5数形结合思想在解题中的应用

1、第5讲数形结合思想在解题中的应用一、知识整合1 .数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形” ，使复杂问题简单化，抽象 问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活 性的有机结合。2 .实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、 三角函数等；所给的等式或代数式的结

2、构含有明显的几何意义。如等式(x 2)2 (y 1)2 43 .纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4 .数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域， 最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且 能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意 培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析例1.若关于x的方程x2 2kx 3k 0的两根都在 1和3之间，求k的

3、取值范围。分析：令f(x) x2 2kx 3k,其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x) 0的解，由y f(x)的图象可知，要使二根都在1,3之间，只需f( 1) 0, f (3) 0,bf( 一) f( k) 0同时成立，解得 1 k 0,故女(1,0) 2a17例2.解不等式-，x2x解：法一、常规解法：, x 0或（II） 2x 0原不等式等价于(I) x 2 02x 2 x解（I）,得0 x 2;解（II）,得 2 x 0综上可知，原不等式的解集为x| 2 x 0或0 x 2 x| 2 x 2法二、数形结合解法：令yixx2, y2 x,则不等式Jx 2 x的解，就是使y xx2的图象

4、在y2 x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为x|xa x xb2而xb可由2x,解得，xb2, xa 2,故不等式的解集为x| 2 x例3.已知0a1,则方程a|x1|loga x|的实根个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个分析：判断方程的根的个数就是判断图象y a|x1与y |loga x|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。例4.如果实数x、y满足（x 2）2y23,则2的最大值为（x1 A.-2分析:B.43等式(x 2)2.- 3C. D. .323有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆,圆心

5、为（2, 0）,半径r J3,（如图），而且 匚0则表示圆上的点（x, y）与坐x x 0标原点（0, 0）的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点 A在以（2, 0）为圆心，以J3为半径的圆上移动，求直线 OA的斜率的最大值，由图可见，当/ A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为tg60° 用22x y例5.已知x, y满足 16 251,求y 3x的最大值与最小值2 2对于y3邰翩第球最值1C25构造直线的截距的方法来求之。令y 3x b,则y 3x b,22原问题转化为：在椭圆 y- 1上求一点，使过该点的直线斜率为3,16 25且在

6、y轴上的截距最大或最小，22由图形知，当直线y 3x b与椭圆 L 1相切时，有最大截距与最小 16 25y2 x16由3x b2L 1250,得b截距。22169x2 96bx 16b2 400 0±13,故y 3x的最大值为13,最小值为13。例6.若集合Mx 3cos.、.(x, y) o , (0),集合 N (x, y)|y x by 3sin且M Nw ,则b的取值范围为。分析：M (x, y)|x2 y2 9, 0 y 1,显然，M表示以(0, 0)为圆心, 以3为半径的圆在x轴上方的部分，(如图)，而N则表示一条直线，其斜率 k=1,纵截 距为b,由图形易知，欲使M

7、NW ,即是使直线y x b与半圆有公共点， 显然b的最小逼近值为 3,最大值为3、；2,即 3 b 312例7.它到其中一个焦点Fi的距离为2, N为MF1的中点，。表示原点，则|ON|二()A.3B, 2 C. 42分析：设椭圆另一焦点为 F2,(如图)，|MFi| 2,|MF2| 8又注意到. ON 是 MF 1F2 的中位线， |ON|若联想到第二定义，可以确定点M的幺D.8贝”MF1| |MF2| 2a,而a 5N、O各为MFi、F1F2的中点，11-IMF2I - X8 422标，进而求 MFi中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|,但这样就增加了计算量，方法较之显得有些

8、复杂。 例分析：由于|z 2 2i| |z (2 2i)|,有明显的几何意义，它表示复数 z对应的 点到复数2 +2i对应的点之间的距离，因此满足|z (2 2i)| J2的复数zM应点乙在以(2, 2)为圆心，半径为 J2的圆上，(如下图)，而|z|表示复数zM应的 点Z到原点。的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，|z|取得最值， |z|min V2,忆然* 3近,.|z|的取值范围为亚 3J2例9.求函数y sin x 2的值域。 cosx 2解法一（代数法）sin x 2/日:贝1J y 得y cosxcosx 22 y sin x2,sinx y cosx2y 2, Jy2

9、1sin(x2y 2sin(x )2y2 ，而 |sin(x )|,y 1.,2y 2, / |2| 1,y2 1解不等式得4.73.函数的值域为解法二（几何法）：y47，sinxcosx 24732的形式类似于斜率公式y2yix2Xiys1nx 2表示过两点R(2,cosx 22),P(cosx,sinx）的直线斜率由于点P在单位圆x2 y2 设过B的圆的切线方程为1上,如图，显然,kP)AykPoBk(x2)则有12k 2|1,解得k, k2 1474. 73 y 3例10.求函数u42t 44土所3即 kp0AkpoB分析：由于等号右端根号内函数值域为t同为t的一次式，故作简单换元 42

10、t 4m,无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显 得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：设x,04, y 舵t,贝1J u x y且x2 2y216（0 x 4, 0 y 242）所给函数化为以u为参数的直线方程y x u,它与椭圆x2 2V?16在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）Umin 2-2相切于第一象限时，U取最大值y x u223x2 4ux 2u2 16 0x2 2V 16解 ，得 u ± 2 <6,取 u 2M2、, 6三、总结提炼数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别

