等腰三角形与等边三角形的性质 (2)

1、想一想想一想, 做一做做一做 在等腰三角形中作出一些线段在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、如角平分线、中线、高等高等)，你能发现其中一些相等的线段吗，你能发现其中一些相等的线段吗? 你能证明你的你能证明你的结论吗结论吗? 作图观察作图观察,我们可以发现：我们可以发现：等腰三角形两底角的平分等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等线相等；两腰上的高、中线也分别相等 我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠这我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它

2、坚定不移地去承认它，相信它 下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰等腰三角形两底角的平分线相等三角形两底角的平分线相等已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中， AB=AC， BD、CE是是ABC的角平分线的角平分线例例1. 证明证明: 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成21EDCBA求证：求证：BD=CE证明：证明：AB=AC，ABC=ACB(等边对等角等边对等角) 1= ABC，2= ACB，1=2 在在BDC和和CEB中，中， ACB=ABC，BC=CB，1=2 BDC CEB(

3、ASA) BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)2121已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中， AB=AC， BD、CE是是ABC的角平分线的角平分线例例1. 证明证明: 等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相等.用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成43EDCBA求证：求证：BD=CE证明：证明：AB=AC，ABC=ACB 3= ABC，4= ACB， 3=4 在在ABD和和ACE中，中， 3=4，AB=AC，A=A ABD ACE(ASA) BD=CE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)2121已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，

4、 AB=AC， BD、CE是是ABC的高的高1. 证明证明: 等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等.求证：求证：BD=CEEDCBA 分析：分析：要证要证BD=CE，就需证，就需证BD和和CE所在的两所在的两个三角形的全等个三角形的全等已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中， AB=AC， BD、CE是是ABC的中线的中线2. 证明证明: 等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等.求证：求证：BD=CEEDCBA 分析：分析：要证要证BD=CE，就需证，就需证BD和和CE所在的两所在的两个三角形的全等个三角形的全等 刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中刚才，我们只是

5、发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段比较特殊的线段(角平分线、中线、高角平分线、中线、高)相等，还相等，还有其他的结论吗有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什你能从上述证明的过程中得到什么启示么启示? 把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等如果是三等分、四等分段相等如果是三等分、四等分结果如何呢结果如何呢?想一想想一想, 做一做做一做议一议议一议 1在等腰三角形在等腰三角形ABC中，中，(1)如果如果ABD= ABC，ACE= ACB，那么，那么BD=CE吗吗?如果如果ABD= ABC，ACE= ACB呢呢?由此，你能得到一个什么结论由此，你

6、能得到一个什么结论?(2)如果如果AD= AC，AE= AB，那么，那么BD=CE吗吗?如果如果AD= AC，AE= AB呢呢?由此你得到什么结论由此你得到什么结论?3131313141414141小结小结 （1）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，ABD= ABC，ACE= ACB，那么，那么BD=CE. （2）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，AD= AC，AE= AB，那么，那么BD=CE.n1n1n1n1 简述为：简述为： （1）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，ABD=ACE，那么，那么BD=CE. （2）在）在ABC中，如果中，如果AB=AC，AD=AE，那么，那么

7、BD=CE.求证：求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60.已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=BC=AC。求证：求证：A=B=C=60.证明：在证明：在ABC中，中，AB=AC， B=C(等边对等角等边对等角). 同理：同理：C=A， A=B=C（等量代换）（等量代换）. 又又A+B+C180（三角形内角和定理）（三角形内角和定理） A=B=C60.CBA随堂练习随堂练习 及时巩固及时巩固 如图如图, ,已知已知ABCABC和和BDEBDE都是等边三角形都是等边三角形, , 求证求证:AE=CD:AE=CDABCDE证明证明: ABC和和BDE都是等边三角形都是等边三角形AB=BC,ABC=DBE=60,BE=BD ABE CBDAE=CD.将不全等的两个等边三角形将不全等的两个等边三角形ABCABC和等边三角形和等边三角形DEFDEF任意摆放任意摆放,请请你画出你画出不少于不少于5种种的摆放示意图的摆放示意图,使得使得AE=CF,同时同时满足在重合的一满足在重合的一条直线上有且只有三个顶点条直线上有且只有三个顶点(重合的顶点算一个重合的顶点算一个),并说明理由并说明理由