从力做的功到向量的数量积

1、北师大版高中北师大版高中数学数学必修四第二章第五节必修四第二章第五节讲课者：魏洁讲课者：魏洁 学习目标l1.1.通过实例，理解平面向量数量积的含义通过实例，理解平面向量数量积的含义 及其物理意义、几何意义。及其物理意义、几何意义。l2.2.体会平面向量数量积与向量投影的关系体会平面向量数量积与向量投影的关系l3.3.掌握平面向量数量积的性质掌握平面向量数量积的性质学法指导学法指导l1.多动脑筋多动脑筋l2.数形结合数形结合l3.总结基本题型总结基本题型 复习：数乘向量ba (1)|b |a | (2)0,;0,.a ba b 当时同向当时同向当时反向当时反向 我们学过功的概念，即一个物体在力我

2、们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移sFS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念。的概念。新知1：两个向量的夹角OO0a b a b Oa b 0 Oa b 2 Oa b 已知两个非零向量 , ba和作作,b,BOaAO的夹角。与）叫作（b1800aAOB新知2：向量的数量积 已知两个非零向量已知两个非零向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为我们把数量我们把数量 叫做叫做 与与 的的 数量积（或内积），记作数量积

3、（或内积），记作a b |co s|ab a b | co sabab ba规定：零向量与任一向量垂直。规定：零向量与任一向量垂直。思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负，什么时候为零？时候为正，什么时候为负，什么时候为零？当当0 90时时 为正；为正；当当90 180时时 为负。为负。当当 =90时时 为零。为零。| co sabab a b a b a b 例1| 5,| 6,b120abaa b 与 的夹角为，求与 的夹角为，求|cos120a bab 解：解：15 6 ()2 15 练习1(1)|2,|7,30aba b ，(2

4、)| 10,| 15,45aba b ，7 375 2例2：在在ABC中中， ，求求8,7,60abCBC CA 解：解：ABC8760 | 8BC | 7CA 120 120 | |cos120BC CABCCA 18 7 ()282 练习2：在在ABC中中， ，求求4,9,30abCBC CA 解：解：ABC4930 | 4BC | 9CA 150 150 | |cos150BC CABCCA 34 9 ()18 32 O数量积的几何意义| co sabab Oa b |cosbab 在 上的投影：在 上的投影：|cos0b Oa b |cos0b a b |cos0b |cosaba 在

5、 上的投影：在 上的投影：|cosabba 数量积等于与投影的乘积。数量积等于与投影的乘积。例3： 已知 方向上的投影为 ，求两向量夹角的余弦值。baba在, 4, 23解：设两向量的夹角为解：设两向量的夹角为 则则23cos,3cos2cosa练习l总结规律：总结规律：(1)|2,|7,90aba b ，(2)| 10,| 15,90aba b ，000aba b 练习l总结规律：总结规律：(1)|2,|7,0aba b ，(2)| 10,| 15,0aba b ，2 714 10 15150 ,|a ba bab 同同向向练习l总结规律：总结规律：(1)|2,|7,180aba b ，(2)| 10,| 15,180aba b ，2 714 10 15150 ,|a ba bab 反反向向练习l总结规律：总结规律：(1)|2aa a ，(2)| 10aa a ，224 10 10100 0 cos01aa 和 的夹角为 ，和 的夹角为 ，|a aaa 22|aa 思考：|a bab 2、1、babacos小结：0aba b ,|a ba bab 同同向向,|a ba bab 反反向向22|aa | cosaba b 1、2、作业lA.小