高等数学B(上)复习资料

1、华南理工大学网络教育学院高等数学（上）辅导一、 求函数值例题：、若 f (x) x2， (x)ex ，则f ( ( x)1解： f ( ( x)f (ex )ex2e2 x2、若 f (x1)2x 1，则 f ( x)解：令 x1 t ，则 xt1所以f (t)2(t 1)12t3即 f ( x) 2x 3二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理常见的等价无穷小：x0时 , x sin x tan x arcsin x arctanxx ln(1 x) ex -11 cos x 1 x2 , 1 x1 1 x22第1页共 23页无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用相应的等价无穷

2、小替换例题：、 lim sin3 3x？1x2x 0解：当 x0，sin3 x 3x ，原式 =lim(3x)3lim 27 x 0x2x 0x 02、 limsin3 x？x 0x解：原式 =lim 3x3x0x1-cos x3、 limx2？x 0解：当 x0， 1- cosx 1 x221 x2原式 = lim21x 0x22第2页共 23页4、 lim ln(13x)？x 0x解：当 x0，ln(1+ 3x) 3x原式 =. lim 3x3.x 0 x5、 lim e2 x1？x0x解：当 x0， e2x1 2x原式 =. lim2x2 .x 0x三、 多项式之比的极限limx0 ，

3、limx211， lim3x2x3x2x3x2x3xxxx四、 导数的几何意义（填空题）f ( x0 ) ：表示曲线 y f ( x) 在点 M ( x0 , f ( x0 ) 处的切线斜率曲线 . y f ( x) . 在点 M ( x0 , f (x0 ) 处的切线方程 为：yf ( x0 )f ( x0 )(xx0 )曲线 yf ( x) 在点 M (x0 , f (x0 ) 处的法线方程 为：第3页共 23页例题：1、曲线 y解： yx 2y f ( x0 )1( x x0 )f( x0 )4 x 在点 M (2,3) 的切线的斜率4 x(4 x)'(4 x)(4x)(4 x)

4、(4x)2x 282(4x)2x 22、曲线 ycosx x 在点 M (0,1)处的切线方程e解： y(cos x)' excosx(ex )x 0x2(e )x 0sin xexcos xex(ex )21x 0所以曲线 ycosxx 在点 M (0,1)处的切线方程为：ey1( x0) ，即 x y 1 03、曲线 y1在点M (1,1)处的切线方程3 x2解： y x 12 x3523x 13第4页共 23页所以曲线 y1 在点处的切线方程为：3 x2M (1,1)y 12 (x 1) ，即 2x 3y 5 03五、 导数的四则运算、复合函数的导数、微分复合函数求导的链式法则：

5、y f (u), ug( x)yf g(x): dydy dudxdu dx或y (x) f (u) g ( x).微分： dyf( x)dx例题：1、设 yx21 ，则 y'？解： y' 1x21x2x1 212x212、设 ysin x2 ，则 y'？解： y'cosx2x2'2x cos x23、设 y2sin x ，则 dy ？解： y'2sin x ln 2 sin x '2sin x cosx ln 2第5页共 23页则 dy2sin x cosxln2 dx4、设 ysin ex ，则 dy？解： y'cosexex

6、'ex cosex所以 dyex cos ex dx5、设 ye x2 ，则 dy？（答案：2xe x2 dx）六、 运用导数判定单调性、求极值例题：1、求 yx ln x 的单调区间和极值解：定义域 x(0,)令 y ln x10 ，求出驻点 x e 1x(0, e 1 )e 1(e 1 , )y-0+y单调减极小值点单调增函数的单调递减区间为(0, e 1 ，单调递增区间为(e 1 ,)极小值为 y( 1)1 ee第6页共 23页2、求 yxe x 的单调区间和极值解：定义域 x(,)令 ye xxex(1x)e x0 ，求出驻点 x1x(,1)1(1,)y+0-y单调增极大值点单

