第9讲特殊的平行四边形

1、 让优秀成为习惯第9讲 特殊的平行四边形一、特殊的平行四边形矩形1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.矩形的性质:矩形具有平行四边形的所有性质；(1)矩形的对边平行且相等； (2)矩形的四个角都相等，且都是直角；(3)矩形的对角线互相平分且相等.3.矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形(定义)；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形.【矩形基础练习】1. 如图，矩形的两条对角线相交于点，则矩形的对角线的长是（ B ）A、2B、4C、D、ODCAB第1题12BCDAO（第2题）2. 如图，要使ABCD成为矩形，需添加的条件是（

2、）A、 B、 C、 D、3.下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行4.如图所示，矩形ABCD中，AEBD于E，BAE=30°，BE=1cm，那么DE的长为_3_5.如图将矩形ABCD沿BE折叠，若CBA=30°则BEA=_【例题1】已知：在矩形ABCD中，AEBD于E，DAE=3BAE ，求：EAC的度数。_O_A_B_D_C_E【练习1】如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，于E，于F。求证BE=CF。EABCDO1【例题2】已知，在矩形ABCD中，AE平分BAD，1=15°，求证：BO

3、=BE【练习2】如图所示，E为ABCD外，AECE,BEDE，求证：ABCD为矩形 【例题3】如图，直线EFMN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是EAC、MCA、ACN、CAF的角平分线，求证：四边形ABCD是矩形【例题4】已知平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H。求证：四边形EFGH为矩形【练习3】如图，在ABC中，C=90°，AC=BC，AD=BD，PEAC于E，PFBC于F，求证：DE=DF【例题5】已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且ACBD。E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形

4、EFGH是矩形【练习4】已知，如图矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，求证：四边形EFGH是矩形 【例题6】如图，已知矩形ABCD，从顶点C作对角线BD的垂线与BAD的平分线交与点E，求证：BD=CE二、特殊的平行四边形菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质：菱形具有平行四边形的所有性质；(1)菱形的对边平行，四条边都相等；(2)菱形的对角相等；(3)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形的判定方法： (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形(定义)；(2)四条边都相等的四边形是菱

5、形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【菱形基础练习】1.已知菱形的对角线长分别为12m和16m，则面积是( )，2.一个菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则这个菱形的周长等于_cm3.已知：菱形的周长为40cm，两条对角线长的比是3：4。求两对角线长分别是 。4若菱形的周长为24 cm，一个内角为60°，则菱形的面积为_ cm2。5. 菱形和矩形一定都具有的性质是（）A对角线相等B对角线互相垂直C对角线互相平分 D对角线互相平分且相等6.下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )A.对边平行且相等 ；B.对角线互相平分；C.内角和等于外角和；D.每一条对角线都是它

6、的对称轴7. 已知菱形的面积为，对角线，则菱形边长为8. 菱形的周长是它的高的8倍，则菱形较小的一个角是（）【例题7】已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E 求证：AFD=CBE 【练习5】已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F求证：四边形AFCE是菱形【例题8】已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求证：AM=BE。【例题9】如图，在菱形ABCD中，A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OEAB，垂足为E求线段的长【练习6】如图，四边形ABCD是菱形，DEAB

7、交BA的延长线于E，DFBC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想【例题10】如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：BDEBCF； （2）判断BEF的形状，并说明理由；（3）设BEF的面积为S，求S的取值范围.三、特殊的平行四边形、矩形、菱形正方形1.正方形的定义：有一组邻边相等的矩形叫做正方形；或有一个角是直角的菱形叫做正方形.2.正方形的性质:正方形具有平等四边形、矩形、菱形的所有性质；(1)正方形的对边平行，四条边都相等；(2)正方形的四个角都是直角；(3)正方形的两条对角线相等，

8、并且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角；3.正方形的判定方法： (1)有一组邻边相等的矩形是正方形；(2)有一个角是直角的菱形是正方形；(3)对角线相等的菱形是正方形；(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.【正方形基础练习】1.已知：如图所示，E为正方形ABCD外一点，AEAD，ADE75°，则AEB30。2.正方形具有而菱形没有的性质是。A、对角线互相平分B、每条对角线平分一组对角C、对角线相等D、对边相等3.以线段AB的两个端点A、B为顶点作位置不同的正方形，一共可作。A、1个B、2个C、3个D、4个4.正方形ABCD中，对角线的长是10cm，点P是AB上任意一点，则点P到AC、

