202X学年高中数学第一章计数原理1.1第2课时两个基本原理的应用课件新人教A版选修2_3

1、数学选修选修2-3 人教人教A版版第一章计数原理计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理第第2课时两个根本原理的应用课时两个根本原理的应用1 1自主预习学案自主预习学案2 2互动探究学案互动探究学案3 3课时作业学案课时作业学案自主预习学案自主预习学案 2021 年8月，世界田径锦标赛在北京举行，这是体坛的一大盛事一名志愿者从广州赶赴北京为游客提供导游效劳，但需在武昌停留，从广州到武昌每天有7个航班，从武昌到北京每天有6列火车请思考：该志愿者从广州到北京需要经历几个步骤？完成每一步各有几种方法？该志愿者从广州到北京共有多少种不同的方法？ 1用两个计数原理

2、解决计数问题时，最重要的是在开场计算之前要进展仔细分析需要分类还是需要分步 应用_原理时，要注意“类与“类之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；应用_原理时，要注意“步与“步之间是连续的，做一件事需分成假设干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成加法乘法 2分类要做到_，分类后再分别对每一类进展计数，最后用_求和，得到总数 3分步要做到_，步与步之间要_，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数不重不漏分类加法计数原理步骤完整相互独立 1在2、3、5、7、11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为() A20 B10 C5

3、 D24 解析假分数的分子不小于分母故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个由加法原理知共有432110个B 2图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，从中任取一本书，共有不同的取法() A120种 B16种 C64种 D39种 解析由分类加法计数原理知，共有不同取法35816种B 3两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，那么这13个点可以确定不同的平面个数为() A40 B16 C13 D10 解析分两类：第1类，直线a与直线b上8个点可以确定8个不同的平面； 第2类，直线b与直线a上5个

4、点可以确定5个不同的平面 故可以确定8513个不同的平面C 4一植物园参观路径如下图，假设要全部参观并且路线不重复，那么不同的参观路线种数共有() A6种 B8种 C36种 D48种D 解析由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，每种选法中可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有64248种不同的参观路线互动探究学案互动探究学案命题方向1 两个计数原理在排数中的应用 从0,1,2,3,4,5这六个数字中取四个数字组成一

5、个四位数，问： (1)能组成多少个四位数？ (2)能被5整除的四位数有多少个？ 思路分析(1)要完成的一件事是组成四位数，所以首位数字不能是0；(2)要使所组成的四位数能被5整除，那么末位数字必须是0和5中的一个典例 1 解析(1)第1步，千位上的数不能取0，只能取1,2,3,4,5，有5种选择； 第2步，由于千位取了一个数，还剩下5个数供百位取，所以有5种选择； 第3步，由于千位、百位分别取了一个数，还剩下4个数供十位取，所以有4种选择； 第4步，由于千位、百位、十位分别取了一个数，还剩下3个数供个位取，所以有3种选择 根据分步乘法计数原理，组成的四位数共有5543300(个) (2)因为满

6、足要求的四位数能被5整除，所以个位上的数字只能是0或5 第1类，当个位上的数字为0时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有5种选择、4种选择、3种选择，所以有54360个满足要求的四位数； 第2类，当个位数字为5时，依次取千位、百位、十位上的数字，分别有4种选择、4种选择、3种选择，所以有44348个满足要求的四位数 根据分类加法计数原理，能被5整除的四位数共有6048108(个) 规律总结排数问题实际就是分步问题，需要用分步乘法计数原理解决在有附加条件时，可能需要进展分类讨论，即在解决相关的排数问题时，要注意两个原理的综合应用, 跟踪练习1 用0,1,2,3，9十个数字可组成不同的： (1

7、)三位数_个； (2)无重复数字的三位数_个； (3)小于500且无重复数字的三位奇数_个 解析(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有91010900(个) (2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有998648个无重复数字的三位数900648144 (3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类： 第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，共有(48)264种 第二类，

8、首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，共有(58)280种， 由分类加法计数原理知，共有6480144种命题方向2 平面区域问题 用5种不同的颜色给图中的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，假设要求相邻(有公共边)的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 思路分析由于要求相邻(有公共边)的区域不同色，所以可按“1号区域与4号区域同色和“1号区域与4号区域不同色两种情况分类，然后根据两个原理分别求解.典例 21234 解析第一类：1号区域与4号区域同色，此时可分三步来完成，第一步，先涂1号区域和4号区域，有5种涂法，第二步，再涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有4种

9、涂法；第三步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有4种涂法，由分步乘法计数原理知，有54480种涂法； 第二类：1号区域与4号区域不同色，此时可分四步来完成，第一步，先涂1号区域，有5种涂法，第二步，再涂4号区域，只要不与1号区域同色即可，因此有4种涂法；第三步，涂2号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此有3种涂法；第四步，涂3号区域，只要不与1号区域和4号区域同色即可，因此也有3种涂法由分步乘法计数原理知，有5433180种涂法依据分类加法计数原理知，不同的涂色方法种数为80180260 规律总结这是一个有限制条件的计数问题，解决方法是：特殊位置、特殊元素优先安

