时间序列分析教材

1、南京财经大学统计学系第一节第一节 时间序列的有关概念时间序列的有关概念 一、构成因素一、构成因素 二、数学模型二、数学模型第二节第二节 时间序列的因素分析时间序列的因素分析一、图形描述一、图形描述 二、长期趋势分析二、长期趋势分析三、三、 季节变动分析季节变动分析 四、四、 循环变动分析循环变动分析第三节第三节 平稳时间序列分析平稳时间序列分析一、平稳时间序列概述一、平稳时间序列概述 二、二、ARMAARMA模型的识别模型的识别三、三、 模型参数的估计模型参数的估计 把某种现象发展变化的指标数值按一定时间顺序排列起来形成的数列，称为时间序列（数列），有时也称为动态数列。 任何一个时间序列都具有

2、两个基本要素：一是一是2030405060708090510152025303540455055606570F20040060080010001958195919601961REF一、移动平均法一、移动平均法二、趋势线法二、趋势线法图移动平均对原数列有修匀作用，平均的时距数越大，对数列修匀作用越强。如果移动奇数项，则只需移动一次，且损失资料N-1项；如果移动偶数项，则需移动两次，损失资料为N项。当数列包含季节变动时，移动平均时距项数N应与季节变动长度一致。适宜对数据进行修匀，但不适宜进行预测。 注意：对时间标号t的设定，可以设为1，2，3也可以设为对称情形，如果序列有奇数项可设为，-3，-2，

3、-1，0，1，2，3，如果序列有偶数项可设为，-5，-3，-1，1，3，5，例例6 某企业各年份销售额某企业各年份销售额EXCEL(CH12-例例6课件）课件）考虑如下问题考虑如下问题l数据中是否含趋势数据中是否含趋势l测定长期趋势线性方程的系数时刻序列测定长期趋势线性方程的系数时刻序列t为定义为定义-7,-6,0,17 l预测预测1998年的销售额年的销售额一、季节变动及其测定目的二、季节变动分析的原理与方法三、季节变动的调整 季节变动是指客观现象因受自然因素或社会因素影响，而形成的有规律的周期性变动。季节变动在现实生活中经常会遇到，如商业活动中的“销售旺季”和“销售淡季”、农产品和以农产品

4、为原料的某些工业生产的产量和销售量、旅游业的“旅游旺季”和“旅游淡季”，等等。 所谓季节变动不仅仅是指随一年中四季而变动，而是泛指有规律的、按一定周期（年、季、月、周、日）重复出现的变化。季节变动的原因通常与自然条件有关，同时也可能是由于生产条件、节假日、风俗习惯等社会经济因素所致。季节变动常会给人们的社会经济生活带来某种影响，如会影响某些商品的生产、销售与库存。 我们测定季节变动的意义主要在于认识规律、分析过去、预测未来。其目的一是通过分析与测定过去的季节变动规律，为当前的决策提供依据；二是为了对未来现象季节变动作出预测，以便提前作出合理的安排：三是为了当需要不包含季节变动因素的数据时，能够

5、消除季节变动对数列的影响，以便更好地分析其他因素。 测定季节变动的方法很多，从是否考虑长期趋势的影响看可分为两种：一是不考虑长期趋势的影响，根据原始时间序列直接去测定季节变动；二是根据剔除长期趋势后的数据测定季节变动。原始资料平均法趋势剔除法例题例题注意注意运用此方法的基本假定是原时间序列没有明显的长期趋势和循环变动，通过各年同期数据的平均，可以消除不规则变动，而且当平均的期间与循环周期基本一致时，也在一定程度上消除了循环波动。当时间序列存在明显的长期趋势时，会使季节变动的分析不准确，如存在明显的上升趋势时，年末季节变动指数会远高于年初季节变动指数；当存在明显的下降趋势时，年末的季节指数会远低

6、于年初的季节指数。所以只有当数列的长期趋势和循环变动不明显时，运用原始资料平均法才比较比轮合适。 如果数列包含有明显的上升（下降）趋势或循环变动，为了更准确地计算季节指数，就应当首先设法从数列中消除趋势因素，然后再用平均的方法消除不规则变动，从而较准确地分解出季节变动成分。数列的长期趋势可用移动平均法或趋势方程拟合法测定。 操作步骤操作步骤书上例题书上例题EXCEL操作操作例题例题一、循环变动及其测定目的一、循环变动及其测定目的二、循环变动的测定方法二、循环变动的测定方法（一）直接法（一）直接法（二）剩余法（二）剩余法操作步骤操作步骤l用移动平均法，得到用移动平均法，得到TC的估计，由的估计，

7、由Y/TC,得到仅含季节变动的序列，计算季节指数得到仅含季节变动的序列，计算季节指数l对原序列建立趋势方程，得趋势项对原序列建立趋势方程，得趋势项T的估计的估计值值l原始序列原始序列Y/TS得得CI的数据的数据l对对CI进行移动平均得到进行移动平均得到C的估计的估计注：剔除趋势求季节指数，如果没有特别要注：剔除趋势求季节指数，如果没有特别要求就先采用移动平均法求其趋势，然后求季求就先采用移动平均法求其趋势，然后求季指指回总目录回本章目录平稳时间序列概述平稳时间序列定义常见时间序列模型严平稳回总目录回本章目录平稳时间序列所谓平稳时间序列，指如果序列 二阶矩有限 , 且满足如下条件：对任意整数 为

