两因素方差分析

1、两因素方差分析一、 两因素方差分析中的基本概念1. 例1-1(pp1)：四种疗法治疗缺铁性贫血后红细胞增加数服用A药，则A2,否则A=1；服用B药，则B2,否则B=1疗法X总体均数AB疗法1(一般疗法)0.8 ，0.9 ，0.7m1111疗法2(一般疗法+A药)1.3，1.2，1.1m2121疗法3(一般疗法+B药)0.9，1.1，1.0m1212疗法4(一般疗法+A药B药)2.1，2.2，2.0m2222两因素Stata数据输入格式xab10.81120.91130.71141.32151.22161.12170.91281.1129112102.122112.22212222命令 anov

2、a x a b a*b其中a 表示A药疗效的主效应，b表示B药疗效的主效应，a*b表示A药与B药对疗效的交互作用结果如下 Number of obs = 12 R-squared = 0.9737 Root MSE = .10 Adj R-squared = 0.9638 Source | Partial SS df MS F Prob > F-+- Model | 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 | a | 1.6875 1 1.6875 168.75 0.0000 b | .907499974 1 .907499974 90.75 0.0000

3、 a*b | .367499967 1 .367499967 36.75 0.0003 | Residual | .080000002 8 .01 -+- Total | 3.04249994 11 .276590904 结果表明：对于a=0.05而言H10:没有交互作用并且A药和B药疗效的主效应都没有差异H11：有交互作用或A药主效应有差异或B药主效应有差异FModel=98.75，P值<0.05，因此认为模型是有效的(或有交互作用或有主效应)。H20:没有交互作用H21：有交互作用FA×B=36.75，P值=0.0003<0.05，因此A药与B药的疗效有交互作用，并且

4、有统计意义。H30：A药没有差异H31：A药主效应有差异FA=168.75，P值<0.05，A药的主效应有统计意义H40：B药没有差异H41：B药主效应有差异FB=90.75，P值<0.05，B药的主效应也有统计意义。问题：模型是什么？ 模型：其中mab是x的总体均数，aa称为A因素的主效应，bb称为B因素的主效应，(ab)ab称为A因素和B因素对因变量x(观察指标变量)的交互作用。2. 主效应的意义A药B药平均A主效应表示未服用服用未服用m11m12服用m21m22平均B主效应称a1和a2为A因素的主效应，b1和b2为B因素的主效应。并且可以验证：a1a20(即：a1a2)以及b

5、1b20(b1b2)若a1a2(即a1=a20)，则对应A因素的主效应没有作用。若b1b2(即b1=b20)，则对应B因素的主效应没有作用。3. 交互作用的意义A药B药A主效应表示未服用服用未服用m11m.+a1b1(ab)11m12m.+a1b2(ab)12服用m21m.+a2b1(ab)21m22m.+a2b2(ab)22B主效应即：(ab)11=m11m.a1b1 (ab)12m12m.a1b2(ab)21m21m.a2b1 (ab)22m22m.a2b2并且根据m.1，m.2，m1.，m2.和m.定义，请验证：(ab)11+(ab)12=0 >(ab)11=(ab)12(ab)1

6、1+(ab)21=0 >(ab)11(ab)21(ab)21+(ab)22=0 > (ab)22(ab)21(ab)11(ab)12(ab)12+(ab)22=0 若(ab)11=(ab)22(ab)21(ab)120，则称无交互作用。否则称A因素和B因素对观察指标构成交互作用。例如：若无交互作用模型：并称为Reduced模型(称有交互作用的模型为饱和模型或全模型)A药B药A主效应表示未服用服用未服用m11m.+a1b1m12m.+a1b2服用m21m.+a2b1m22m.+a2b2B主效应如A药B药平均A主效应表示未服用服用未服用0.5(0.65-0.05-0.1)0.7(0.6

7、5-0.05+0.1)m1.=0.6m1.=0.650.05(a1=0.05)服用0.6(0.65+0.050.1)0.8(0.65+0.05+0.1)m2.=0.7m2.=0.650.05(a2=0.05)平均m.1=0.55m.2=0.75m.=0.65B主效应m.1=0.65-0.1(b1=0.1)m.2=0.65+0.1(b2=0.1)未服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值m11m12b1b2=2b1服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值为m21m22b1b2=2b1即：B药的疗效与是否服用A药无关，并且B药的疗效正好为B药的主效应的差异=2b1未服用B药时,未服用A药与服用A药

8、均数差值m11m21a1a2=2a1服用B药时,未服用A药与服用A药均数差值为m12m22a1a2=2a1即：A药的疗效与是否服用B药无关，并且A药的疗效正好为A药的主效应的差异=2a1。有交互作用的情况A药B药A主效应表示未服用服用未服用m11m.+a1b1(ab)11m12m.+a1b2(ab)12服用m21m.+a2b1(ab)21m22m.+a2b2(ab)22B主效应未服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值：m11m12b1b2(ab)11(ab)12=2b1+2(ab)11服用A药时，未服用B药与服用B药均数差值：m21m22b1b2(ab)21(ab)22=2b12(ab)11

