函数列一致收敛性三

1、第十三章第十三章 函数列与函数项级数函数列与函数项级数一、点态收敛的概念一、点态收敛的概念二、一致收敛性及其判别法二、一致收敛性及其判别法三、一致收敛的函数列三、一致收敛的函数列 与函数项级数的性质与函数项级数的性质1 一致收敛性一致收敛性一、函数列与函数项级数一、函数列与函数项级数二、函数列一致收敛性二、函数列一致收敛性三、函数项级数一致收敛性三、函数项级数一致收敛性下 页上 页 返 回一、函数列与函数项级数的的概念一、函数列与函数项级数的的概念1. 函数列的定义函数列的定义:收敛数列收敛数列(数项级数数项级数)可表示、定义一个数；可表示、定义一个数；试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函

2、数。试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。(1) 定义定义1 是是定定义义在在同同设设函函数数),(,),(),(21xfxfxfn.,上的函数列上的函数列则称其为则称其为上上一个数集一个数集EE, 2 , 1),()( : nxfxfnn或或记为记为).()(,00 xfxfxxnn为一个数列为一个数列则函数列则函数列特别地取定特别地取定 (2) 定义定义2 ,)(,)(00点收敛点收敛在在则称则称收敛收敛若数列若数列xxfxfnn.)(0的收敛点的收敛点为为也称也称xfxn.)(,)(00点发散点发散在在则称则称发散发散若数列若数列xxfxfnn,)(上的每一点均收敛上的每一点均收敛

3、在在若数列若数列Dxfn.)(上收敛上收敛在在则称则称Dxfn下 页上 页 返 回(3) 定义定义3 则则可可确确定定一一个个新新的的上上收收敛敛在在若若,)(Dxfn.),(Dxxf 函数函数.)()(的极限函数的极限函数为函数列为函数列则称则称xfxfn nxfxfDxDxxfxfnnn),()(,),()(lim :或或记为记为 )()(lim xfxfnn即即定义定义N )()(,N , 0,xfxfNnNDxn有有当当),(x (4) 定义定义4 .)(,)(的收敛域的收敛域称为称为收敛点的全体集合收敛点的全体集合函数列函数列xfxfnn例例1 试求下列函数列的收敛域与极限函数试求下

4、列函数列的收敛域与极限函数),( , 2 , 1,)( )1 ( xnxxfnn解解 显然显然,1时时 x0lim nnx,1时时 x,lim不存在不存在nnx ,1时时 x1lim nnx,1时时 x,lim不存在不存在nnx 1 , 1( 收敛域为收敛域为nx极限函数极限函数 1 , 11| , 0)(xxxf下 页上 页 返 回),( , 2 , 1,sin)( )2( xnnnxxfn解解 显然显然),(sin收敛域为收敛域为nnx极限函数极限函数),(, 0)( xxf,1sin)(nnnxxfn 0sinlim nnxn问题：问题：;)( )1 (收敛域的判别收敛域的判别函数列函数

5、列xfn).()( )2(连续、可积、可导连续、可积、可导的分析性质的分析性质极限函数极限函数xf 是不是所有是不是所有的连续函数列的极限函数的连续函数列的极限函数在其收敛域上也连续。在其收敛域上也连续。)(lim)()(lim000 xfxfxfnnxx 即即？结论是：不一定结论是：不一定 1 , 11| , 0)(lim xxxfxnn如：如：.1)(处不连续处不连续在在 xxf因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。下 页上 页 返 回(1) 定义定义5 1)(nnxu称为称为E上的函数项无穷级数或简称为级数。上的函数项无穷级数或简称为级数。部分和

6、实际是一个函数列部分和实际是一个函数列. niinnxuxuxuxuxs121)()()()()(同时称同时称2. 函数项级数的概念函数项级数的概念),(xuEn上的函数列上的函数列设设对其各项对其各项依次依次用用“+”连接起来的表达式连接起来的表达式 )()()()(321xuxuxuxun记为记为部分和部分和.)(,100实际为一个数项级数实际为一个数项级数函数项级数函数项级数 nnxuEx特别地特别地,(2) 定义定义6 .)(,)(,10100收敛点收敛点为为则称则称收敛收敛级数级数当当 nnnnxuxxuEx.)(lim)(lim 100存在存在即即 niinnnxuxs.)(,)(

