2020年中考数学压轴题冲刺提升专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识

1、专题12击破类比、探究类综合题利器之全等知识模型一、A字形（手拉手）及其旋转模型二、K字型及其旋转典例剖析【例1】（2019 济源一模）在 菱形ABCD中，/ AB（=60。，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧 作等边 APE点E的位置随着点 P的位置变化而变化.（1）探索发现如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接 CE填空：BP与CE的数量关系是AD的位置关系是（2）归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理 由.（选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理）（3）拓展应用如图4,当点P在线段BD的延长线上时，连接 BE若

2、AB=2J3, BE= 2<79 ,请直接写出四边形 ADPE 的面积.D图1图2EEC图4 / CAD60 ,【答案】(1) BPCE caAR (2) (3)见解析.【解析】解：(1)连接AC延长CE至AD 四边形 ABCO菱形，/ ABG60。， Z BAR120 , / BAG60 , / CAR60 , . ABO等边三角形， . AB=AC APEM等边三角形， . AP=AE / PAE=60 ,/ BAfaZ CAEBA国 CAEBP=CE / AB060 , / ABP=30 , . BA国 CAEZ ABf=Z ACE=30 , ./ACE+/CAB90 ,即 CDL

3、 AD（2）结论仍然成立，理由如下：（以图2为例）连接AC设CE与AD交于点H,四边形 ABCD1菱形，/ ABB60。， .ABCF口 AC*等边三角形，/ ABB/CBD30。， .AB=AC / BAB60 ,. APE等边三角形，AP=AE / PAE=60 ,/ BAfaZ CAEBA国 CAE . BP=CE /ACE=/ABP=30 , / CAH60 , /AHC90 ,即 CEL AR(3)连接AC交BDT Q连接CE由（2）知，CELBC,AB=2叔 BE=2,而，在RtABCF,由勾股定理得：CE=8,由 BA国 CAE得：BP=CE BD=6,DP=BP- BD=2,A

4、0卮在RtAAOF,由勾股定理得： AP=2",S=S；A AD+&APE-2/32=8 J3.【变式1-1(2019 周口二模)在 ABCK / AB勃锐角，点 M为射线AB上一动点，连接 CM以点C为直角顶点，以。皿直角边在 CM&侧作等腰直角三角形 CMN连接NB(1)如图1,图2,若 ABS等腰直角三角形,问题初现：当点 M为线段 AB上不与点 A重合的一个动点，则线段BN AM之间的位置关系是深入探究:当点M在线段AB的延长线上时，判断线段 BN, AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由;类比拓展:(2)如图3, / AC序90° ,若当点 M为

5、线段AB上不与点A重合的一个动点,MPL C欣线段BN于点P,且/ CB/=45 , BC=4、.2,当 BM时，BP的最大值为【答案】(1)BNLAM BNAM (2)见解析, 2, 1.【解析】解:(1)由 AGBC / ACM/ BCNCMCN 可AC降 BCNBN=AM / A=Z CBN=45 , /ABN90 ,即 BNL AM(2) BNL AM BN=AM 理由如下:N.AB比等腰直角三角形， AC=BC / A=/ABG45° , / ACB=90 ,同理，/ NCM90 , NGMC / ACM/ BCN . AC阵 BCNBN=AM / A=Z CBN45 ,，

6、/ABN90 ,即 BNL AM过C作CGL BC交BA的延长线于 G过C作CHL AB于H,如图所示,易证 GCB BCN由（2）知，BNLAB, . CH阶 MBP.CH HM 即 4 4 BMBM BP , BM BP ,设 BM=x,1 2则 BP=- x 2 2 1, 4，当BM=2时，BP取最小值，最小值为 1.【例2】（2018 洛阳三模）在正方形 ABCD动点E、F分别从D C两点出发，以相同的速度在直线DC CB上移动.（1）如图1,当点E在边CD上自D向C移动，同时点 F在边CB上自C向B移动时，连接 AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；

7、(2)如图2,当E, F分别在边CD BC的延长线上移动时， 连接AE DF (1)中的结论还成立吗？(请CD的值；F的移动，使你直接回答“是"或“否”，不需证明)；连接AC请你直接写出 ACE等腰三角形时 CE(3)如图3,当E, F分别在直线 DC CB上移动时，连接 AE和DF交于点P,由于点E, 得点P也随之运动，请你画出点 P运动路径的草图.若 AD=2,试求出线段 CP的最大值.【答案】见解析.析】解：(1) AE=DF, AE1 DF,理由如下: 四边形ABCD1正方形， .AD=DC Z ADE=Z DCI=90 , 由题意知：DE=CF AD降 DCF . AE=D

