(重要)高中数学数列十种求通项和七种求和方法_练习及答案

1、0高中数列知识点总结高中数列知识点总结 1. 等差数列的定义与性质定义：1nnaad（d为常数），11naand等差中项：xAy，成等差数列2Axy前n项和：11122nnaann nSnad性质： （1）若mnpq，则mnpqaaaa；（2） na为等差数列2nSanbn（ab，为常数，是关于n的常数项为常数项为 0 的二次函数）2. 等比数列的定义与性质定义：1nnaqa（q为常数，0q ），11nnaa q.等比中项：xGy、成等比数列2Gxy，或Gxy .前n项和：11(1)1(1)1nnna qSaqqq（要注意公比）q性质： na是等比数列（1）若mnpq，则mnpqaaaa3求数

2、列通项公式的常用方法一、公式法一、公式法例例 1 已知数列满足，求数列的通项公式。na123 2nnnaa 12a na解：两边除以，得，则，故数列是以123 2nnnaa 12n113222nnnnaa113222nnnnaa2nna为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以1222a112331 (1)22nnan 数列的通项公式为。na31()222nnan二、累加法二、累加法 )(1nfaann例例 2 已知数列满足，求数列的通项公式。na11211nnaana，na1解：由得则121nnaan121nnaan112322112()()()()2(1) 1 2(2) 1

3、(2 2 1)(2 1 1) 12(1)(2)2 1(1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn 所以数列的通项公式为。na2nan例例 3 已知数列满足，求数列的通项公式。na1132 313nnnaaa ，na解：两边除以，得，132 31nnnaa 13n111213333nnnnnaa则 111213333nnnnnaa三、累乘法三、累乘法 )(1nfaann例例 4 已知数列满足，求数列的通项公式。na112(1)53nnnanaa，na解：因为，所以，则，故112(1)53nnnanaa，0na 12(1)5nnnana1321

4、122112211(1) (2)2 1(1)122(1 1)52(2 1)52(2 1) 5 2(1 1) 5 32 (1)3 2 533 25!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nn 所以数列的通项公式为na(1)123 25!.n nnnan 例例 5 （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列满足na，求的通项公式。11231123(1)(2)nnaaaaanan，na2解：因为123123(1)(2)nnaaaanan所以1123123(1)nnnaaaanana用式式得1.nnnaana则1(1)(2)nnana n故11(2)nnanna四、

5、待定系数法四、待定系数法（重点）（重点）例例 6 已知数列满足，求数列的通项公式。na1123 56nnnaaa ， na解：设1152(5 )nnnnaxax 将代入式，得，等式两边消去，得123 5nnnaa 123 55225nnnnnaxax 2na，两边除以，得代入式得13 5525nnnxx5n352 ,1,xxx 则1152(5 )nnnnaa例例 7 已知数列满足，求数列的通项公式。na1135 241nnnaaa ，na解：设1123(2)nnnnaxyaxy 将代入式，得135 24nnnaa 135 2423(2)nnnnnaxyaxy 整理得。(52 ) 24323nn

6、xyxy令，则，代入式得52343xxyy52xy115 223(5 22)nnnnaa 例例 8 已知数列满足，求数列的通项公式。na21123451nnaanna，na3解：设 221(1)(1)2()nnax ny nzaxnynz将代入式，得212345nnaann，则2222345(1)(1)2()nnannx ny nzaxnynz 222(3)(24)(5)2222nnax nxynxyzaxnynz等式两边消去，得，2na22(3)(24)(5)222x nxynxyzxnynz解方程组，则，代入式，得3224252xxxyyxyzz31018xyz 2213(1)10(1)

7、182(31018)nnannann五、对数变换法五、对数变换法例例 9 已知数列满足，求数列的通项公式。na512 3nnnaa17a na解：因为，所以。在式两边取常用对5112 37nnnaaa，100nnaa，512 3nnnaa数得1lg5lglg3lg2nnaan设1lg(1)5(lg)nnax nyaxny11六、迭代法六、迭代法例例 10 已知数列满足，求数列的通项公式。na3(1)2115nnnnaaa，na解：因为，所以3(1)21nnnnaa121323(1) 23212nnnnnnnnnaaa 七、数学归纳法七、数学归纳法例例 11 已知，求数列的通项公式。（其他方法呢

