206听俞正强老师讲“植树问题”

1、206.听俞正强老师讲“植树问题”2015年1月，在“俞正强特级教师工作室”团队活动中，我们对“植树问题”进行了研究与探讨。从传统的教学，到我们的理解演绎，最后经由师傅论道，使我们在这次活动中受益颇深。愿在此书写心得，与众人分享。（此处略去“且读他人思路”“且看我们演绎”两部分）且听师傅论道一筹莫展之际，师傅俞正强拿起粉笔，展开了他的教学。1. 出示问题：20米路，每5米一段，一共分了几段？（在黑板上画了一条直线）生:5段，20÷5=4，4+1=5。师：有没有不同的做法？生：4段，20÷5=4。师：为什么要用除法来做？为什么不用20+5，不用20-5、20×5？生

2、：题目说每5米一段。师：这是在干什么？生：平均分。师：（面向第一位学生）5段是怎么来的？生：奥数老师教的。（这位学生在课外的奥数班学过“植树问题”，将这类问题统统模糊成了植树问题。教师再次问他5段是怎么来的，以此来帮助纠错）2. 出示问题：20米路，每5米种一棵树，一共种几棵？教师采访一名学生：你不会做？生：有点不会。师：那就是有点会做，你说一说。生：老师教过了，这是植树问题。20米分成4段，头尾都种树，要加上1棵。生：20÷5=4，边上要种加上1。生：4个间隔要种5棵。板书：4个间隔20÷5=4 5棵树4+1=53. 引导比较，进行梳理。师：这两道题像吗？ 像在哪里？ 哪

3、里不像？生：都是20米路。生：都有一个一模一样的算式：20÷5=4。师：为什么都要用除法做呢？生：因为是平均分。师：不一样的是什么？生：问题有一个算式，问题有两个算式。师：既然两题都是平均分成4段，为什么第题要再加1？生：因为头尾两端都要种。师：如果头尾都要种，那不是要加2 吗？为什么只加1呢？学生答不上来。师：同学们，平均分是一段一段分的，但是种树的时候是种在哪里的？生：种在段与段的点上。师：“点”和“段”有什么不一样啊？种是种在“点”上的，咱们平均分是分出“段”来的。那么，一段有几个点啊？生：两个。师：两段有几个点啊？生：三个。师：三段呢？四段呢？请问，点和段之间有什么关系？点多

4、还是段多？生：点多。师：怎么个多法？生：一段线两个点，两段线三个点，三段线四个点师：那么，点比段多几？生：点比段多1。师：在平均分的除法里面，点比线多1，而植树是正好植在什么地方？生：点上。（听到这里，我们似乎有些明白了。师傅认为，这个问题应先让学生理解20÷5求的是段，再抓住点与段的区别，从而理解点与段的关系。）4. 清晰对植树问题的认识师：除了园林工人把树种在点上，还有什么人把什么放在点上？生：工人把路灯放在点上。教师结合学生的回答画了一幅草图，并解释这里把树变成了路灯。生：红绿灯，插旗子，楼房上的窗户师：继续说。说着说着，学生忽然悟出了道理。有个学生站起来说：老师，只要是平均分

5、的，都是放在点上！引导学生回头看问题和问题：问题是什么问题？（平均分）问题是什么问题？（植树问题）植树问题用什么知识来解决？（平均分）小结：植树问题是平均分的应用。5. 在具体情境中领会平均分在植树问题中的应用情境1：问题中，园林工人领了5棵树，到那里一看，发现路的尽头有座房子。怎么办？生：拆房子。（众生笑）生：一头不种。师：这个点不种了，那树怎么办？生：-1。情境2：一个小朋友领了5棵树，种好了还我棵，这是为什么？生：两头都有房子，不种！小结：怎么植树要看具体情况。追根溯源，用于非“常”讨论时间，师傅先问了我们一个问题：植树问题的源是什么？正是对这个问题的讨论，以及师傅的解说，结合传统教学、

6、我们的演绎、师傅的课堂，使我们对植树问题有了更深刻的认识。1.“模型”是植树问题的源吗在传统教学中，一般把“两端都种”“只种一端”与“两端都不种”三种类型的区分及相应的计算方法看成是一种“模型”。为了达成知识目标，教师往往带领学生一一总结公式（甚至要求熟背），然后变化问题情境训练解题技能，让学生牢固掌握并直接运用。因而，绝大多数学生解决植树问题时，首先想到用除法：路的总长÷间距棵数；其次看题中是否有“两端种与不种”的明确提示语，以此决定是否加1或减1。然而，多数问题是隐藏提示语的，学生只能凭自我感觉决定是否加1或减1。如此就造成学生对三种计算方法的机械应用，在解题错误百出的同时也束缚

7、了学生的思维。由此可见，“模型”并非解决“植树问题”的关键因素。2. 什么才是植树问题的源“植树问题”是研究“树的棵数”与“两树之间间隔数”之间数量关系的问题，其实质是研究点与段的问题。如何让学生建立“点段”关系呢？我们的教学,是把“植树”这件事，根据“树”与“间隔”所呈现出来的内在规律，在简化后得到一个抽象结构点与段的一一对应关系；用直观图理解“一一间隔排列”规律，学会用“一一对应”的方法来分析两个量之间的数量关系；研究具体的实际问题，得出灯笼与彩带是“一一间隔排列”的，并能运用规律分析它们之间的数量关系；再沟通不同情境间的内在联系，抽象出这类问题的共同本质特征“一一间隔排列”，并进一步巩固

8、“一一对应”的分析方法；最后运用总结出的思想、方法解决简单的实际问题。而师傅的教学，是直接从除法的意义入手，结合学生已有的知识基础和生活经验，从除法问题引申出植树问题。通过“20米，每5米分一段，共分几段”和“20米路，每5米栽一棵树，共栽几棵树”这两题的比较分析，一来帮助学生理解这两道题都是平均分，二来让学生明白两者的区别在于平均分是一段一段地分，而植树是种在段与段之间的点上。进而，让学生认识到“植树问题”只是除法意义在生活中的延伸，明白“植树问题”其实只是点和段的问题。接下来，结合“植树问题”的生活原型重点教学“两端都种”的情形，并且着重沟通数学与生活原型之间的联系，从而让学生在深刻建构“

9、两端都种”的基础上，顺势带出另外两种“植树问题”模型，学以致用。从某种角度说，从找规律入手，让学生体会规律的有用，很多课都可以达成。而对点和段的感悟，丰富了对平均分的认识，离开了这节课，其他课很难实现，具有唯一性。3. 追根溯源，用于非“常”也就是说，师傅认为：植树问题的源是“平均分”与对平均分的应用。平均分有两种，一种是完全平均分，如8÷2；一种是不完全平均分，如9÷2。不完全平均分解决生活中的余数问题，完全平均分带来段和点的问题。行程问题、工程问题、总价问题等都是研究段的；而植树问题、锯木头问题都是研究平均分中点的问题。“植树问题”来自哪里？来自平均分，体现学以致用的价值。应该说，“植树问题”不是横空出世的，正如下图所示，是一点一点生长出来的。“植树问题”的源，具体到上述两个问题，就是：20米路，每5米一段，一共有几段？（学）20米路，每5米种一棵树，种几棵？（用）学与用不一样，学在“段”上，而用在“点”上，即求几段是在学习平均分，而用在“植树问题”中，则是对平均分这一知识的生活应用。用师傅的话说，这叫“学以致用”。第二次“学以致用”是在三次情境设置中，即研究点比段多1（学），延伸至一头种一头不种，以及两