8、F / DAE=Z FDC / AD巨90 , /ADF+/CDF=90 , .Z ADI+Z DAE=90 , /APB180° -90° =90° ,AE! D(2) (1)中的结论还成立， CE CD： 72或2,理由如下:如图，当 AGCE时,设正方形ABCD勺边长为a,由勾股定理得： A(=CE= 2 a,则 CE Ct=V2a： a=& ；如图，当 AEAC时，设正方形ABCD勺边长为a,由勾股定理得： ACAE=.2a,四边形 ABCO正方形，AD(=90 ,即 ADL CE:.DE=C1=a, . CE C!=2a： a=2；故，CE CD

9、：应或2;(3)二点P在运动中/ APD90 ,.点P的路径是以AD为直径的圆，如图，设AD的中点为Q连接Cg延长交圆Q于点P,此时CP的长度最大,在RtA QD阱，由勾股定理得： QC店,.CP=QCQ自、5+1,即线段CP的最大彳1是非+1.【变式2-1(2019 西华县一模)如图1,在正方形ABCDK点E, F分别是边BC, AB上的点，且CE=BF.连 接DE，过点E作EGL DE，使EGDE连接FQ FC.(1)请判断：FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)如图2,若点E, F分别是边CB BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？(3)如图3,若点E, F分

10、别是边BC AB延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断.图2图3请作出判断并给予证明；【答案】(1) FGCE FG/ CE (2) (3)见解析. 【解析】解：(1) FG=CE FG/ CE. BF=CE BC=CD / FBG/ DC巨90 , BC目 CDE / DEC/CFB /CFB/FCB=90 , ./ DEC+Z FCB=90 , 即 CFL DE，. DEL EG EG/ CF EGDE=CF,四边形FCEW平行四边形，. FGCE FG/ CE(2) . BF=CE, BGCQ / FBG/DCE90 ,BC目 CDE / DEC/CFB

11、 CF=D耳 /CFB/FCB=90 , ./ DEC+Z FCB=90 ,即 CFL DE. DEL EGEG/ CFEGDE=CF, 四边形FCE境平行四边形, . FG=CE FG/ CE(3)成立.由上可证： CBF DCE得：/ BCI=Z CDE CF=DE. EGDE. CF=EG. DEL EG / DEC/CEG90/ CDE/ DE090 / CDE/CEG ./ BCF:/CEG . CF/ EG 四边形CEG"行四边形， . FG/ CE FG=CE压轴精练1. (2019 河南南阳一模)我们定义：如图1,在 ABCK把AB绕点A顺时针旋转a(0°&

12、lt;a<180°)得到AB ,把AC绕点A逆时针旋转(3得到AC ,连接B' C ,当a+ 3=180°时，我们称 AB C是 ABC的“旋补三角形"， AB C边B' C上的中线 AD是 AB必旋补中线，点 A叫旋补中心.特例感知：(1)在图2,图3中，ABC'是ABC勺“旋补三角形"，AB'C边B'C上的中线AD>AABC的旋补中线,如图2,当 ABO等边三角形时，AD与BC的数量关系是 如图3,当/ BAG90° , BG8时，则AD的长为猜想论证：(2)如图1,当 ABC是任意三角形

13、时，猜想 AD与BC的数量关系，并给予证明【分析】(1)由 ABB等边三角形，得 AB=BCAC=AB =AC , / BA060 , / BAC/B' AC =180 ,得/ B'=/C'=30°,即BG2AQ可利用“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”，证彳导:BG2AQAD=4;(2)BG2AD利用倍长中线构造全等三角形， 延长A而 M使DMAQ连接B' M C' M证得 AB挈 B AM得 BGAM BG2AD【解析】解：(1).一 ABB等边三角形， . AB=BGAC=AB =AC , / BA(=60 ,. DB =DC ,.