7、1010发散点发散点为为则称则称发散发散当当 nnnnxuxxu下 页上 页 返 回(3) 定义定义7 则则可可确确定定一一个个新新的的上上收收敛敛在在若若级级数数,)(1Dxunn .),(Dxxs 函数函数.)()(1的和函数的和函数为函数列为函数列则称则称 nnxuxsDxxsxunn ),()( :1记为记为 )()(lim xsxsnn即即定义定义N )()(,N , 0,xsxsNnNDxn有有当当),(x (4) 定义定义8 .)(,)(11的收敛域的收敛域称为称为收敛点的全体集合收敛点的全体集合级数级数 nnnnxuxu.)()(1的收敛域的收敛域的收敛域本质上是的收敛域本质上

8、是xsxunnn 余项余项)()()(xsxsxRnn )(1xuiin Dxxsxunn ),()(1收收敛敛与与若若可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.下 页上 页 返 回例例2 试求下列级数的收敛域与和函数试求下列级数的收敛域与和函数),( , )1 (1 xxnn解解xxxxxsnnkkn 1)1()(1),( x)(limxsnn xxxnn 1)1 (lim 1,1,1xxxx发散发散),( ,)()()( )2(121 xxxxxxxunnnn解解nnxxs )(),( x)(limxsnn nnx lim 1 , 11| , 0

9、 xx收敛于收敛于内内在在 1)1 , 1(nnxxx 1收敛域收敛域 1 , 11| , 0)( xxxf和函数和函数 1 , 1( 下 页上 页 返 回问题问题：(1) 函数项级数的收敛域与和函数；函数项级数的收敛域与和函数； (2) 和函数的分析性质。和函数的分析性质。 对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是连续、可积、可导连续、可积、可导,有很好的运算法则有很好的运算法则. 对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是连续、可积、可导？连续、可积、可导？由上例由上例(2)知知 1 , 11| , 0)()()

10、()(121xxxfxxxxxxunnnn.1 , 11| , 0)(在在其其收收敛敛域域上上不不连连续续 xxxf进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。下 页上 页 返 回 1 , 0(,2)()(2221 xxenxsxuxnnnn的部分和的部分和又如：若又如：若 1 , 0(, 0)( xxs,可积可积连续连续dxxunn 101)(dxxsnn 10)(lim)()( 110101 nkknkkdxxudxxu由于由于dxxunkkn )(lim101 dxxs 10)(dxxsnn )(lim10 , 0 )( lim)( lim

11、 110101 nkknnkkndxxudxxu)1 (lim2nnne 1 dxxunn 101)( 110)(nndxxu 110)(nndxxu结论：结论：即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先 对每个函数积分后，再和对每个函数积分后，再和.为此引进为此引进一致收敛一致收敛的概念的概念下 页上 页 返 回二、函数列的一致收敛二、函数列的一致收敛回顾：回顾：上连续上连续在数集在数集函数函数Exf)(处连续处连续在在xxfEx)(, | )()(|),(, 0 , 0,xfxfxUxEx有有当当),( x上一致连续上一致连续在数集在数集函数函数Exf

12、)( | )()(| ,|, 0 , 0 xfxfxxExx有有时时当当)( )()(lim xfxfnn )()(,N , 0,xfxfNnNDxn有有当当),(x 1 定义定义9满足满足上函数列上函数列设设),(),(xfxfDn )()(,N , 0 xfxfDxNnNn有有当当)( )()(xfDxfn上一致收敛于上一致收敛于在在则称函数列则称函数列Dxnxfxfn ),(),( )( :记为记为下 页上 页 返 回命题：命题：Dxnxfxfn ),(),( )( )1 (若若Dxnxfxfn ),(),()(则则由定义显然可得由定义显然可得.(2) 反之不真反之不真.Dxnxfxfn

13、 ),(),()( 若若即即).(),( )( nxfDxfn上不一定一致收敛于上不一定一致收敛于在在).(),( )( nxfDxfn上不一致收敛于上不一致收敛于在在Dxnxfxfn ),(),( )(000000)()(,N, 00 xfxfDxNnNn有有例例3 判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性判断下列函数列在给定的区间上的一致收敛性),( , 2 , 1,sin)( )1 ( xnnnxxfn解解),(, 0)()(lim xxfxfnn,N,1sin)()( nnnnxxfxfn, 0 .1即可即可取取 NRxnnx 0, sin下 页上 页 返 回 1 , 1( , 2 ,

14、 1,)( )2( xnxxfnn解解nnxxfxfx| )()(| ,0 时时当当000000)()(,N, 00 xfxfDxNnNn有有Dxnxfxfn ),(),( )(0)11 (,N, 2010000 nnxnn故对故对00| )()(|000nnxxfxf 21)11 (0 n,)11 (, 2max,N,21 010000nnxNnN 取取即即 000)()(0 xfxfn有有 1 , 1(,1 , 11| , 0)( xxxxf)( xfn从而从而 1 , 1(,1 , 11| , 0)()( xxxxfxfn由前知由前知下 页上 页 返 回)()(xfDxfn上一致收敛于上