8、？）（其他方法呢？）11228(1)8(21) (23)9nnnaaann，na解：由及，得1228(1)(21) (23)nnnaann189a 42122322243228(1 1)88 224(2 1 1) (2 1 3)99 25258(2 1)248 348(2 2 1) (2 23)2525 49498(3 1)488 480(2 3 1) (2 33)4949 8181aaaaaa 由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。22(21)1(21)nnan（1）当时，所以等式成立。1n 212(2 1 1)18(2 1 1)9a （2）假设当时等式成立，即，则当时，nk22(21)

9、1(21)kkak1nk1228(1)(21) (23)kkkaakk222222222222222222222(21)18(1)(21)(21) (23)(21)1(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(23)8(1)(21) (23)(21) (23)(21)(21) (23)(23)1(23)2(1) 112(1) 1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk2由此可知，当时等式也成立。1nk根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。*nN八、换元法八、换元法例例 12 已知数列满足，求数列的通项公式。na111(14124)116nnnaaaa，na5解：令，则1

10、24nnba21(1)24nnab故，代入得2111(1)24nnab11(14124)16nnnaaa221111(1)14(1)241624nnnbbb即2214(3)nnbb因为，故1240nnba111240nnba则，即，可化为，123nnbb11322nnbb113(3)2nnbb九、不动点法九、不动点法例例 13 已知数列满足，求数列的通项公式。na112124441nnnaaaa，na解：令，得，则是函数的两个212441xxx2420240 xx1223xx，2124( )41xf xx不动点。因为112124224121242(41)13262132124321243(41

11、)92793341nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa十、倒数法十、倒数法11212nnnaaaa，求na4. 求数列前 n 项和的常用方法一、公式法一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式： dnnnaaanSnn2) 1(2)(112、等比数列求和公式：) 1(11)1 () 1(111qqqaaqqaqnaSnnn63、 4、) 1(211nnkSnkn) 12)(1(6112nnnkSnkn5、213)1(21nnkSnkn例例 1求的前 n 项和. nxxxx32例例 2 设 Sn1+2+3+n，nN*,求的最大

12、值.1)32()(nnSnSnf二、错位相减法二、错位相减法（等差乘等比）（等差乘等比） 例例 3 求和：132) 12(7531 nnxnxxxS例例 4 求数列前 n 项的和. ,22,26,24,2232nn解：由题可知，的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积nn22n21设nnnS2226242232 （设制错位）14322226242221 nnnS得 （错位相减）1432222222222222)211 ( nnnnS 1122212nnn 1224nnnS三、倒序相加法三、倒序相加法这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与

13、原数列相加，就可以得到 n 个.)(1naa 例例 5 求证：nnnnnnnCnCCC2) 1() 12(53210 证明： 设. nnnnnnCnCCCS) 12(53210 把式右边倒转过来得 （反序）0113) 12() 12(nnnnnnnCCCnCnS 7 又由可得mnnmnCC . nnnnnnnCCCnCnS 1103) 12() 12( +得 （反序相加）nnnnnnnnnCCCCnS2) 1(2)(22(2110 nnnS2) 1(例例 6 求的值89sin88sin3sin2sin1sin22222 解：设. 89sin88sin3sin2sin1sin22222 S将式右

14、边反序得 . （反序）1sin2sin3sin88sin89sin22222 S 又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx +得 （反序相加）89 )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222 S S44.5四、分组法求和四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例例7 求数列的前 n 项和：，231, 71, 41, 1112 naaan例例8 求数列n(n+1)(2n+1)的前 n 项和.解：设kkkkkkak2332) 12)(1( nk

15、nkkkS1) 12)(1()32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组）kkknknknk12131328五、裂项法求和五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）)() 1(nfnfannnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin（3） （4）111) 1(1nnnnan)121121(211) 12)(12()2(2nnnnnan（5）)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnnan(6) nnnnnn