14、 ADL B' C ,. BAG/B' AC =180 ,.B' AC =120 ,/ B' =/ C' =30 , BG2AD即：答案为BG2AD/ BA(=90 , BAG/B' AC =180 ,.B' AC =/ BAC90. AB=AB , AGAC ,. .BA挈 B; AC ,BGB' C',. B' D=DC ,BG2AD .BC=8, . AD=4;(2)结论：BG=2AQ理由如下：如图，延长长 AD至M使DMAD连接B' M C MAD=DM B' D=DC , 四边形AC MB

15、是平行四边形， .AC =B' M=AQ / BAO/B' AC =180 , / AB M+/B' AC =180 , / BAG/ AB' M. AB=AB ,. .BA室 AB MBOAM即 BO2AD2. (2019 郑州外国语测试) 已知如图1所示，在ABC4 Z ACB90 , AG=BQ点D在AB上，DEL AB 交BC于E,点F是AE的中点，(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明；(2)如图2所示，将4 BD瞰点B逆时针旋转a (0。V a <90。)，其它条件不变，线段 FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；(3)将 BD凝点

16、B逆时针旋转一周，如果 BG4, BE=2 J2 ,直接写出线段 BF的范围.【答案】见解析.【解析】解：(1) FD=FQ FD! FC,理由如下:由题意知：/ ADEZACE=90 , AF=EF,DF=AF=EF=CR / FAD：/ FDA / FAG/ FCA/ DF曰/ FDA/ FAD=2/ FAD / EFB2/ FACCA=C6 ZACB90 , / BAG/ B=45 , / DFB/ EFD/ EFG2 (/ FAD/ FAC =90 ,. FD=FC FD! FC(2)结论不变，理由如下:延长AC至M使得CMAC延长ED至N,使DN=DE连接BN BM EM AN延长M

17、EX ANT H,交AB于如图所示,b BCL AM ac=cm，AB=BM 同理得：BE=BN / ABM/ EBN / NBAfZ EBM. .AB星 MBEAN=EM / BAN=/BME.AF=FE AC=CM_1 _，CF=EM CF/ EM21同理，FD=1AN FD/ AN2 . FD=FC / BMEZ BOIM90 , / BOMIZ AOH / BAN/AOH90 , /AHO90 ,即 AN! MHFD1 FC（3）由题意知，当点 E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示,此时BF=3应,当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示,此时，BF=& , 4

18、2wbF<3 22.3. （2019 偃师一模） 特殊：（1）如图1 ,在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB90。.作 CM平分/ ACB 交AB于点M点D为射线CM上一点，以点 C为旋转中心将线段 CD逆时针旋转 90。得到线段 CE， 连接 DE交射线 CB于点F,连接 BD BE填空：线段BQ BE的数量关系为 ;线段 BC DE的位置关系为 .一般：（2）如图2 ,在等腰三角形ABC中，/ACBa ,作CM平分/ACB交AB于点M,点D为4ABC外部射线 CM上一点，以点C为旋转中心将线段 CD逆时针旋转 a度得到线段 CE连接DE BQ BE.请 判断（1）中的结论是否成立，

19、请说明理由.特殊：（3）如图3 ,在等边三角形 ABC中，作 BM平分/ ABC交AC于点 M,点D为射线 BM上一 点，以点B为旋转中心将线段 BD逆时针旋转60。得到线段 BE连接DE交射线BA于点F,连接AQAE若 AB=4,当ADM/ AFD全等时，请直接写出DE的值.【答案】(1) BD=BE BdDE (2) (3)见解析.【解析】解：(1)由题意知：/ ACM/ BCIM45 ,由旋转知，/ DC=90° , CHCE / ECBZ DCB45 ,. BC=BCBCD2 BCEBD=BE. CD=CE .BC是线段DE的垂直平分线，BCL DE(2)成立，理由如下， C

20、IW分/ ACB / ACB a , / ACM/ BCIM,由旋转知，/ DC=a , CD=CE / BCD/ BCE： 2又.BC=BQBCD2 BCEBD=BE. CD=CE.BC是线段DE的垂直平分线,BCL DE(3)如图 3,可证得：/ ABE=/ABD=30° , AB±DE由AAD陲 ADF 得：/ FAB/MAD30 , . AF=BF=2,DE=2DF在 RtAADF, Df=AF- tan Z DAI=21,3即 DE=4_3.3如下图所示，同理，得/ FBD=30° ,AB=AD=4,/ADF=/ADM30 ,综上所述，DE的长为:4.