15、一致收敛于在在函数列函数列2. 几何意义几何意义 )()(,N )(, 0 xfxfDxNnNn有有当当Dx 0先取定先取定xoyx0f(x0) Nn 当项数充分大当项数充分大即给定即给定, 0 的的每每一一条条曲曲线线函函数数列列)(xfn.2,)()(带形区域内带形区域内的的宽为宽为为中的为中的函数函数将位于以极限将位于以极限 xfxfyn )()(xfDxfn上收敛于上收敛于在在函数列函数列的几何意义呢？的几何意义呢？下 页上 页 返 回3. 函数列一致收敛的判别法函数列一致收敛的判别法(1) Cauchy准则准则定理定理1上一致收敛上一致收敛在在函数列函数列Dxfn)( )()(,N

16、)(, 0 xfxfDxNmnNmn有有当当.)()(未知未知的极限函数的极限函数函数列函数列xfxfn证证2)()(,N , 0 xfxfDxNnNn有有当当 )(xfn设设Dxxf ),(2)()(, xfxfDxNmm有有 )()()()()()(xfxfxfxfxfxfmnmn )()(,N )(, 0 xfxfDxNmnNmn有有当当即即 )()(,N )(, 0 xfxfDxNmnNmn有有当当,)( ,收收敛敛xfDxn Dxnxfxfn ),(),()(设设 mxfxfmn中中令令在在 )()( )()(,N )(, 0 xfxfDxNnNn有有当当 )()(xfxfn)( x

17、fn即即Dxxf ),(下 页上 页 返 回3. 函数列一致收敛的判别法函数列一致收敛的判别法(1) Cauchy准则准则定理定理1上一致收敛上一致收敛在在函数列函数列Dxfn)( )()(,N )(, 0 xfxfDxNmnNmn有有当当.)()(未知未知的极限函数的极限函数函数列函数列xfxfn )()( ,N,N, 0 xfxfDxpNnNnpn有有当当 虽然虽然Cauchy准则，较用定义判别改进一步，应用时准则，较用定义判别改进一步，应用时往往也需要较复杂的技巧，操作上不理想的弱点。往往也需要较复杂的技巧，操作上不理想的弱点。(2) 上确界判别法上确界判别法)()(xfDxfn上一致收

18、敛于上一致收敛于在在函数列函数列)()(xfxfn 定理定理2Dx sup nlim0 证证 2)()(,N , 0 xfxfDxNnNn有有当当)(xfn设设Dxxf ),()()(xfxfn Dx sup,Nn 当当 2)()(xfxfn Dx sup nlim0 下 页上 页 返 回(2) 上确界判别法上确界判别法)()(xfDxfn上一致收敛于上一致收敛于在在函数列函数列)()(xfxfn 定理定理2Dx sup nlim0 证证 )()(xfxfn Dx sup nlim0 ,N , 0NnN 当当 )()(xfxfnDx sup,)()(, xfxfDxNnn有有当当)(xfnDx

19、xf ),(此判别法涉及上确界的求法。此判别法涉及上确界的求法。.,)()(法法可利用导数求最值的方可利用导数求最值的方上可导上可导在在、若若Dxfxfn当然也可以适当放大，如下所述：当然也可以适当放大，如下所述：)()(xfxfn Dx sup 若若0lim , nnnaa且且)(xfnDxxf ),(下 页上 页 返 回例例3 求下列函数列的收敛域，并讨论一致收敛性求下列函数列的收敛域，并讨论一致收敛性),(,)(1)( )1 (2 xnxxxfn解解)(limxfnn 2)(1limnxxn 0 进一步考察一致收敛进一步考察一致收敛)()(xfxfn ),( x)(xf 2)(1|nxx

20、 )(1 21222nxnxn nan 21021limlim nannn由于由于),( x2)(1)(nxxxfn ),( , 0)( xxf也可以利用一致收敛的定义验证也可以利用一致收敛的定义验证.下 页上 页 返 回),(,)( )2( xxxfnn解解)(limxfnn 1 , 1( 收敛域为收敛域为 1 , 11| , 0)(xxxf进一步考察一致收敛进一步考察一致收敛)()(xfxfn 1 , 01| ,|xxxn1 , 1(sup x)()(xfxfn , 1 nlim1 , 1(sup x)()(xfxfn , 01 . 1 , 1()(上不一致收敛上不一致收敛在在故故 xfn