16、nnSnnnnnnnnna2) 1(11,2) 1(12121) 1() 1(221) 1(21则例例 9 求数列的前 n 项和. ,11,321,211nn 例例 10 在数列an中，又，求数列bn的前 n 项11211 nnnnan12nnnaab的和. 例例11 求证：1sin1cos89cos88cos12cos1cos11cos0cos12 解：设89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S （裂项）nnnntan) 1tan() 1cos(cos1sin （裂项求和）89cos88cos12cos1cos11cos0cos1 S 88tan89tan)2tan3(

17、tan)1tan2(tan)0tan1(tan1sin1 )0tan89(tan1sin11cot1sin11sin1cos2 原等式成立 六、合并法求和六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，9可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn.例例 12 求 cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设 Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）)180cos(cosnnSn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）

18、+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例例 13 数列an：，求 S2002.nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1解：设 S20022002321aaaa 由可得nnnaaaaaa12321, 2, 3, 1, 2, 3, 1654aaa, 2, 3, 1, 2, 3, 1121110987aaaaaa2, 3, 1, 2, 3, 1665646362616kkkkkkaaaaaa （找特殊性质项）0665646362616kkkkkkaaaaaaS2002 （合并求和）2002321aaaa )()()(66261612876321 kkkaaaaaaaaa

19、a2002200120001999199819941993)(aaaaaaa 2002200120001999aaaa46362616kkkkaaaa5例例 14 在各项均为正数的等比数列中，若的值.103231365logloglog, 9aaaaa 求解：设1032313logloglogaaaSn 由等比数列的性质 （找特殊性质项）qpnmaaaaqpnm和对数的运算性质 得NMNMaaalogloglog10 （合并求和）)log(log)log(log)log(log6353932310313aaaaaaSn )(log)(log)(log6539231013aaaaaa 9log9

20、log9log333 10 七、利用数列的通项求和七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前 n 项和，是一个重要的方法.例例 15 求之和.11111111111个n 解：由于 （找通项及特) 110(91999991111111 kkk 个个征） 11111111111个n （分组求和）) 110(91) 110(91) 110(91) 110(91321 n) 1111 (91)10101010(911321 个nn 9110) 110(1091nn)91010(8111nn例例 16 已知数列an：的值.11

21、)(1(,)3)(1(8nnnnaannna求11数列练习数列练习一、选择题一、选择题1.已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=225a，2a=1，则1a= A. 21 B. 22 C. 2 D.2 2.已知为等差数列，则等于A. -1 B. 1 C. 3 D.73.公差不为零的等差数列na的前n项和为nS.若4a是37aa与的等比中项, 832S ,则10S等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 . 4 设nS是等差数列 na的前 n 项和，已知23a ，611a ，则7S等于A13 B35 C49 D 63 5.已知 na为等差数列，且7a24a1, 3a0,则公差 d（

22、A）2 （B）12 （C）12 （D）26.等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10 项之和 A. 90 B. 100 C. 145 D. 1907.等差数列 na的前 n 项和为nS，已知2110mmmaaa，2138mS,则m （A）38 （B）20 （C）10 （D）9 . 128.设 na是公差不为 0 的等差数列，12a 且136,a a a成等比数列，则 na的前n项和nS= A2744nn B2533nn C2324nn D2nn9.等差数列na的公差不为零，首项1a1，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10 项之和是 A. 90 B.

23、 100 C. 145 D. 190 . 二、填空题二、填空题1 设等比数列na的公比12q ，前n项和为nS，则44Sa 2.设等差数列na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列类比以上结论有：设等比数列 nb的前n项积为nT，则4T， ， ，1612TT成等比数列3.在等差数列na中,6, 7253aaa,则_6a.4.等比数列na的公比0q , 已知2a=1，216nnnaaa，则na的前 4 项和4S= . 数列练习参考答案数列练习参考答案一、选择题1.【答案】B【解析】设公比为q,由已知得22841112a qa qa q,即22q ,又因为等比数列na的公比为正数，所以2q ,故211222aaq,选 B2.【解析】135105aaa 即33105a 335a 同理可得433a 公差432daa 13204(204)1aad .选 B。【答案】B3.答案：C【解析】由2437aa a得2111(3 )(2 )(6 )adadad得1230ad,再由81568322Sad得 1278ad则12,3da ,所以1019010602Sad,.故选 C4.解: 172677()