9、，因此(ab)11不为0时，未服用B药与服用B药均数差值与是否服用A药有关。即交互作用。同理可以验证未服用A药与服用A药均数差值与是否服用B药有关。即交互作用。如A药B药平均A主效应表示未服用服用未服用0.4(.75-.25-.15-.05)0.8(0.75+.25-.15+.05)m1.=0.6m1.=0.750.15(a1=0.15)服用0.6(.75-.25+.15+.05)1.2(.75+.25+.15-.05)m2.=0.9m2.=0.750.15(a2=0.15)平均m.1=0.5m.2=1.0m.=0.75B主效应m.1=0.75-0.25(b1=0.25)m.2=0.75+0.

10、25(b2=0.25)红色的数值为交互效应如果有交互作用，则：两个药都用的均数>A药的均数B药的均数两个药都未用的均数(本例即：m22>m12+m21m11)，则称协同作用。两个药都用的均数<A药的均数B药的均数两个药都未用的均数(本例即：m22<m12+m21m11)，则称拮抗作用。在实际统计时，如果检验的结果为有交互作用，只需用相应的样本均数代替总体均数验算一下：判断协同作用还是拮抗作用。4. 两因素方差分析中的两两比较(简单效应的组间比较Comparison of simple effect by group)：有许多方法可以进行两两比较，这里介绍的LSD方法进行

11、两两比较。分两个步骤进行。一、借用单因素方差分析的方法进行方差齐性检验和统计描述：以pp1中的例1-1为例：在该研究中有两个因素，每个因素有2个水平：用和不用，因此共有4种情况，对应有4组，两因素方差分析的两两比较时，可以转化为4组(各个因素的水平数之和)的单因素方差分析。仍以上述Stata文件结构：产生分组变量groupgen group=a+(b-1)*2对应的关系为：ABgroup111212123224oneway x group , t sidak | Summary of x group | Mean Std. Dev. Freq.-+- 1 | .79999999 .099999

12、99 3 2 | 1.2 .09999996 3 3 | 1 .10000002 3 4 | 2.1 .10000002 3-+- Total | 1.275 .5259191 12 Analysis of Variance Source SS df MS F Prob > F-Between groups 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 Within groups .080000002 8 .01- Total 3.04249994 11 .276590904Bartlett's test for equal variances: chi

13、2(3) = 0.0000 Prob>chi2 = 1.000结果说明：各组方差齐性anova x group Number of obs = 12 R-squared = 0.9737 Root MSE = .10 Adj R-squared = 0.9638 Source | Partial SS df MS F Prob > F -+- Model | 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 | group | 2.96249994 3 .98749998 98.75 0.0000 | Residual | .080000002 8 .01 -

14、+- Total | 3.04249994 11 .276590904 4组的总体均数不全相同。regress- x Coef. Std. Err. t P>|t| 95% Conf. Interval-_cons 2.1 .057735 36.37 0.000 1.966863 2.233137group 1 -1.3 .0816497 -15.92 0.000 -1.488284 -1.111716 2 -.9 .0816497 -11.02 0.000 -1.088284 -.7117155 3 -1.1 .0816497 -13.47 0.000 -1.288284 -.9117

15、155 4 (dropped)-Coef.表示第4组均数其他组的均数的差值，如：第4组均数第2组均数的差值0.9。P>|t|表示第4组均数与其他组的均数比较的P值，如第4组均数与第2组均数比较的P值=0.000。即：第4组(用A药且用B药)的红细胞增加数均数大于其他3组的红细胞增加数均数，并且差别有统计学意义。第1至3组的均数比较的检验操作如下：第i组与第j组比较：test _bgroupi=_bgroupjH0：mi=mj检验命令F值与P值m1=m2test _bgroup1=_bgroup2F(1,8)=24.00Prob>F=0.0012m1=m3test _bgroup1=

16、_bgroup3F(1,8)=6.00Prob>F=0.0400m2=m3test _bgroup2=_bgroup3F(1,8)=6.00Prob>F=0.0400结果说明：第2组(不用B药情况下用A药)的红细胞增加数均数大于第1组(不用B药和A药)和第3组(不用A药情况下用B药)的红细胞增加数均数，差别有统计学意义。第3组(不用A药情况下用B药)的红细胞增加数均数大于第1组(不用B药和A药)的红细胞增加数均数，差别有统计学意义。判断何种交互作用组别第1组第4组第2组第3组不用B药用B药不用B药用B药不用A药用A药用A药不用A药样本均数0.82.11.21.00.8+2.1=2.9>2.2=1.2+1.0结合两因素方差分析的结果说明A药和B药的疗效构成协同作用。结果小结：A药和