21、(2019 省实验一模)4, 4 3.3观察猜想(1)如图，在RtABC, /BAG= 90° , AB= AC= 3,点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE 将线段D蹴点D顺时针旋转90。得到线段DF,连接BF, BE与BF的位置关系是 ,BE+BF=探究证明(2)在(1)中，如果将点 D沿AB方向移动，使 AD= 1,其余条件不变，如图，判断BE与BF的位置关系，并求 B&BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸(3)如图，在 ABO, AB= AC /BAC= a,点D在边BA的延长线上，BD= n,连接DE将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角/ EDF= a,

22、连接BF,则B3BF的值是多少？请用含有 n, a的式子直接写出结论.er图1图2图3【答案】(1) BF，BE BQ (2) (3)见解析.【解析】解：(1) / EA展 / BAG= 90° ,/ EAF- / BAE= / BAC- / BAE ./ BAF= / CAE , AF= AE AB= ACBAB CAE ./ ABF= / C, BF= CE . AB= AC / BAG 90 , Z ABO / C= 45° , / FBE= / ABF+Z ABO 90° , BO B曰EO BRBF,故答案为：BF± BE BC(2)过 D 作

23、 DH/ AC交 BC于 H,. DH/ ACBDH= / A= 90° , DBK等腰直角三角形,由(1)可证得：BF± BE, BF+BE= BH, AB= AC- 3, AD- 1,BD- DH= 2,BH= 2 2,BF+BE= BH= 2应；(3)过D作DH/ AC交BC的延长线于 H,作DIVL BC于MZ ACH= Z H, Z BDH= Z BAG= a , AB= AC.Z ABG=Z ACB.z DBH=Z H, . DB=DH/ ED BDH= a ,. / BD HDE. DIDE DB=DH.BDIA hdeBF= Eh|BRBE= EH-BE=B

24、H. DB=DH DMLBHBM=MH Z BD除/ HDiyiBM= MH= BEPsin . 2BRBE= BH=2n?sin .25. (2019 濮阳二模)在 ABC中，AC= BQ Z ACB= a，点D为直线BC上一动点，过点 D作DF/ AC交AB于点F,将A四点D顺时针旋转a得到EQ连接BE(1)特例猜想如图1,当a =90。时，试猜想：AF与BE的数量关系是 ;/ AB2;(2)拓展探究如图(2),当0： < a <90：时，请判断 AF与BE的数量关系及/ ABE的度数，并说明理由.（3）解决问题如图（3）,在 AB8,八金BC, AB= 8, Z ACB= a

25、，点D在射线BC上，将AD绕点D顺时针旋转a得到ED连接BE当BA 3CD时，请直接写出 BE的长度.图1图2图3【答案】（1） AF= BF, 90。；（2） （3）见解析.【解析】解：（1）设AB交DE于O.w . /ACB= 90° , AC= BC ./ABC= 45 ,DF/ ACFDB= / C= 90° , ./ DFB= / DBF= 45° ,DF= DB . / ADE= / FDB= 90° ,/ ADF= / EDB. DA= DE . AD目 EDBAF= BE .Z DAF= / E,. / AO2 / EOB ./ABE=

26、/ADO= 90 ,所以答案为AF= BF, 90。(2)结论：AF= BE, / ABE= a .理由如下:. DFII AC/ ACB= / FDB= a , / CAB= / DFB. AC=BC ./ ABC= / CAB ./ ABC= / DFBDB= DF. / ADF= / AD曰 / FDE / EDB= / FDEB- / FDE即/ ADF= / EDBAD= DE . AD目 EDBAF= BE / AFD= / EBD. / AF氏 / ABC/ FDB / DBE= / ABB/ ABE ./ ABE= / FDB= a .(3)分两种情况讨论：当点D在线段BC上时

27、，由(2)可知：BE= AF,. DF/ AC,AF CD 1BA BC 4AB= 8,AF= 2,BE= AF= 2,当点D在BC的延长线上时,. AC/ DF.AF CD 1BA BC 2AB= 8,.AF= 4,即 BE=4,综上所述，BE的长度为2或4.6. （2019 开封二模）问题发现如图1, 4ABB等边三角形，点 D是边AD上的一点，过点 D作DE/ AC交AC于E,则线段BD与CEW 何数量关系?拓展探究如图2,将八口或点A逆时针旋转角 a （00 < a <360° ）,上面的结论是否仍然成立？如果成立, 请就图中给出的情况加以证明.问题解决如果 AB