9、BD的距离之和是105.如图所示，在正方形ABCD中，H是BC延长线上一点，使CECH，连结DH，延长BE交DH于G，则下面结论错误的是B。A、BEDH B、HBEC90°C、BGDHD、HDCABE90°【例题11】 如图，在正方形ABCD中，M为BC上任一点，N是CD的中点，且AM=DC+CM求证：AN平分DAM【练习7】如图，在正方形ABCD中，PAQ是正三角形，设AB=10,求PB的长【例题12】已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM且交CBE的平分线于N. 求证：MD=MN. 若M是AB上任意一点，MD=MN还成立吗？【练习8】如图，

10、在正方形ABCD中，F是对角线AC上任一点，BFEF,求证：BF=EF【例题13】如图，在正方形ABCD中，E是BC边上一点，过点E作AE的垂线分别交CD、AB的延长线于点F、G. 求证：BE=BG+CF【例题14】如图，在菱形ABCD的边上依次取点E、F、G、H，使AE=AH=CF=CG,若菱形边长是1，A=120°，求证（1）四边形EFGH是矩形 （2）设AE=x,四边形EFGH的面积是y,求y与x的函数关系式 （3）当x为何值时，四边形EFGH是正方形？【练习9】如图，正方形ABCD边长为1，E是CD的中点，点F在BC边上移动.试判断当点F移到什么位置时，AE是DAF的平分线？

11、【练习10】如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PEBC,PFCD,E、F分别为垂足求证：AP=EF.【作业】1.对角线互相垂直平分的四边形是（ ）A平行四边形、菱形B矩形、菱形C矩形、正方形D菱形、正方形DCBA2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形3.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A当AB=BC时，它是菱形 B当ACBD时，它是菱形C当ABC=900时，它是矩形 D当AC=BD时，它是正方形4.如图，在中，点分别在边，上，且，下列四个判断中，不正确的是（）A四边形是平行四边形B如果，那么四边形是矩

12、形C如果平分，那么四边形是菱形D如果且，那么四边形是菱形5.如图，四边形为矩形纸片把纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕为若，则等于（）AB CD6.如图，矩形的周长为，两条对角线相交于点，过点作的垂线，分别交于点，连结，则的周长为（ ）A5cmB8cmC9cmD10cm7.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为 ABCD8.如图，在矩形中，对角线交于点，已知，则的长为 ADCBO9.边长为cm的菱形，一条对角线长是6cm，则另一条对角线的长是 .10.如图所示，菱形中，对角线相交于点，若再补充一个条件能使菱形成

13、为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）BCDAP11.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则ACP度数是 12.已知：如图RtABC中，ACB90°，CD为ACB的平分线，DEBC于点E，DFAC于点F.求证：四边形CEDF是正方形.13.已知，AD是ABC的角平分线，DEAC交AB于点E，DFAB交AC于点F. 求证：四边形AEDF是菱形. 14.如图，矩形中，是与的交点，过点的直线与的延长线分别交于（1）求证：；FDOCBEA第14题图（2）当与满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？证明你的结论【优加分享】 自信的原因 她叫黄美廉，出生没多久，

14、她就患上了脑性麻痹症。由于生病，她的模样变得十分怪异，嘴里常常会念叨一些模糊不清的词语。另外，她的四肢也失去了平衡感，手脚常会不能自控地乱动。 按照一般人的观点，这样一位失去语言表达能力和正常生活条件的女性，是根本没有资格去谈什么前途与幸福的，可是黄美廉却kao着自己顽强的意志和毅力，取得了令人震惊的成绩她考上了美国著名的加州大学，并获得了艺术博士学位。除此之外，依kao手中的画笔和很好的听力。她能够完全自如地表达自己的情感，与人交流起来几乎一点困难也没有。 在一次面向中学生的演讲会上，一位听者情不自禁地提出了这样一个问题：黄博士，你从小就长成这个样子，为什么还会这么自信呢？请问你是怎么看待你自己的？ 顿时，场上所有人都暗暗责怪起这个学生的不敬来，但是目光却不约而同地集中在了黄美廉身上。显然，大家心里都存在这个疑惑。黄