期为T1=24小时，轨道半径为r1=7

25、R1，密度1。某行星的同步卫星周期为T2，轨道半径为r2=3.5R2，密度2=1/2。地球质量M1=1·R13，某行星的质量M2=2·R23，根据牛顿第二定律和万有引力定律分别有 ， 两式化简得T2= T1/2=12小时，选项B正确。【例4】发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火。将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则当卫星分别在1，2，3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是A卫星在轨道3上的速率大于在轨道1的速率B卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C卫星在轨道1上经过Q

26、点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D卫星在轨道2上经过P点的加速度等于它在轨道3上经过P点的加速度【解析】由万有引力等于向心力可得，卫星轨道半径越小，环绕速度越大，角速度越大，卫星在轨道3上的速率小于在轨道1的速率，卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度，选项A错误B正确；卫星在轨道1上经过Q点时和它在轨道2上经过Q点时所受万有引力相等，加速度相等，选项C错误；卫星在轨道2上经过P点时和它在轨道3上经过P点时所受万有引力相等，加速度相等，选项D正确。类型七：万有引力与抛体运动的综合（1）由黄金代换得g （2）由抛体运动或牛顿运动定律得g我国在2010年实现探月计划“嫦娥工程”同学们也对月球有了更多的关注(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看成匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t，小球落回抛出点已知月球半径为r，万有引力常量为G，试求出月球的质量M月【例】在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来。假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水