导数与零点(含答案)

1、导数与零点考点一。求参数取值范围、一,1990(1)设函数f(x)x3x26xa,若方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围.22解：(1)f(x)3x9x63(x1)(x2),因为当x1时，f(x)0;当1x2时，f(x)0;当x2时,5f(x)0;所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a;当x2时，f(x)取极小值f(2)2a;25故当f(2)0或f(1)0时，方程f(x)0仅有一个实根.解得a2或a5.2(2)已知函数f(x)x33ax1,(a0)，若f(x)在x1处取得极值，直线y=m与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解：f(x)3x23a3(x2a),因为f(

2、x)在x1处取得极大值，所以f(1)3(1)23a0,a1.32所以f(x)x3x1,f(x)3x3,由f(x)0解得x11凶1f(x)在x1处取得极大值f(1)1,在x1处取得极小值f(1)3,又直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同点，则m的范围是(3,1)。(3)已知函数f(x)x2xsinxcosx,若曲线yf(x)与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围.解：由f(x)x2xsinxcosx,得f(x)x(2cosx),令f(x)0,得x0.函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0,)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值.当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个

3、交点；当b1时，yf(x)与直线yb有且只有两个不同交点.综上可知，b的取值范围是(1,).(4)已知函数11f(x) x 1 x e ，若直线l : y kx 1与曲线y f(x)没有公共点，求k的最大值.解：f x x1与曲线y f x没有公共点，等价于关于x的方程kx 1 x11一直线l:ykxxe，1,R上没有实数解，即关于x的方程：k1x在R上没有实数解.e1当k1时，万程(*)可化为=0,在R上没有实数解.e1当k1时，万程(*)化为xe.令gxxe,则有gx1xe.令gx0,得x1,k111当x1时，gx,同时当x趋于时，gx趋于，从而gx的取值范围为一，.ee,11,、，一、，

4、一I,一I八，I一一，一，所以当，,1时，方程(*)无实数解，解得k的取值范围是1e,1.综上，得k的最大值为1.k1e考点二。判断零点个数，证明x12(1)已知函数f(x)e,xR.证明：曲线y=f(x)与曲线y-xx1有唯一公共点.“11c证明：令h(x)f(x)-xx1e-xx1,xR,则22h(x)exx1,h(x)的导数h(x)ex1,且h(0)0,h(0)0,h(0)0当x。时h(x)0yh(x)单调递减；当x。时h”(x)0yh(x)单调递增yh(x)h(0)0,所以yh(x)在R上单调递增，最多有一个零点x01o.所以，曲线y=f(x)与曲线yx2x1只有唯一公共点(0,1).

5、23(2)已知函数f(x)xsinx,判断函数f(x)在(0,兀)内的零点个数，并加以证明。23斛：f(x)xsinxh(x)f(x)sinxxcosx233当x0,时，f(x)0yf(x)在(0,上单倜递增，f(0)f(一)0yf(x)在(0,222222上有唯一零点当x 2,时,h (x)2cos xxsinx 0J)当* -,上单调递减,f ( )f(-)20 存在2唯一x0(-,)使f(x0)0由得：函数f(x)在(0,)内有两个零点。O。),f (x)在区间(0,1)内均存在零点.(3)已知函数f(x)4x33tx26t2xt1,证明：对任意的t(0,解：f(x)12x26tx6t2

6、,令f(x)0,解得xt或x-.2内单调递增，以下分两种情况讨论:当t0时，f(x)在0,-内的单调递减，在-,22t2(1)当1,即t2时，f(x)在(0,1)内单倜递减，f(0)t10,f(1)6t4t3644230.2所以对任意t2,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。(2)当0-1,即0t2时，f(x)在0,-内单调递减，在-,1内单调递增，2224t 3 6t 4t 3 2t 3 0.-t7373-2若t(0,1,ft3t1-t30.,f(1)6t2244所以f(x)在-,1内存在零点。2t(1，2)，f :7t3t1-t310.,f(0)t10,所以f(x)在0,-内存在零点

7、。442所以，对任意t (0,),f(x)在区间(0, 1)内均存在零点。(4)已知a, b是实数，1和1是函数f(x) x3ax2 bx的两个极值点，设h(x)f(f(x) c,其中 c 2,2,解：由 f(x) x3 ax2 bx,得 f(x)求函数yh(x)的零点个数.x3 3x ,3x22axb,.1和1是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点,f(1)32ab=0,f(1)32ab=0,解得a=0,b=3,则f(x)令f(x)=t,则h(x)f(t)c,先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况：d2,2。当d=2时，f(x尸2的两个不同的根为1和一2,f(x)是奇函数，f(x)=2的两

8、个不同的根为-1和2。当|d0,f(1)d=f(2)d=2d0，于是f(x)是单调增函数，从而f(x)f(2)=2，此时f(x)=d在2,无实根。当x1,2时.f(x)0,于是f(x)是单调增函数。又=f(1)d0,y=f(x)d的图象不间断，f(x)=d在(1,2)内有唯一实根。同理，f(x)=d在(一2,I)内有唯一实根。当x1,1时，f(x)0,f(1)d0,y=f(x)d的图象不间断，f(x)=d在(1,1)内有唯一实根。因此，当d=2时，f(x)=d有两个不同的根x,x2满足x1=1,x2=2；当d2时f(x)=d有三个不同的根治，x,%,满足X2,i=3,4,5,现考虑函数yh(x)的零点：(i)当c=2时，f(t)=c有两个根。t2,满足t1=1,t2=2。而f(x)=t1有三个不同的根，f(x)=t2有两个不同的根，故yh(