7、调减函数的单调递减区间为1,) ，单调递增区间为(,1) ，极大值为 y(1)e 1 3、求函数 . f(x)e x2. 的单调区间和极值解：定义域 x(,)令 f ( x)2xe x2 ，得 x 0x(,0)0(0,)y+0-y单调增极大值点单调减单调递增区间： (,0) ，单调递减区间： (0,) ，极大值为 f (0)14、求函数 f ( x)1 x3x的极值 答案： 极小值为 y(1)2，33第7页共 23页极大值为 y( 1)23七、 隐函数求导例题：1、求由方程 exsin yxy20 所确定的隐函数yy( x) 的导数 dy dx解：方程两边关于x 求导，得：excos y y(

8、 y22xy y )0y2ex即ycos y2xy2、求由方程ycos(xy) 所确定的隐函数yy(x) 的导数dy dx解：方程两边同时关于x 求导，得：ysin(xy)(1y )即sin(xy)yy)1 sin( x第8页共 23页3、求由方程ysin( xy) 所确定的隐函数yy(x) 的导数dy 答案：dycos(xy)dxdx1cos(xy)4、求由方程 xyln xln y 0 所确定的隐函数 yy( x) 的导数 dy 答案：dyydxdxx八、 洛必达法则求极限，注意结合等价无穷小替换原理例题：1、求极限 lim11ex1sin xx 0解：原式 limsin x(ex1)(e

9、x1)sin xx 0lim sin x (ex1).当x时，x1 x .x 0x20 sin x x,elim cos xexx 02xsin xexlimx 0212第9页共 23页2、求极限 lim xsin x0x0tan3 x0解：原式 =limxsin x当 x0时，tan x xx0x3lim1cosx3x2x01 x21=lim2当x时，x23x20 1cosx x0216、求exx1 0（答案： 1 ）lim23x 0x02九、 原函数、不定积分的概念及其性质知识点：设 F ( x) f ( x) ，则称 F ( x) 是 f (x) 的一 个原函 数，F (x)C 是 f

10、( x) 的全体原函数，且有：f (x)dxF (x)C例题：第10页 共 23 页1、( )是函数 3xx3 的原函数A 3x23 B 1 x43 x2C x4x2D 1 x41 x24242解：因为1 x43 x23x x342所以 1 x43 x2 是 3xx3 的原函数422、( )是函数 xcosx2 的原函数A 2sin x2B 2sin x2C1 sin x2D 1 sin x222解：因为1 sin x21 (cos x2 ) 2xx cosx222所以 1 sin x2 是 xcosx2 的原函数23、x 是()的原函数A 1B 1C ln xD x32x2x解：因为x12

11、x所以x 是1的原函数2 x第11页 共 23 页4、( )是函数 1的原函数xA 1B1C ln xD ln | x |x2x2解：因为ln | x |1x所以 ln | x |是 1 的原函数x十、 凑微分法求不定积分（或定积分）简单凑微分问题：e2x dx ， sin 4xdx ， cos5xdx,ln xd ln x一般的凑微分问题：xdx ，x 23x2 dx ，1x2sin xdx ， ln x dx1 cosxx例题：1、xdxx21解：注意到 (1 x2 )2x原式 =11x2d 1x2参考公式1dx 2x C21xx2112C第12页 共 23 页2、x23x2 dx解：注意

12、到 (23x2 )6x原式 =123x2 d (23x2 ) 参考公式 xdx2 x23C63= 1 ( 2-3x2 )3 C93、sin xdx1cosx解：注意到 (1cos x)sin x原式 =11d(1cos x) 参考公式1 dx ln | x | Ccos xx=ln |1cosx | C4、e5 xdx解：原式 = e5 xd (5x) 参考公式ex dxexC= e5 x C5、 cos5xdx第13页 共 23 页解：原式1 cos5 xd(5x) 参考公式 cos xdx sin x C 51 sin5 xC56、 sin3 xdx解：原式1sin3 xd(3 x) 参考

