学前幼儿数学概念之探讨

1、學前幼兒數學概念之探討 李佩妮 老師數學是存在於我們生活週遭非常生活化的一種知識，數學的能力更是解決生活中實用問題的能力（周淑惠，民88）。對於0-6歲學前幼兒而言，他們對於外在世界探索與學習的開始，往往來自於生活、身邊所接觸的事物與所經歷的經驗。因此數學對幼兒而言，應非視為一種全然的抽象概念，而是一種來自生活也用諸於生活的能力。到底幼兒的數學概念其發展的情形為何？本文嘗試將相關的文獻(周淑惠，民88；李丹編，民85；陳小芬，民83；簡楚瑛，民82；王文科，民81；蘇建文，民80；陸有銓、華意蓉譯，民78)做一整理，並就幼兒數學概念中的數、量、幾何與空間、邏輯等四個部分加以探討，以瞭解學前幼兒

2、數學概念的發展狀況。以下先就數學概念中數、量、幾何與空間、邏輯的含意簡單的做一介紹，以便之後的討論。 一、數1.零：沒有狀況之概念。2.唱數：對數字無意義口頭吟誦。3.計數：將數目字依序指定（pointing）到可數之物體上。4.一對一：將相關的單一物品同時呈現，表現其相互的關係。5.基數：把計數過程最後一個數字，作為集合的數目。6.序數（1）比較：對數目（或數字）多、少或一樣的了解，但不涉及量的問題（如：多幾個？）。（2）次序：對數字順序的描述。如：第一、第二、第三。（3）標記：以特定的起點與方向，依照序數的內容，指出所需之物體。如：從小熊往前數，第三個是小喵咪。二、量1.測量（1）單位：對

3、測量單位數目（如：尺的刻度）數算之能力。（2）保留遞移：利用已知之量的關係去推算未知的關係。如： AB，BC，所以AC。2.序列（1）長度：對物體長短、高矮或深淺之比較。（2）重量：對物體輕、重之比較。（3）面積：對平面物體面積大、小之比較。3.時間（1）說出時間：對時鐘所顯示時間之了解。（2）時間概念：指時間先後的觀念（如：早晚、先後、長短、從前未來）。4.金錢（1）錢幣：指幣值的大小。（2）對等關係：對幣值進行比較，並涉及至少加減乘除四則運算其中一種（如：10元比5元多，10元等於2個5元）。（3）買賣購物：以錢幣進行買賣。5.運算：對可數物體或數目加、減、乘、除；奇偶數；倍數之觀念。三、

4、幾何與空間1.形狀：辨識正方形、長方形、三角形、圓形等基本圖形。2.參照點：辨識前後、左右、裡外、上下、中間方位。3.二度空間：辨識平面圖形裡相同與相異處。4.三度空間：對單一立體圖形空間之辨識。四、邏輯1.一個向度：以物品的一種屬性做分類。2.兩個向度：以物品的兩個屬性做分類。3.包含：對物品種類與次種類之間質與量關係的概念。4.推理：對物品三種屬性（或三種以上）做分類，並對兩個以上的立體圖形空間做辨識之能力。幼兒數學概念壹、數一、唱數就幼兒早期的唱數而言，學會一到十幾個數字背誦計數（Rote Counting）是主要的方法。學習唸 1、2、3就像是學唱歌一樣，唱數對幼兒而言，只是一組無意義

5、的口頭吟誦，而且內容是強記的。但十以後的唱數學習，Ginsburg（1989），Fuson和Hall（1983）認為規則學習（Rule Governed）成為學習的中心，也就是幼兒不再強記無意義的口頭吟誦，轉而嘗試從一到十中找出基本的規則，運用在十以後的數字上（簡楚瑛，民82；周淑惠，民88）。對於幼兒唱數能力的發展，簡楚瑛（民82）整理相關文獻（Fuson & Richards，1979；Fuson & Mierkiewicz ，1980；Fuson、Richards & Briars，1982）指出幼兒所能說出數字順序的平均長度，由三歲半之四歲半的13到五歲半至六歲

6、半的51，但這並不表示幼兒了解計數的原則及數的概念。二、計數所謂的計數（Counting），根據Fuson和Hall（1983）的定義：計數是將數目字依序指定（Pointing）到物體上，而被指定的物體都是可數之物（Countable）存在於空間與時間中的物體。在每次正確的計數中，每一個可數之物都是僅與一個數目字連在一起，而每個數目字都有一個指定之物。數目字與可數之物的搭配是要藉著指定的活動來完成（簡楚瑛，民82）。Gelman 和Gallistel（1978）指出幼兒在三歲時就懂得計數實物的概念與原則。這些原則包括（簡楚瑛，民82；周淑惠，民88）：（一）固定順序原則（the stable-