28、C勺边长等于2 .3Ad 2,直接写出当ADEI转到DE与AC所在的直线垂直时 BD的长.C B备用图图1图2【答案】见解析.【解析】解：（1）如图1, BA CE,理由是:. ABO等边三角形,AB= AC. DE/ BC .AD货等边三角形，即 ADAUBD= CE(2)结论仍然成立，由图1得：AD= AE由旋转性质得：/ BAD= Z CAE. A&ACBA挈 CAEBD= CE(3)分两种情况讨论，如图所示，过 D作DGL AR垂足为 G. AF，DE ADAE / DAM / EA已 30° , ./ BAD= 30° ,由 AD= 2,得：DG= 1,

29、AG= 3 ,由 AB= 2 J3,得：BG=君,由勾股定理得：BD= 2.如图，由（2）中证明可知： BAD2 CAEBa ce. AA AE DEI AC Z ADE= 60 EA展 / FAD= 30 ,1EF= FD='AD= 1, 2 .AF= 73,CF= A（+CF= 3技在RtA EFCf,由勾股定理得： EC= 2 ", .BD= EC= 2币，综上所述，BD的长为2或2 J77. （2019 安阳二模）（1）问题发现：如图 1,在四边形 ABC珅，AB/ DC E是BC的中点，若 AE是/BAD的平分线，则AB, ADDC之间的数量关系为（2）问题探究：如

30、图 2,在四边形ABC珅，AB/ DC E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是/ BAF的平分线，试探究AB AF,CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图 3AB/ CD点E在线段BC上，且BE EC= 3： 4.点F在线段AE上,且/ EFDCD之间的数量关系.DF图1图2=/ EAB直接写出AB,【答案】（1） AD= ADCD （3）见解析.【解析】解：（1）结论：AD= AaCD理由: AB/ CF ./ CFE= / EAB. CE= EB / CEF= / AEB . CE目 BEA,AB= CF. AF平分/ DAB ./ DAF= / EAB. /

31、EAB= / CFE ./ DAF= / DFA . AD= DFDF= D(+CF= CBABAD= ARCD(2)结论：AB= AF+CF.理由：延长AE DC交于G . AB/ DG/ G= / EABCE= EB / CEG= / BEA.CE与 BEAAB= CG Z G= / EAB. AE平分/ FAB/ FAG= / EAB. / G= / EAB/ FAG= / G,FA= FGCO CF-FG= CF+AF,AB= AF-CF.3(3)结论：AB= 3 (CD-DF3 .4延长AE C改于G* G. CG AB 里 AB 3, /g= /a,CE CG 4_ 3 一AB=

32、3CG4DFE= / A, ./ DFG= / G,DF= DG CDDF= CBDG= CG3AB= - (C>DF).48. (2019 中原名校大联考)如图 1,在RtAABC, / BAC= 90° , AB= AC点D, E分别在边 AB AC上，AD= AE,连接DC BE点P为DC的中点，(1)【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是.(2)【探究证明】把 ADE点A逆时针旋转到图2的位置，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立请证 明，否请说明理由；(3)【拓展延伸】把 ADE第点A在平面内自由旋转，若 AD= 4, AB= 10,请直接写出线段

33、 AP长度的 最大值和最小值.图1图2【答案】(1) AP= 1BE PAh BE (2) (3)见解析.2【解析】解：(1)设PA交BE于点QAD= AE AC= AB / DAG= / EABDAC2 EABBE= CD / ACD= / ABEDAO 90° , DA PC1PA= 1CD= PC= PD2一1，八，一PA= 1BE / C= / PAE2. Z CAI+Z BAO 90 ,/ABO/BAO= 90 , ./AOB= 90 ,PAL BE(2)结论成立.理由：延长 AP至M使PM= PA连接MC延长PA交BE于OPA= PM PD= PC / APD= / CP

34、IM.AP国 MPCAD= CM / ADP= / MCP .AD/ CM / DAC/ACM= 180 , . / BAC= / EAD= 90° , ./ EAB= / ACMAB= AC AE= CM EA望 MCA . BE= BM / CAI里 / ABE1 1PA= 1AM PA= 1BE 22. /CAM/ BAO 90 ,.Z AB&Z BAO= 90 , ./AOB= 90 , PAL BE(3) . AC= 10, CM= 4, .10-4W AM 10+4, .6< AM 14,AM= 2AP, .3< P庄7. PA的最大值为7,最小值为3./A是公共角< a W 360)直接写出BD长度的取9. (2018 新乡一模)如图 1,在ABCJ<ADEf, AB=AC ADAE(1) BD与CE的数量关系是： ;(2)把图1的 ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形求证：