高等数学级数

1、下 页上 页 返 回第十一章第十一章 级数级数第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法下 页上 页 返 回无无穷穷级级数数的的收收敛敛与与发发散散一一、 收敛，收敛，则称级数则称级数，若若 1 limnnnnuSS. 1SuSnn 记为记为称为该级数的和，称为该级数的和，且且.1发散发散则称级数则称级数 nnu级数收敛：级数收敛：、 1级数发散：级数发散：、 2不存在，不存在，若极限若极限nnS lim两两个个特特殊殊级级数数的的敛敛散散性性、 3.1 1)1(11时发散时发散当当时收敛，时收敛，当当等比级数等比级数 qqaqnn.lim 1存在存在收敛收敛级数级数说明：说明：nnn

2、nSu .lim1不存在不存在发散发散级数级数nnnnSu .1 11)2(1时发散时发散当当时收敛，时收敛，当当级数级数 ppnpnp下 页上 页 返 回级级数数的的基基本本性性质质二二、 , )( 2111 SvuSvunnnnnnn且其和为且其和为也收敛，也收敛，则级数则级数，、收敛且和为收敛且和为、设级数设级数、，且和为且和为收敛，收敛，则级数则级数，收敛且和为收敛且和为设级数设级数、kSkuSunnnn 111 . 0 11的敛散性相同的敛散性相同与与级数级数时，时，当当说明：说明： nnnnkuuk.11 nnnnukku即即. )(111 nnnnnnnvuvu即即. 3其和一般

3、是改变的其和一般是改变的但在收敛时，但在收敛时，的敛散性，的敛散性，不改变级数不改变级数项，项，增加或改变级数的有限增加或改变级数的有限去掉、去掉、. , 4且其和不变且其和不变级数仍收敛级数仍收敛收敛级数加括弧后所得收敛级数加括弧后所得、. 级数未必收敛级数未必收敛收敛级数去括弧后所得收敛级数去括弧后所得说明：说明：. 则原级数发散则原级数发散发散，发散，若加括弧后所得的级数若加括弧后所得的级数推论：推论：下 页上 页 返 回级级数数收收敛敛的的必必要要条条件件三三、 . 0lim 11 nnnnuu则则收敛，收敛，设级数设级数必要条件：必要条件：、. 0lim 21发散发散则级数则级数，设

4、设推论：推论：、 nnnnuau两两点点说说明明：、 3.0lim)2(1收敛收敛级数级数由由 nnnnuu.(1)断级数发散的方法断级数发散的方法上述推论给出了一个判上述推论给出了一个判有有界界部部分分和和数数列列收收敛敛正正项项级级数数1nnnSu 正正项项级级数数的的审审敛敛法法四四、 收收敛敛的的充充分分必必要要条条件件、 1下 页上 页 返 回，且且均为正项级数，均为正项级数，和和设设nnnnnnvuvu 11也收敛；也收敛；则则收敛，收敛，若若 11 )1(nnnnuv. )2(11也发散也发散则则发散，发散，若若 nnnnvu比比较较判判别别法法、 2收敛收敛收敛收敛 11)1(

5、nnnnvu发散发散发散发散 11)2(nnnnuv.1 111 npnnnpaq级级数数、等等比比级级数数参参考考级级数数：注：反过来不成立，即注：反过来不成立，即下 页上 页 返 回，则，则且且均为正项级数，均为正项级数，和和设设lvuvunnnnnnn lim 11敛散性相同；敛散性相同；与与级数级数时，时，当当 11 0(1)nnnnvul收敛；收敛；级数级数收敛时，收敛时，且且当当 11 0)2(nnnnuvl. )3(11发散发散级数级数发散时，发散时，且且当当 nnnnuvl比比较较判判别别法法的的极极限限形形式式、 3发散；发散；级数级数发散时，发散时，且且或当或当 11 0n

6、nnnvul. 11收敛收敛级数级数收敛时，收敛时，且且或当或当 nnnnvul.1 111 npnnnpaq级级数数、等等比比级级数数参参考考级级数数：下 页上 页 返 回第十一章第十一章 级数级数第二节第二节 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法下 页上 页 返 回得得由由为非负数时，为非负数时，当当证：证： lim 1luulnnn ，有有时，时，当当， luuNnNnn 1 0,1 luulnn收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛散性时，时，当当 l,1 )1(时时当当 l,10l 取取，使使1 lq ,12 NNquu,1