7、order principle）：每一次計數時，計數之標記必須遵守同樣的順序（如，或）。（二）一對一原則（the one-to-one principle）：計數時要點一個，唸一個數目標記。亦即每一物體應該只有一個數目字與之對應。（三）基數原則（the cardinal principle）：計數後集合中最後一個項目的標記代表此堆項目之數目總數。（四）抽象原則（the abstraction principle）：以上三原則均可適用於任何可數的事物，即任何東西皆可拿來數（實物、想像中之事物）。（五）次序無關原則（the order-irrelevance）：集合中的項目無論從哪一個開始數起，並

8、不影響其結果（總數）。相關研究指出（Baldwin & Stecher，1925；cited from Ginsburg，1989），一般而言平均四歲左右的幼兒能計數九件東西，五歲的幼兒大約二十件，六歲的幼兒則能正確計數二十八件（周淑惠，民88）。三、基數在幼兒學習如何應用計數方法的過程中，重要的一步是幼兒學習到將計數過程中最後的一個數字做為這一集合的數目。Schaeffer，Eggleston和Scott（1974），將此稱為基數律。Gelman 和Gallistel（1978）則稱為基數原則。當幼兒在被問及這一群體中有多少物體？時，如果他的反應是再數一次時，那就表示他仍然未具有基數

9、的概念。在幼兒被問及多少的問題時，他的實際反應會有兩個階段：1.先是去計數；2.計數中的最後一個數字被視為基數而將其說出。例如五，幼兒知道是計數五個物體過程中最後的一個數目字，也就是幼兒學習到一個數目字同時表示一個集合的名字與計數的結果。當我們對幼兒說：這裡有五顆彈珠，把五顆彈珠放入茶杯中。不了解基數原則的幼兒可能會必須重數一遍彈珠，然後再把彈珠放入茶杯中；相反的，了解基數原則的幼兒就會直接把彈珠放入茶杯中。Fuson和Mierkiewicz（1980）認為五歲的幼兒已發展出基數的概念，Ginsburg和Russell（1981）認為平均四歲八個月時，幼兒能發展出對基數概念的理解（簡楚瑛，民8

10、2）。四、序數序數通常用以描述一整個已經定義好的集合中，某一物相對大小和相對位置。Beilin（1975）指出57%的五歲幼兒、91%的六歲幼兒和98%的七歲幼兒能按序說出序數到第五。序數順序的發展較計數要晚了許多。Fuson和Hall（1983）將序數的學習分成序列的理解和對序數內容加以標記兩個次概念。而Braoody（1987）指出相對大小的比較，需要四種能力的統整：唱數、基數、計數和序數（簡楚瑛，民82；周淑惠，民88）。（一） 序列（Seriation）亦稱排列次序（Ordination），係指具體運思期兒童處理物體差異時，能按照由大而小或從小至大之次序排列，建立其間不同關係的能力（P

11、iaget & Inhelder，1969）。皮亞傑有關序列的實驗結果指出，四至五歲的幼兒無法做出排列次序，但Ginsburg（1989）發現有些幼兒能做出小部分的排序，或是頂端部分程序列狀；而五至六歲之幼兒雖無法整體統合考量，但也能從嘗試錯誤的方式排出序列。各種序列能力的獲得與保留能力的獲致是一樣的，有按照順序而發展的典型年齡。兒童最先獲得的是排列長度次序的能力，約在七歲左右，相當於具體運思期的開始；其次是重量次序排列的能力（即將同樣大小但重量不同之物體排列的能力），約在九歲時獲得；至於體積系列的安排能力則須待十二歲左右始能具備（Piaget，1967）。序列亦屬於邏輯能力的一部份，

12、有關序列之知識在幼兒邏輯發展部分有更多的解釋。（二） 將序數內容加以標記序數的使用和基數是不同的，序數中的計數必須開始於一特定的起點，而且其順序必須按照序數的內容來進行，直等到所要的物體出現。因此次序無關原則並不適用於序數，同時序數的計算也不是集合中每個物體都非數不可。幼兒有可能會以序數數字（如第一、第二、第三等）來數，但3-6歲的幼兒往往是先用基數數字來數，到最後再改以序數數字（如：一、二、三、四，第四，這是第四）。這種基數序數的轉變很明顯是依附在知道序數數字上。Fuson和Hall（1983）研究發現有許多五歲的幼兒無法回答以序數發問的問題，但他們卻了解以基數方式來問的同樣問題。皮亞傑發現

13、大約在八歲時，幼兒才能將數字的序數與基數的意義統合在一起。（三） 數量多少或數字大小之較Braoody（1987）指出數量多少和數字大小之較，必需要四種能力的統整：唱數、基數、計數和序數。對幼兒來說數目字並不表示相對的大小或多與少，是到了最後才學習到數目的順序原來與大小有關。相關研究（Schaeffer et al.，1974；Resnick，1983）指出大約在三歲半的時候，幼兒會了解3比2大，四歲時幼兒會發現一個通則，在順序中較後出現的數字就是比較前出現的數字為多。大部分的幼兒在五歲時，都已能做出5以下甚至10的比較。貳、量一、測量皮亞傑探討幼兒測量概念發展時，認為在測量過程中，有兩個基本

