北师大数学中考专题—应用性问题 2

1、中考专题应用性问题近几年中考试题中，应用性问题所占比重越来越大，在压轴题中出现的越来越多，有些同学由于缺乏应用意识，没有掌握解题思路，面对应用性问题，往往感到束手无策，无从下手。现从应用性问题的以下几个特征加以分析，希望对同学们有所帮助。一、密切联系生活、生产实际例1.某商场购进一批单价为16元的商品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月可卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月可卖210件，假定每月销售件数（件）是价格（元件）的一次函数。（1）求与的函数关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少

2、元时，才能使每月获得的利润最大？最大利润是多少？（总利润=总收入-总成本）解：（1）由题意，设，则有，解得 （1632）（2）设每月获得利润为元，有 当（元）时，有最大值，最大值为1920元。二、与其他学科的联系例2.如图是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图，在地面O、A两个观测站测得空中固定目标C的仰角分别为、，OA=1千米，tan=,tan=,位于O点正上方千米的D处的直升飞机向目标C发射防空导弹，该导弹运行达到距地面最大高度为3千米时，相应的水平距离为4千米（即图中点E）. (1) 若导弹运行轨道是抛物线，求该抛物线的解析式；(2) 试说明按（1）中的轨道运动的导弹能否击

3、中目标C？解：设导弹运行轨道的抛物线的解析式为由题意可知，这条抛物线的顶点坐标为E（4，3）抛物线的对称轴为= 4 ， 点D（0，）在抛物线上，点D关于直线= 4的对称点D(8, )也在此抛物线上， 解之，得 所求的抛物线的解析式为（2）如图，设点C的坐标为，过点C作CBO于B,在RtOBC和RtABC中，OA=1，tan=， ,tan= 当时， C的坐标为（7，）点C（7，）在抛物线上， 导弹按（1）中的轨道运动能够击中目标C。三、综合运用数学知识例3.为了美化环境，某学校在教学楼前铺设小广场地面，其图案如下图所示，正方形小广场地面的边长是40米，中心建一个直径为20米的圆形花坛，四个角各留

4、一个边长为10米的小正方形花坛，种植高大的数木，图中阴影部分铺设广场砖。(1)计算阴影部分的面积；(2)某施工队承包铺设广场砖的任务，计划在一定时间内完成任务，按原计划工作一天后，改进了铺设技术，每天比原计划多铺设60，结果提前3天完成任务，原计划每天铺设多少 ？(3) 准备在广场中心圆形花坛上种植6种不同颜色的花卉，为了美观要使同色的花卉集中在一起，并且各种花卉面积相等，请你帮助设计出一种种植方案。（用尺规作图，不写作法和证明，保留痕迹）解：（1）（）（2）设工程队原计划每天铺设，依题意得，解得 答：工程队原计划每天铺设100 . （3）作图略四、应用方程（组）、不等式（组）的问题例4.某校

5、九年级一班计划用勤工俭学收入的66元钱，同时购买单价分别为3元、2云、1元的甲、乙 、丙三种纪念品，奖励参加学校“艺术节”活动的同学，。已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品件数多2件，而购买甲种纪念品件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半。若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，问有几种购买方案？每种方案中甲、乙、丙三种纪念品各多少件？解：设购买甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为件、件、件，由题意得 又且， 又为整数，=10或=11当=10时，=12，=12；当=11时，=13，=7。答：有两种购买方案。第一种方案：购买甲种纪念品10件，乙种纪念品12件，丙种纪念品1

6、2件；第二种方案：购买甲种纪念品11件，乙种纪念品13件，丙种纪念品7件。五、应用函数的问题例5.如图，某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速是每小时20海里，求A、D两点间的距离。（结果不取近似值）解：作CEAD于E，设CE=海里CAD=CDA=45,CD=AE=DE=在RtCEB中，CBE=60BE=DEBD=10, tan60,即解得，AD=海里。六、应用几何的问题例6.某房地产公司要在一块地（如图矩形ABCD）地面上建造一个小区公园（如图矩形GHCK），为了使文物保护区AEF不被破坏，矩形公园的

7、顶点G不能在文物保护区内。已知AB=200m,AD=160m,A=60Maf=40m.（1）矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时，求公园的面积；（2）当G在EF上的什么么位置时，公园面积最大？解：延长HG、KG分别交AD、AB于M、N。（1）当G恰是EF的中点时，由三角形中位线定理的MG=AE=30, GN=FA=20.()（2）设MG=，则GH=200。M GAE, FMGFAE,MA=FA-FM=40 ( 060) 当时，最大。答：当点G在EF上距AD10m时，公园面积最大。例7在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形一边为AB,另一顶点C在半圆周上，其他两边分别为6和8，先要建造

8、一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中DE 在AB上，如图设计的方案是使AC=8,BC=6,.(1) 求ABC中AB边上的高(2) 设DN=,当为何值时，水池的面积最大？(3) 实际施工时，发现在AB上距B点1.85的点M处有一棵大树。问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果是，为保护大树，请你设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树。简解：(1)作CHAB于H AB是半圆的直径 ACB=90AC=8,BC=6,.AB=又=(2)设NF=，矩形DEFN NFABCNFCAB (04.8)当=2.4时，矩形DEFN面积最大，即水池DEFN的面积最大。（3）当水池DEFN的面积最大时F时BC