21、.)1 , 1()( 上也不一致收敛上也不一致收敛在在同理同理 nnxxf),1 , 0( k但但,supkkx )()(xfxfn ,nk nlim)()(xfxfn 0lim nnknnxxf )(, , 0)(kkxxf 内闭一致收敛内闭一致收敛完全与一致连完全与一致连续性质相似续性质相似,supkkx 下 页上 页 返 回例例4 证明证明)(xfn若若,),(Dxxf )(xgnDxxg ),()()(xgxfnn 则则,),()(Dxxgxf ,N , 011NnN 当当 ,2)()(, xfxfDxn有有证证,N 22NnN 当当,2)()(, xgxgDxn有有,N,max21N

22、nNNN 当当取取)()()()(,xgxfxgxfDxnn 有有 )()()()(xgxgxfxfnn)()(xgxfnn 则则,),()(Dxxgxf 下 页上 页 返 回三、函数项级数的一致收敛三、函数项级数的一致收敛 函数列一致收敛是函数在区间上的整体性质，收函数列一致收敛是函数在区间上的整体性质，收敛仅仅是局部性质。敛仅仅是局部性质。下面介绍函数项级数的一致收敛性下面介绍函数项级数的一致收敛性.1 定义定义10,)()(的部分和函数列的部分和函数列是函数项级数是函数项级数设设 xuxsnn)(xsn若若, ),(Dxxs )()(xsDxun上一致收敛于上一致收敛于在在则称则称 )(

23、)(,N , 0 xsxsDxNnNn有有当当)( )()(,N )(, 0 xsxsDxNmnNmn有有当当)()(xsxsn Dx sup nlim0 函数项级数的一致收敛归结为部分和函数列的一致收敛函数项级数的一致收敛归结为部分和函数列的一致收敛.由前讨论可得：由前讨论可得：)()(xsDxun上一致收敛于上一致收敛于在在 )(xRn, , 0Dx 下 页上 页 返 回 以上方法只有在级数的部分和函数列能求得时可用，以上方法只有在级数的部分和函数列能求得时可用，然而有时求部分和函数列非常困难然而有时求部分和函数列非常困难.2 函数项级数一致收敛的判别方法函数项级数一致收敛的判别方法(1)

24、 必要条件必要条件定理定理3 ,)(上一致收敛上一致收敛在在若若Dxun )( xun则则. , 0Dx )()( ,N )(, 01xsxsDxNnNnn有有当当事实上事实上,)(上一致收敛上一致收敛在在若若Dxun | )(| 1xun即即)( xun则则. , 0Dx 0)1 , 1()(上不一致收敛于上不一致收敛于在在由于由于 nnxxu.)1 , 1(上也不一致收敛上也不一致收敛在在 nx.)1 , 1(,上不一致收敛上不一致收敛在在但但 kkxn页页详见详见32P下 页上 页 返 回(2) 优级数法优级数法Weierstrass法法定理定理4 .)(上一致收敛上一致收敛在在则则Dx

25、un 此法类似于正项级数的比较法，将一致收敛转化为此法类似于正项级数的比较法，将一致收敛转化为寻找一个收敛的正项级数寻找一个收敛的正项级数,称为称为M- -审敛法审敛法. ).(,)(级数级数为优级数为优级数称称若若MMDxMxunnn证证由柯西收敛准则即得由柯西收敛准则即得 收敛收敛nMN,N , 0 pNnN当当 pnnpnnMMMM11| pnnpnnMMxuxu11| )()(|即即, 2 , 1,)(, )( nDxMxuMxuDnnnn使得使得正项级数正项级数若存在一个收敛的若存在一个收敛的上函数项级数上函数项级数在在,Dx .)(上一致收敛上一致收敛在在则则Dxun 下 页上 页

26、 返 回例例5 讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性, )1 (绝对收敛绝对收敛设数项级数设数项级数 na.),(cossin一致收敛性一致收敛性在在与与讨论讨论 nxanxann|cos,sinnnnanxanxa 由于由于收敛收敛 na.),(cossin内内一一致致收收敛敛在在与与 xnxanxann解解. ),(,1 )2(125 nxxnnx解解)1 (125232525xnnxnxnnx )1 (21252325xnnxn 2321n 收敛收敛由于由于 12321nn.),(1125 nxxnnx一致收敛一致收敛在在下 页上 页 返 回. ),(),1( ,cos )3(1 npxpnnx一致收敛一致收敛例例5 讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性讨论下列函数级数在给定的区间上的一致收敛性. ),(,1sin)1( )4(12 nnxnnx一致收敛一致收敛. ), 1(,2)1( )5(1 nnnxx), 1(, 1,1212)1( xnxnnn收敛收敛由于由于 121