14、的運作：保留性（Conservation）與遞移性（Transitivity）（簡楚瑛，民82；蘇建文等，民80 ）。（一）保留性：指的是對於物體的某些性質如長度、數目、實體（matter）、重量、面積、體積等經由某些轉換、變形（transformation）仍保持不變的體認。（二）遞移性：假如有做高塔擺在幼兒面前，我們要求幼兒在另一不同高的層級上再建一座與此塔同高的塔，並提供給幼兒一些積木與塔高同度的棍子。假如幼兒能由原塔的高度等於棍子的長度，棍子的長度等於另一塔的高度，推算出來兩座塔的高度是相等的，那幼兒就算以學到了遞移性。因為他以能用中介物來進行比較。測量概念的發展，在一、二歲之前為缺乏

15、保留性與遞移性概念之最初階段，在這階段幼兒對保留的判斷主要來自於單一的知覺特點，此時也無法給予測量工具任何測量意義；到六至七歲左右進入第二階段，保留與遞移概念開始出現，會以自己身上的手臂或肩膀等肢體做為測量的工具，但仍不曉得測量單位必須相等；到七、八歲時進入第三階段，保留與遞移概念成形，孩子可以用棍子或手指、鉛筆所畫的線等中介物來畫出與原先物體同長的物體。在測量的概念上還有Fuson和Hall（1983）所提之單位和估計之重要因素（簡楚瑛，民82）。（一）單位在測量時孩子必須先把預測量的向度分成或創造出許多單位（Units），然後再去數這些單位，並且做一個計數測量間的轉移（Count-meas

16、uretransition），也就是將數目字的計數意義轉向測量意義。對幼兒而言，要他們把單位放在每一次計數結果之後是不容易的工作。更有效的使用測量程序是使用一帶有數目字的單位尺度（Scale），幼兒必須認識各種不同尺度：量杯、溫度計、重量計、時鐘等，並學習不同尺度之測量方法。（二）估計要產生測量的結果估計是一種重要的方法，估計可分為兩類：一類是直接的，另一類是間接的。直接的估計所涉及的數值資料只源於欲估算的對象本身，而間接估計則與估計對象之外的數值有關，也就是藉由一些已知的群體與估算對象的相似性來進行估算（水準基準），或是先將要估算的群體分成幾個子集合，再用水準基準的方法估算出總數目。Sige

17、l，Goldsmith & Madson（1980）研究顯示幼兒對於小群體的估算（採用水準基準）最早由八歲開始，估算能力的知識與技能在小學的中後期才會逐漸獲得。二、時間說出時間與時間的概念間是有區別的。Lovell（1966）認為幼兒能說出時間並不代表就有時間的概念。幼兒對於時間觀念的理解，Piaget（1969）認為要獲得時間的觀念必須先掌握兩個重要的事實：1.一連串事件的發生是一時間的順序（Order）而發生的2.在兩個事件之間有間隔的存在，而間隔是具有時間的持續性（Duration）的。Ames（1946）發現四歲的幼兒能說出現在是上午或下午，五、六歲對他們何時起床、上學、吃飯、

18、睡覺能做出回答，大部分的幼兒要到七歲才能說出時間。而要求幼兒看錶或時鐘來說出時間時，Harris（1981）認為從數字鐘錶看出時間比傳統指針式而無數字之鐘錶要來的容易。Greenes（1979）認為從傳統鐘錶講出時間所遭遇的困難來自於幼兒空間能力之不足。當幼兒在分辨如左右、上下等方向時仍有困難時，就不容易分辨清楚6和9，3點和9點，11點45分和12點15分有何不同。（簡楚瑛，民82） 三、金錢貨幣（或稱為金錢）體系與其他測量體系有許多相同與不同之處，Gibson（1981）指出三種在金錢處理上的知覺與數學技能：（簡楚瑛，民82）（一）對於錢幣的認識：六至七歲的幼兒能分辨通用的硬幣或紙幣。（二）對等關係（Equivalence）：這與對錢幣之相對價值的理解有關，錢幣的衡量必須基於下列價值來看：1.它的相對價值（即5元較1元多，但較10元少）2.它的單位價值（10元等於10個1元）3.其他的對等關係（10元等於2個5元）。因此對等關係的了解牽涉到許多關於數的基本觀念，如保留、計數、順序、加法、加倍、減半和數字間的連結。Thyer和Maggs（1971）指出金錢是一個較困難的概念，在幼兒太小時不宜將錢當作是數的中介教給幼兒。（三）實際情境：實際處理問題可以幫助幼兒應付實際生活中的買賣情形，一般七至八歲的幼兒能夠