7、223 NNNuqquu，发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 11luuunnnnn .)()(1nnnuluul 即即下 页上 页 返 回,1 )1(时时当当 l,10l 取取，使使1 lq ,1111 nNNnnNquuqu,12 NNquu,1223 NNNuqquu，)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 11luuunnnnn ，收敛收敛又又 111 nnNqu收敛，收敛，所以所以 1

8、nnNu. 1收敛收敛故故 nnu收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛散性时，时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull,1 luulnn.)()(1nnnuluul 即即下 页上 页 返 回)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 11luuunnnnn 时，时，当当1 )2( l, 10 l 取取，使使1 lq,1111 nNNnnNquuqu,12 NNquu，1223 NNNuqquu，发散发散又又 111 nnNqu发散，发

9、散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛散性时，时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull,1 luulnn.)()(1nnnuluul 即即下 页上 页 返 回)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 11luuunnnnn 时，时，当当 l )2(，有有时，时，当当，取取MuuNnNMnn 1 1，,1111 nNNnnNMuuMu,12 NNMuu，1223 NNNuMMuu，发散发

10、散又又 111 nnNMu发散，发散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu，有有，级数级数取取1 1)3(1 lnpnp.故不能确定其敛散性故不能确定其敛散性收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛散性时，时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull下 页上 页 返 回)( 4达朗贝尔判别法达朗贝尔判别法比值判别法比值判别法、则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 11luuunnnnn 几点说明：几点说明：. )1(不必找参考级数不必找参考级数比值判别法优点：比值判别法优点：.1 )

11、2(时无法判断其敛散性时无法判断其敛散性当当比值判别法缺点：比值判别法缺点： l. 1)3(1 lunn收敛收敛由由.lim )4(11可能不存在可能不存在收敛时，收敛时，当当nnnnnuuu .2)1(2 1 nnn例、例、收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛散性时，时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull下 页上 页 返 回，判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、例例 2)1( 11 nnnnnn212 nnnnnnnnuul2/2/ )1(limlim (1) 11 因为因为解：解：n

12、nn21lim 21 , 1 .21收敛收敛故级数故级数 nnn.3212 nnn）（2211/3)1/(3limlim (2)nnuulnnnnnn 因为因为123lim22 nnnn3 , 1 .312发散发散故级数故级数 nnn2213nnn nnnn2/12/lim nnlim22/1/3limnnnn nn3limnnn332 下 页上 页 返 回.1 0 0 21的敛散性的敛散性判别级数判别级数，设设、例例 nnnabba)1/()1/(limlim 111nnnnnnnnababuul 解：解：11)1(lim nnnaab 1 10 aabab，若若10)1( a时级数发散；时

13、级数发散；当当1 b 11 11，级数为级数为时，时，当当 nnab.故级数发散故级数发散 1)2(，若若 a时级数发散；时级数发散；当当ab 时级数收敛；时级数收敛；当当10 b时级数收敛；时级数收敛；当当ab 1 1，级数为级数为时，时，当当 nnnaaab 011lim得得由由 nnnaa.级数发散级数发散下 页上 页 返 回.) 0(! 31的敛散性的敛散性，判别级数判别级数、例例eaannannn nnnnnnnnnnannauul/ !)1/()!1(limlim 111 解：解：nnnnan)1(lim nnna)11(lim ，ea ，时，时，当当1 0 lea.!1收敛收敛级

14、数级数 nnnnna，时，时，当当1 lea.!1发散发散级数级数 nnnnna下 页上 页 返 回根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn 收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛散性时，时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull得得由由为非负数时，为非负数时，当当证：证： lim lulnnn ，有有时，时，当当， luNnNnn 0. lulnn,1 )1(时时当当 l，取取l 10 ，使使1 lq ,11 NNqu，22 NNqu，nNnNq

