数学模型 种群的相互竞争

1、种群的相互竞争种群的相互竞争 一个自然环境中有两个种群生存，它们之间一个自然环境中有两个种群生存，它们之间的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。的关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。 当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间当两个种群为争夺同一食物来源和生存空间相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。竞争力强的达到环境容许的最大容量。 建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。分析产生这种结局的条件。221122221)(NxNxxrtx)1 ()(1111

2、1Nxxrtx111111)(Nxxrtx 模型假设模型假设 有甲乙两个种群，它们独自生存有甲乙两个种群，它们独自生存时数量变化均服从时数量变化均服从Logistic规律规律;)1 ()(22222Nxxrtx 两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作两种群在一起生存时，乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比用与乙的数量成正比; 甲对乙有同样的作用。甲对乙有同样的作用。对于消耗甲的资源而对于消耗甲的资源而言，乙言，乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对于相对于N1) 的的 1 倍。倍。11对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙大于甲作用，乙大于甲乙的竞争力强乙的竞争力强模型模型221Nx模型模型分析分

3、析221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx的趋向时)(),(21txtxt(平衡点及其稳定性平衡点及其稳定性)(二阶二阶)非线性非线性(自治自治)方程方程),()(),()(212211xxgtxxxftx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点P0(x10, x20) 代数方程代数方程0),(0),(2121xxgxxf的根的根若从若从P0某邻域的任一初值出发，都有某邻域的任一初值出发，都有,)(lim011xtxt称称P0是微分方程的是微分方程的稳定平衡点稳定平衡点,)(lim022xtxt模型模型判断判断P0 (x10,x20) 稳定稳定性的方

4、法性的方法直接法直接法(1)的近似线性方程的近似线性方程) 1 (),()(),()(212211xxgtxxxftx)2()(,()(,()()(,()(,()(0220201011020120220201011020112121xxxxgxxxxgtxxxxxfxxxxftxxxxx02121PxxxxggffAAqgfpqpPxxdet)(00212平衡点平衡点 P0稳定稳定(对对2,1)p 0 且且 q 0平衡点平衡点 P0不稳定不稳定(对对2,1)p 0 或或 q 0),0(),0 ,(2211NPNP平衡点：01),(01),(221122221221111121NxNxxrxxg

5、NxNxxrxxf221111111)(NxNxxrtx221122221)(NxNxxrtx仅当仅当 1, 2 1时，时，P3才有意义才有意义模型模型)0 , 0(,1)1 (,1)1 (4212221113PNNP2211221222211122111121212121NxNxrNxrNxrNxNxrggffAxxxx平衡点稳平衡点稳定性分析定性分析4 , 3 , 2 , 1,det,)(21iAqgfpipipxx2211222212211111211),(1),(NxNxxrxxgNxNxxrxxf平衡点平衡点 Pi 稳定条件：稳定条件： p 0 且且 q 0种群竞争模型的平衡点及稳定

6、性种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定不稳定平平 衡点衡点)0 ,(11Np)1 (221rrpq)1 (221 rr), 0(22Np211)1 (rr)1 (121 rr2122211131)1 (,1)1 (NNp2121211)1)(1 (rr)0 , 0(4p)(21rr 21rr2122111)1 ()1 (rr 21, 11, P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3 是两种群共存的平衡点是两种群共存的平衡点 11, 21P1稳定的条件稳定的条件 11 ? 11 21, 11P1, P2都不都不(局部局部)稳定稳定1x2x12/N21/N1N2N03P00(3) 11, 21, 21, 21加上与加上与(4)相区别的相区别的 11 P2 稳定稳定 P3 稳定稳定P1全局稳定全局稳定结果解释结果解释对于消耗甲的资源而言，对于消耗甲的资源而言，乙乙(相对于相对于N2)是甲是甲(相对相对于于N1)的的 1 倍。倍。11对甲增长的阻滞对甲增长的阻滞作用，乙小于甲作用，乙小于甲乙的竞争力弱乙的竞争力弱 P1稳定的条件：稳定的条件： 11 21 甲