11、是在解决选择、填空题是发挥 着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。四、强化训练 见优化设计。【模拟试题】一、选择题：1.方程lg x sin x的实根的个数为（A. 1个2.函数yB. 2个a|x| 与 yxC. 3个D. 4个a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（A. (1,C.(B. ( 1, 1)D. (,1) (1,3.设命题甲：0x3,命题乙：|x 1| 4,则甲是乙成立的（A.充分不必要条件C.充要条件B.D.必要不充分条件不充分也不必要条件4.适合 |z 1| 1 且 argz的复数z的个数为（4A. 0个B. 1个C. 2个

12、D. 4个5.若不等式( )A. 16.已知复数B. 23 i,七|C. 32,则|乙D. 4Z2|的最大值为(A. .10B.7.若x (1 , 2)时，不等式A. (0, 1)B.(1(x2)C.1)2D. 2loga x 则C. (1, 22.2a的取值范围为()D. 18.定义在R上的函数yf汽)在(,2)上为增函数，且函数2y f (x 2)的图象的对称轴A. f (C. f (1)1) f(3) f( 3)B.D.f(0)f(3)f(2)f(3)二、填空题:9.若复数z满足|z| 2 ,2.10.若 f (x) x bx小到大依次为则|z 1i|的最大值为.c对任意实数t,都有f

13、(2 t) f (2t),则 f(1)、f ( 3)、f (4)由11.若关于x的方程4|x| 5 m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为o12 .函数y xx2 2x 2 xx2 6x 13的最小值为。13 .若直线y x m与曲线y V1 x2有两个 不同的交点，则实数 m的取值范围 是O三、解答题：14 .若方程 lg( x2 3x m) lg(3 x)在0, 3上有唯一解，求m的取值范围。15 .若不等式4x x2 (a 1)x的解集为A,且A x|0 x 2,求a的取值范围。16 .设a 0且aw1，试求下述方程有解时k的取值范围。22、loga(x ak) loga2(x a

14、)x (a 0)的解集为x|m x n,且|m n| 2a,则a的值为【试题答案】、选择题1.C提示：画出ysinx, y lg x在同一坐标系中的图象，即可。2. D提示：画出y情形1：a 0情形2:a 13. A4. C提示：|Z1|二1表示以（1,0）为圆心，以1为半径的圆,显然点Z对应的复数满足条件argz另外，点O对应的复数O,因其辐角是多值，它也满足 argz ，故满足条件的z有两个。5. Bx的图象，依题意，m a, n a, 从而0或2。. a a6. C提示:忆2|2可知,而 |Zi Z2I 忆2 ( Zi)l |Z2 ( 3 i)|表示复数Z2与 3 i对应的点的距离，结合

15、图形，易知，此距离的最大值为：|PO| r ,( 3 0)2(1 0)2 2.10 27. C2.提不：令 yi (x 1) , V2log a x ,若a>1,两函数图象如下图所示，显然当 x (1, 2)时，要使y1 y2,只需使loga 2 (2 1)2,即a 2 ,综上可知当1 a 2时，不等式(x 1)2 loga x对x (1, 2)恒成立。2lOga x恒不若0 a 1,两函数图象如下图所示，显然当 x (1, 2)时，不等式(x 1) 成立。可见应选C8. A提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移 2个单位而得到的，又知 f(x+2)的图象关于直线 x=0 (

16、即y轴)对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在( ，2)上为增函数, 可知，f(x)在(2,)上为减函数，依此易比较函数值的大小。二、填空题：9. 2、.2提示：|Z|二2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆。上运动，(如下图)，而忆+1 i|=|z ( 1+i) |表示复数Z与一1+i对应的两点的距离。由图形，易知，该距离的最大值为22 2。10. f (1)f(4) f( 3)提示：由f(2 t) f (2 t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)x2 bx c为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由 f(x)的图象，易

17、知f(1)、f ( 3)、f (4)的大小。11. m (1, 5)提示：设yx2 4|x| 5 y2 m,画出两函数图象示意图，要使方程x2 4|x| 5 m有四个不相等实根，只需使 1 m 512. 最小值为413提示：对Jx2 2x 2 V(x 1)1，(x 1)2(1 0)2 ,联想到两点的距离公式，它表示点(x, 1)至ij ( 1, 0)的距离， 6x 13 J(x 3)2(1 3)2 表示点(x, 1)到点 (3, 3)的距离，于是y 42 2x 2 Jx2 6x 13表示动点(x, 1)到两个定点(1, 0)、 (3, 3)的距离之和，结合图形，易得 ymin Ji3。提示：y

18、=x m表示倾角为45。，纵截距为m的直线方程，而y <1 X2则表示以（0, 0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距m 1,物，即 m ( 22,1。三、解答题:14.解：原方程等价于2 cCx 3x m 03x00x32x 3x m 3 x2 ccx 3x m 00x3 x2 4x 3 m令y1x2 4x 3, y2m,在同一坐标系内，画出它们的图象,其中注意0x 3,当且仅当两函数的图象在0, 3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解,由下图可见，当 m=1,或 3 m 0时，原方程有唯一解，因此 m的取值范围为3, 0 1。注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究 方程的解的情况。15.解：令 y1V4xx2 ,y2（a 1）x,其中 y1 v4xx7 表示以（2, 0）为圆心，以 2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与 x轴的交点），如下图所示，y2 （a 1）x表示过原点 的直线系，不等式J4xx2（a1）x的解即是两函