15、u ，收敛收敛又又 1 nnNq收敛，收敛，所以所以 1nnNu. 1收敛收敛故故 nnu下 页上 页 返 回时，时，当当1 )2( l，取取10 l ，使使1 lq,nNnNqu ,11 NNqu，22 NNqu，发散发散又又 1 nnNq发散，发散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu. lulnn得得由由为非负数时，为非负数时，当当证：证： lim lulnnn ，有有时，时，当当， luNnNnn 0根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn 收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散

16、性不能确定其敛散性时，时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull下 页上 页 返 回时，时，当当 l )2(，有有时，时，当当，取取MuNnNMnn 1，,nNnNMu ,11 NNMu，22 NNMu，发散发散又又 1 nnNM发散，发散，所以所以 1nnNu. 1发散发散故故 nnu，有有，级数级数取取1 1)3(1 lnpnp.故不能确定其敛散性故不能确定其敛散性根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn 收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛

17、散性时，时，当当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull下 页上 页 返 回几点说明：几点说明：. )1(不必找参考级数不必找参考级数根值判别法优点：根值判别法优点：.1 )2(时无法判断其敛散性时无法判断其敛散性当当根值判别法缺点：根值判别法缺点： l. 1)3(1 lunn收敛收敛由由. )()4(采用根值判别法简单采用根值判别法简单时，时，当当nnnfu 根值判别法根值判别法、 5则则，且且为正项级数，为正项级数，设设 lim 1luunnnnn 收敛；收敛；级数级数时，时，当当 1 1 )1(nnul. 1 )3(不能确定其敛散性不能确定其敛散性时，时，当

18、当 l发散；发散；级数级数时，时，或或当当 1 )(1 )2(nnull下 页上 页 返 回判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、例例 4， 112 )1(nnnn.32 )2(1ln nnnnnnul lim (1) 解：解：12lim nnn21 ，1 .12 1收敛收敛故故 nnnnnnnul lim 2)(nnnln32lim 032 2 ，1 .32 1ln发散发散故故 nnn的敛散性的敛散性判断判断时，时，当当、例例 1)1( 0 5nnnana下 页上 页 返 回的敛散性的敛散性判断级数判断级数时，时，当当、例例 1)1( 0 5nnnanannnul lim 解：解：nan

19、nn1lim1 .1a ，时，时，当当1 1 la.)1(1收敛收敛级数级数 nnnan，时，时，当当1 1 la.)1(1发散发散级数级数 nnnan， nnnnnnu)11(limlim时，时，当当1 a.)1(1发散发散级数级数 nnnan下 页上 页 返 回第十一章第十一章 级数级数第三节第三节 任意项级数任意项级数下 页上 页 返 回交交错错级级数数及及其其审审敛敛法法一一、 . 1交错级数交错级数正负项相间的级数称为正负项相间的级数称为交错级数：交错级数：、 )1( 11，记为记为nnnu . 0 nu其中其中，或或 )1( 1nnnu .)1( 11收敛的判别法收敛的判别法下面考

20、虑下面考虑nnnu 莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法、 2，0lim )2( ) 2 1( )1(1 nnnnunuu. )1(1111 nnnnnuruSu余项余项，且其和且其和收敛，收敛，则则)()()(21243212nnnuuuuuuS ，证：证：0 1 nnuu.2单调增加单调增加数列数列nS，)1(22 nnSS:)0()1(11满足满足若交错级数若交错级数 nnnnuu下 页上 页 返 回莱莱布布尼尼兹兹判判别别法法、 2，0lim )2( ) 2 1( )1(1 nnnnunuu. )1(1111 nnnnnuruSu余项余项，且其和且其和收敛，收敛，则则.2单调增加单调增加数列数

21、列nS，)1(22 nnSS:)0()1(11满足满足若交错级数若交错级数 nnnnuunnnnuuuuuuS212223212)()( 又又，1u 收敛，收敛，故故2nS，0lim12 nnu有界，有界，数列数列2nS)(limlim12212 nnnnnuSS，S . )1( 111uSSunnn 且且，收敛于收敛于故故，余项余项)(21 nnnuur.1 nnur故故. 收敛收敛nS，设设SSnn 2lim.1uS 则则下 页上 页 返 回单调递减，单调递减，函数函数1 xx.1 nnuu故故1limlim nnunnn又又. 0 ，又又01lim nn.)1( 11收敛收敛 nnn，

