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文档简介
1、 分式方程的增根与无解讲解 例1 解方程 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2)解这个方程,得x=2经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=是原方程的增根所以原方程无解例2 解方程解:去分母后化为x13x2(2x)整理得0x8因为此方程无解,所以原分式方程无解例3(2007湖北荆门)若方程=无解,则m=解:原方程可化为=方程两边都乘以x2,得x3=m解这个方程,得x=3m因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根即x=2,所以2=3m,解得m=1故当m=1时,原方程无解例4当a为何值时,关于x的方程会产生增根?解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(
2、x2)ax3(x2)整理得(a1)x10 若原分式方程有增根,则x2或2是方程的根把x2或2代入方程中,解得,a4或6若将此题“会产生增根”改为“无解”,即:当a为何值时,关于x的方程无解?此时还要考虑转化后的整式方程(a1)x10本身无解的情况,解法如下:解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x2)ax3(x2)整理得(a1)x10 若原方程无解,则有两种情形:(1)当a10(即a1)时,方程为0x10,此方程无解,所以原方程无解。(2)如果方程的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解原方程若有增根,增根为x2或2,把x2或2代入方程中,求出a4或6综上所述,a1或a一或a6时
3、,原分式方程无解例5:(2005扬州中考题) 若方程-=1有增根,则它的增根是( ) A、0 B、1 C、-1 D、1或-1分析:使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。原方程易化成整式方程:6-m(x+1)=x2-1整理得: m(x+1)=7-x2 当x= -1时,此时m 无解; 当x=1时,解得m=3。 由此可得答案为B。例6:关于x的方程-2=有一个正数解,求m的取值范围。分析:把m看成常数求解,由方程的解是正数,确定m的取值范围,但不能忽略产生增根时m的值。原方程易化为整式方程:x-2 (x-3)=m
4、整理得:x=6-m原方程有解,故6-m不是增根。6-m3 即m3x0m6由此可得答案为m的取值范围是m6且m3。一、 分式方程有增根,求参数值例7 a为何值时,关于x的方程=0有增根?解:原方程两边同乘以(x-3)去分母整理,得x2-4x+a=0()因为分式方程有增根,增根为x=3,把x=3代入()得,9-12+a=0 a=3所以a=3时,=0有增根。例8 m为何值时,关于x的方程+=有增根。解:原方程两边同乘以(x-1)(x-2)去分母整理,得(1+m)x=3m+4()因为分式方程有增根,据性质(2)知:增根为x=1或x=2。把x=1代入(),解得m=-;把x=2代入()得m=-2所以m=-
5、或-2时,原分式方程有增根点评:分式方程有增根,不一定分式方程无解(无实根),如方程+1=有增根,可求得k=-,但分式方程这时有一实根x=。二、 分式方程是无实数解,求参数值例9 若关于x的方程=+2无实数,求m的值。 解:去分母,得x-2=m+2x-10,x=-m+8 因为原方程无解,所以x=-m+8为原方程的增根。 又由于原方程的增根为x=5,所以-m+8=5 所以m=3例10若解分式方程产生增根,则m的值是( ) A. B. C. D. 分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:化简原方程为:把代入解得,故选择D。 例11. m为何值时,关于x的方程会产生增根? 解:方程两边都乘以,得 整理,得 说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根 例12、 解方程: 分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。 解:由原方程得: 即 例13、若解分式方程产生增根,则m的值是( ) A. B. C. D. 分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:化简
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