8、常数；对任意整数 自协方差函数 仅与时间间隔 有关，和起止时刻 无关。即则称序列 为宽平稳（或协方差平稳，二阶矩平稳）序列,tt Eyu ucov(,)tstsry y, ,t sts, t stst skrrr ty2()tEy ty当 时，自协方差函数就是方差t s回总目录回本章目录 平稳序列2030405060708090510152025303540455055606570F图形上来看就是： (1)序列围绕常数的长期均值波动，称为是均值回复(Meaning Reversion) (2)在每一时刻，方差对均值的偏离基本相同，波动程度大致相等。回总目录回本章目录最简单的宽平稳序列是白噪声，

9、常记为 ， 它是构成其他序列的基石，一般白噪声的定义如下： 对任意 对任意 对不同的时刻22,tt E,0t sts Et,0tt E自回归模型（AR：Auto-regressive）；滑动平均模型（MA：Moving-Average）；自回归滑动平均模型（ARMA：Auto-regressive Moving-Average）。回总目录回本章目录常见时间序列模型P阶自回归模型AR(P)模型回总目录回本章目录 t ty11.ttptptyyy12,p其中 称为自回归系数， 为白噪声序列上式称为是p阶自回归模型，简记为AR(p)当 满足一定条件时，序列是平稳的零均值时间序列 满足如下形式12,p

10、 q阶滑动平均模型MA(q)模型回总目录回本章目录 t ty11.tttqtqy 其中 称为滑动平均系数， 为白噪声序列上式称为是q阶滑动平均模型，简记为MA(q)当阶数q有限时，序列是平稳的零均值时间序列 满足如下形式12,q 回总目录回本章目录 t其中 称为自回归系数， 称为滑动平均系数， 为白噪声序列上式称为是p阶自回归模型q阶滑动平均模型，简记为AMMA(p q).当p=0, AMMA(p q)MA(q)一般ARMA模型的数学形式为12,q 112211tttptpttqt qyyyy 12,p 当 满足一定条件时，序列是平稳的.从以上定义中可以看出,AR模型和MA模型即为ARMA模型

11、的特例12,p 当q=0, AMMA(p q)MA(p)回总目录回本章目录ARMA模型的识别相关函数定阶法信息准则定阶法严平稳回总目录回本章目录相关函数定阶法采用ARMA模型对现有的数据进行建模，首要的问题是确定模型的阶数，即相应的p,q的值，对于ARMA模型的识别主要是通过序列的自相关函数以及偏自相关函数进行的。序列的自相关函数度量了 与 之间的线性相关程度，用 表示，定义如下其中 表示序列的方差krt ky0cov(,),cov(,)ktt kttry yry yty回总目录回本章目录自相关函数刻画的是与之间的线性相关程度，而有时候 与 之间之所以存在相关关系，可能是因为和分别与它们的中间

12、部分 之间存在关系，如果在给定 的前提下，对 和 之间的条件相关关系进行刻画，则要通过偏自相关函数 进行，所谓偏自相关函数的可由下面的递推公式得到：tyt ky121,tttkyyy121,ttt kyyy tyt kykk11111,111,1,1,1,1,1,21kkkjkjjkkkkjjjk jkjkkkkjjk 回总目录回本章目录对于三类模型AR, MA, ARMA，它们各自的自相关函数以及偏自相关函数特点如下表所示（具体推导可参阅相关时间序列分析书籍）这里的拖尾指模型自相关函数或偏自相关函数随着时滞的增加呈现指数衰减并趋于零，而截尾则是指模型的自相关函数或偏自相关函数在某步之后全部为

13、零。序列的自相关函数和偏自相关函数所呈现出的这些性质可用于模型的识别回总目录回本章目录回总目录回本章目录实际中我们所接触到的往往是来自序列的一组样本，我们所计算的也只能是样本的偏自相关函数或样本自相关函数，分别记为 和 . 样本自相关函数最常用的估计方法如下（关于样本偏自相关函数 在后面给出）kkk回总目录回本章目录(1)相关函数，偏自相关函数定阶法(2)最优信息准则定阶法AIC准则模型参数的定阶模型参数的定阶ARMAARMA模型的定阶，参数估计模型的定阶，参数估计主要方法有:理论上讲，对于AR(p)序列的偏自相关函数是p步截尾的，但实际中我们所接触到的往往是来自序列的一组样本，我们所计算的也

14、只能是样本的偏自相关函数，由于样本的随机性，此时计算所得的样本偏自相关函数不可能是步截尾的，而是呈现在零附近波动，所以要考虑的是样本偏自相关函数的统计性质.下面给出有关样本偏自相关函数和样本自相关函数的统计性质。根据正态分布的性质，当n充分大时，有由此可知类似的，当n充分大时，有 AR (p), MA (q), ARMA(p,q)的自相关系数，偏自相关系数的特点：回总目录回本章目录 这是后面序列定阶时常用到的性质回总目录回本章目录u最优信息准则定阶法最优信息准则定阶法AICAIC准则准则如果采用ARMA(m,n)模型对序列进行拟合，得到序列的残差方差为 ，序列的均值 也是未知的，此时模型的待估参数个数为m+n+1,定义AIC为：2(, , )m n uu2ln( , , )2()/(1)AICm n unmN选择不同的m, n对序列进行拟合，计算相