22、11)1( )1(nnn.1)1( )2(2 nnnn. 1 判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性、例例，解：解：111 )1( nn2)1()1(21)1( )2( xxxxxx.1)1(2收敛收敛故故 nnnn.)1(1收敛收敛 nnn2)1(2)1( xxx. 0)1( 2 xxx时，时，当当下 页上 页 返 回，证：令证：令)(21nnnuuv ，则则0 nv，且且nnuv 收敛，收敛， 1nnv收敛，收敛，)2(1 nnnuv.1收敛收敛即即 nnu.)1( 12绝绝对对收收敛敛级级数数例例、 nnn.)1( 1条条件件收收敛敛级级数数例例、 nnn绝绝对对收收敛敛和和条条件件收

23、收敛敛二二、 1 绝对收敛：绝对收敛：、. 11绝对收敛绝对收敛则称则称收敛，收敛，若若 nnnnuu 2 条件收敛：条件收敛：、. 111条件收敛条件收敛则称则称发散，发散，但但收敛，收敛，若若 nnnnnnuuu绝对收敛的性质绝对收敛的性质、 3. )1(11收敛收敛则则收敛，收敛，若若 nnnnuu下 页上 页 返 回. 2 判判断断下下列列级级数数的的敛敛散散性性、例例.3)1()2(1 nnnn，解：解：221sin)1(nnn 收敛，收敛，又又 121nn.sin 12 nnn收敛收敛，收敛收敛绝对绝对即即 12sinnnn.sin12 nnn收敛收敛故故， 12sin)1(nnn

24、.31收敛收敛 nnnnnnnn331lim)2(1 nnn31lim 31 ，1 收敛，收敛，绝对绝对即即 13)1(nnnn.3)1(1收敛收敛故故 nnnn下 页上 页 返 回. )2(1且且其其和和不不变变的的新新级级数数也也绝绝对对收收敛敛，序序所所得得则则任任意意改改变变其其各各项项的的次次绝绝对对收收敛敛，设设 nnu绝对收敛，绝对收敛，例、例、 2222212161514131211)1( nnn.121101518161314121122222222也绝对收敛也绝对收敛则级数则级数 .且两个级数的和一样且两个级数的和一样.)2( 1不不成成立立条条件件收收敛敛时时，性性质质当

25、当说说明明： nnu绝对收敛的性质绝对收敛的性质、 3. )1(11收敛收敛则则收敛，收敛，若若 nnnnuu下 页上 页 返 回. )2(1且其和不变且其和不变的新级数也绝对收敛，的新级数也绝对收敛，序所得序所得则任意改变其各项的次则任意改变其各项的次绝对收敛，绝对收敛，设设 nnu.)2( 1不成立不成立条件收敛时，性质条件收敛时，性质当当说明：说明： nnu绝对收敛的性质绝对收敛的性质、 3. )1(11收敛收敛则则收敛，收敛，若若 nnnnuu条件收敛，条件收敛，级数级数例、例、 61514131211)1( 11nnn.S设其和为设其和为，即即 61514131211 S， 1211

26、018161412121S下 页上 页 返 回条件收敛，条件收敛，级数级数例、例、 61514131211)1( 11nnn.S设其和为设其和为，即即 61514131211 S， 1211018161412121S，上述两式相加得：上述两式相加得： 4171512131123S.即即两两个个级级数数的的和和不不同同次序得到的级数，次序得到的级数，改变项的改变项的是由是由显然显然 11)1(41715121311 nnn.23 SS而是而是，它的和不是它的和不是下 页上 页 返 回. 0 )1()2( )0( )cos1()1()1( . 112121收收敛敛，其其中中，还还是是绝绝对对收收敛敛若若收收敛敛是是条条件件收收敛敛，判判别别下下列列级级数数的的敛敛散散性性、 nnnnnnnanan . 5 2)1( 2111211的和的和求求，已知级数已知级数、 nnnnnnnaaa下 页上 页 返 回 2sin2cos1 )1( 2，解解nn ，又又222122sin2 nn 1