13、公式 sin xdx cos x C31 cos3x C3十一、不定积分的第二类换元法去根号（或定积分）知识点：利用换元直接去掉根号：ex1，ex1，x ，1 x ， 1 x 等例题：1、求不定积分1dxex1解：令 ex1t ，则 ext21x ln( t21)dx2tdtt21原式 =12tdt21dttt 21t21第14页 共 23 页1 dt1 dtt1t1ln | t1|ln | t1|Cln |ex11|ln |ex11|C2、41dx 0 1+ x解：令x t ，则 xt2dx2tdt当 x0时， t0；当 x4时， t 2212 t11原式 =2tdt21+tdt0 1+t0

14、2(221dtdt)00 1+t22(2ln | t1| 0)2(2ln3)1x1dx3、 x0解：令x1 t ，则 x t21， dx2tdt当 x0时， t1；当 x1时， t2221)t 2tdt原积分(t1第15页 共 23 页224t 2 )dt(t122 1 t 51 t35314 (21)15十二、不定积分的分部积分法（或定积分）诸 如x sin xdx ，x cosxdx ，xex dx ，xe x dx ，xln xdx ，可采用分部积分法分部积分公式：u(x)dv( x)u(x)v(x)v( x)du( x)例题：1、求不定积分x sin xdx 解xs i nx d xx

15、 d(c o sxx cosx( cos x)dxx cosxcosxdxx cosxsin xC2、求不定积分xe x dx解xe x dxxde x第16页 共 23 页xe xe x dxxe xe xC3、求不定积分x ln xdx解 xln xdxln xd( 1 x2 )212ln x12d ln xx2x21 x2 ln x1 xdx221 x2 ln x1 x2C24十三、定积分的概念及其性质知识点：定积分的几何意义，奇偶对称性等例题：1、 定积分ax3ex2dx 等于a解： 因为 x3ex2是 x的奇函数，所以原式 =0、定积分ax23xdxsin2a等于解： 因为 x2 s

16、in3x是 x 的奇函数，所以原式 =0第17页 共 23 页3、 定积分x2sin2x dx 等于1x解： 因为 x2 sin2x 是 x 的奇函数，所以原式 =01x十四、变上限积分函数求导变上限积分函数的导数公式( x )'' ( x)f( x)af (t)dtF ( x)x 3(C )f (t)dt,则 F ' ( x)a解 F ' ( x) f ( x3 ) ( x3 )' 3x2 f ( x3 )例题：x341 、 设函数 f ( x) 在 a,b 上连续， F ( x)f (t) dt ，则 F ( x)a（ C ）A f ( x)B f

17、( x3 )C 3x2 f ( x3 )D 3x 2 f (x)2、设 f (x)x 2arctantdt ，则 f (x) 2x arctanx2 13、设 f (x)x3dt ，则 f (x) sin x3 sin t0第18页 共 23 页十五、凑微分法求定积分（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1x31dx、 x210解：注意到 (x31)3x2原式11x31d (x31) 参考公式23C3 0xdxx231= 2 (x31)3902 (221)9十六、定积分的第二类换元法去根号（或不定积分，思想与不定积分类似例题：411、dx 0 1+ x解：令xt ，则 xt2dx2tdt当 x

18、 0时， t 0；当 x 4时， t 2212 t1 1原式 =2tdt 2dt0 1+t01+t第19页 共 23 页2212( dtdt)0 0 1+t2(2ln | t 1| 02 )2(2ln3)1x1dx2、 x0解：令x1t ，则 xt21， dx2tdt当 x0时， t1；当 x1时， t221)t2tdt原积分1(t 2224t 2 )dt(t11 t 51 t3225314 (21)15十七、定积分的分部积分法（或不定积分）思想与不定积分类似例题：1、求定积分2 xsin xdx 0第20页 共 23 页解2 xsin xdx2 xd ( cosx)00x cosx 22 ( cos x)dx002 cosxdx0sin x 0212、求定积分1x dxxe011xde x解xe xdx00xe x 11xdxe00(e2e110) e1x 10十八、求平面图形面积知识点： X 型积分区域的面积求法Y 型积分区域的面积求法通过作辅助线将已知区域化为若干个X型或Y型积分区域的面积求法第21页 共 23 页例题：1、求