10、排的原那么此题是先分类再分步，而分类的标准是两个特殊位置，这样，在分类时才能做到“不重不漏4272 解析(1)只满足相邻实验田种植不同作物，那么从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共3222248种方法，而5块试验田只种植了2种作物共有3211116种，所以不同的种植方法有48642种 (2)当使用四种颜色时，先着色第1区域，有4种方法，剩下3种颜色涂其他四个区域，即有一种颜色涂相对的两块区域，有32212种，由分步乘法计数原理得，共有41248种 当使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色第1区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4

11、区域，另一种颜色涂第3、5区域，有2种着色方法 由分步乘法计数原理得有43224种综上共有482472种命题方向3 抽取(分配)问题 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进展社会实践，其中甲工厂必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，那么不同的分配方案有() A16种B18种 C37种D48种 思路分析解决此类问题可以用直接法先分类再分步，也可用排除法 解析假设不考虑限制条件，每个班级，都有4种选择共有44464种情况，其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择共有33327种方法，那么符合条件的有642737种典例 3C 规律总结解决抽取(分配)问题的方

12、法 (1)当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或者图表法 (2)当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理一般地，假设抽取是有顺序的就按分步进展；假设是按对象特征抽取的，那么按分类进展间接法去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有符合条件的抽取方法数即可 跟踪练习3 3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种不同的方法？ 解析把3个不同的小球分别放入5个不同的盒子里(每个盒子至多放一个球)实际上是从5个位置选3个位置用3个元素进展排列共有60种结果 集合Aa1，a2，a3，a4，集合Bb1，b2，其中

13、aibj(i1,2,3,4，j1,2)均为实数 (1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？ (2)能构成多少个以集合A为定义域，以集合B为值域的不同函数 思路分析(1)由映射的定义可知，集合A中的每一个元素总对应着B中唯一的元素；(2)依题意，集合B中的每一个元素在集合A中要有对应元素，因此只要从问题(1)的映射数中减去A中四个元素对应B中一个元素的情况即可得到(2)的解元素重复的计数问题 典例 4 解析(1)因为集合A中的每个元素ai(i1,2,3,4)与集合B中元素的对应方法都有2种，由分步乘法计数原理，得构成AB的映射有22222416(个) (2)在(1)的映射中，a1，a2，a3

14、，a4均对应同一个元素b1或b2的情形构不成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数，这样的映射有2个 所以构成以集合A为定义域，以集合B为值域的函数有16214(个) 规律总结通过阅统计分析，造成失分的原因如下：(1)混淆分类加法计数原理和分步乘法计数原理而至错； (2)利用分步乘法计数原理时列式24误列为42而致错； (3)对函数概念的理解不清而致错 跟踪练习4 将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不一样，每列的字母也互不一样，那么不同的排列方法共有() A12种B18种 C24种D36种 解析第一步先排好一列，由于每列字母不同，那么只能是a，b，c，共6种排列，第二步

15、根据排好的一列进展排列，假设第一列是a，b，c，第二列只能是b，c，a或c，a，b两种，共有6212种排列A 有红、黄、蓝旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同也表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？ 错解每次升一面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成326种不同信号；每次升3面旗可组成3216种不同的信号，根据分类加法计数原理知，共有不同信号36615种 辨析每次升起2面或3面旗时，颜色可以一样分类计数时考虑不全致误 典例 5 正解每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成339种不同的信号；每次升3面旗可组成33327种不同的信

16、号根据分类加法计数原理得，共可组成：392739种不同的信号 点评审题时要细致，把题意弄清楚此题中没有规定升起旗子的颜色不同，故既要考虑升起旗子的面数，又要考虑其颜色，不可偏废遗漏 跟踪练习5 三边长均为正整数，且最大边长为11的三角形的个数是_ 解析另两边长用x，y表示，且不妨设1xy11，要构成三角形，必须xy12.当y取11时，x可取1,2,3，11，有11个三角形；当y取10时，x可取2,3，10，有9个三角形；当y取6时，x只能取6，只有1个三角形 所求三角形的个数为11975313636 1把10个苹果分成三堆，要求每堆至少有1个，至多5个，那么不同的分法共有() A4种 B5种

17、C6种 D7种 解析分类考虑，假设最少一堆是1个，那由至多5个知另两堆分别为4个、5个，只有一种分法；假设最少一堆是2个，那么由3544知有2种分法；假设最少一堆是3个，那么另两堆为3个、4个，故共有分法1214种A 2如下图给五个区域涂色，现有四种颜色可供选择要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，那么不同涂色方法种数为 () A24种 B48种 C72种 D96种C 解析解法一：分两种情况： (1)A、C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B、D有1种，由分步乘法计数原理知有43224种 (2)A、C同色，先涂A有4种，E有3种，E有2种，B、D各有2种，由分步乘法计数原理知有432248种 由分类加法计数原理知，共有72种，应选C 解法二：先涂A，